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全国乙2022年高考数学压轴卷(理)
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(全国乙)2022年高考数学压轴卷理一.选择题:本题共12个小题,每个小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={1,2,3,4},N={x|﹣3<x<5},则M∩N=(  )A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4}2.若复数的实部与虚部相等,则的值为()A.-2B.-1C.1D.23.某校高中生共有1000人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级500人,现采用分层抽样抽取容量为50人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A.15、10、25B.20、10、20C.10、10、30D.15、5、304.若单位向量,的夹角为,向量,且,则(  )A.B.C.D.5.执行如图所示的程序框图,则输出S的值是(  )A.27B.48C.75D.766.如图是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的高为(  )16,A.1B.2C.D.7.已知a=log0.22,b=0.32,c=20.3,则(  )A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a8.在等比数列{an}中,若a3=1,a11=25,则a7=(  )A.5B.﹣5C.±5D.±259.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=-1D.f(x)=x-10.已如A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且,则三棱锥的体积为()A.B.C.D.11.为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划,某地方党委政府决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫,若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部,则不同的选取方案共有()A.60种B.34种C.31种D.30种16,12.如图,已知抛物线()的焦点为F,点()是抛物线C上一点.以P为圆心的圆与线段相交于点Q,与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A,,,直线与抛物线C的另一交点为M,若,则()A.1B.C.2D.一.填空题:本题共4个小题,每个小题5分,共20分.13.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足,,则_______.14.已知sin2,则2cos2()=__________.15.已知函数,给出下列四个结论:①存在实数a,使函数f(x)为奇函数;②对任意实数a,函数f(x)既无最大值也无最小值;③对任意实数a和k,函数y=f(x)+k总存在零点;④对于任意给定的正实数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(﹣1,m)上单调递减.其中所有正确结论的序号是  .16.二项式(﹣)6的展开式中常数项为  .三、解答题:本题共5个小题,第17-21题每题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤.16,17.如图.在△ABC中,点P在边BC上,,,.(1)求;(2)若△ABC的面积为.求18.有A、B两盒乒乓球,每盒5个,乒乓球完全相同,每次等可能地从A、B两盒中随机取一个球使用.(1)若取用后不放回,求当A盒中的乒乓球用完时,B盒中恰剩4个球的概率;(2)根据以往的经验,每个球可以重复使用3次以上,为了节约,每次取后用完放回原盒,设随机取用3次后A盒中的新球(没取用过的)数目为ξ,求ξ的分布列及期望.19.如图1,在边长为4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE^AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D^DC,如图2.(1)求证:A1E^平面BCDE;(2)求二面角E—A1B—C的余弦值.20.已知椭圆的离心率为,过定点(-1,0)的直线l与椭圆E相交于A,B两点,C为椭圆的左顶点,当直线l过点时,(O为坐标原点)的面积为16,.(1)求椭圆E的方程;(2)求证:当直线l不过C点时,为定值.21.已知函数f(x)=x2+sinx+cosx.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)≥1+ax,求a.选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为其中为参数,,曲线的参数方程为其中为参数.以坐标原点O为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线,的极坐标方程;(2)若,曲线,交于M,N两点,求的值.23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x+a|﹣2|x﹣b|(a>0,b>0).(1)当a=b=1时,解不等式f(x)>0;(2)若函数g(x)=f(x)+|x﹣b|的最大值为2,求的最小值.16,参考答案1.【答案】C【解析】解:因为M={1,2,3,4},N={x|﹣3<x<5},所以M∩N={1,2,3,4}.故选:C.2.【答案】B【解析】,,故选:B3.【答案】A【解析】解:根据题意高一年级的人数为人,高二年级的人数为人,高三年级的人数为人.故选:A.4.【答案】A【解析】由,可得所以,即,所以故选:A5.【答案】C16,【解析】解:第一次运行时,S=0+3×1=3,k=3,第二次运行时,S=3+3×3=12,k=5,第三次运行时,S=12+3×5=27,k=7,第四次运行时,S=27+3×7=48,k=9,第五次运行时,S=48+3×9=75,k=11,此时刚好满足k>10,故输出S=75,故选:C.6.【答案】D【解析】解:由题意几何体是四棱锥P﹣ABCD,过P作PE⊥AD于E,在正方体中有CD⊥平面PAD,所以CD⊥PE,又因为AD∩CD=D,所以PE⊥平面ABCD,所以四棱锥的高为PE,由三视图可知,PE×=2×2,解得PE=.所以该四棱锥的高为:.故选:D.7.【答案】C解:∵a=log0.22<log0.21<0,∴a<0,b=0.32=0.09,∵c=20.3>20=1,∴c>1,∴c>b>a,16,故选:C.8.【答案】A【解析】解:根据题意,设等比数列{an}的公比为q,若a3=1,a11=25,则q8==25,变形可得q4=5,则a7=a3q4=1×5=5,故选:A.9.【答案】A【解析】解:由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,而中,是非奇非偶函数,是偶函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D;故选:A.10.【答案】A【解析】由题可得为等腰直角三角形,得出外接圆的半径,则可求得到平面的距离,进而求得体积.,为等腰直角三角形,,则外接圆的半径为,又球的半径为1,设到平面的距离为,则,所以.故选A.11.【答案】D【解析】16,解:解:根据题意,要求选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部,分2种情况讨论:选出的3人为2男1女,有种安排方法,选出的3人为1男2女,有种安排方法,则有种选法,故选:.12.【答案】B【解析】解答:由题意得,直线方程为:,到直线距离为,以为圆心的圆与线段相交于点,与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点,,,,,,解得,,又,故,抛物线方程为,,,,直线方程为,与抛物线方程联立得,消去整理得,,解得或,,,16,.故选:B.13.【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和,则,求得,,那么,故答案为.14.【答案】∵sin2,∴2cos2()==1+sin2α=.故答案为.15.【答案】①②④【解析】解:由函数f(x)的解析式可得图象如图:①a=0时函数f(x)为奇函数,故①正确;②由图象可知对于任意的实数a,函数f(x)无最值,故②正确;③当k=﹣3,a=8时函数y=f(x)+k没有零点,故③错误;④由图象可知,当a>m时,函数f(x)在(﹣1,m)上单调递减,故④正确.故答案为:①②④.16,16.【答案】【解析】解:设其展开式的通项为Tr+1,∵Tr+1=•••x﹣r=••,∴令3﹣r=0得:r=2.∴展开式中的常数项T3=•=×15=.故答案为:.17.【答案】(1);(2).【解析】(1)在中,设,因为,,又因为,,由余弦定理得:即:,解得,所以,此时为等边三角形,所以;16,(2)由,解得,则,作交于D,如图所示:由(1)知,在等边中,,,在中.在中,由正弦定理得,所以.18.【答案】【解析】解:(1)当A盒中的乒乓球用完时,B盒中恰剩4个球的概率为P=C根据;(2)ξ的可能取值为2,3,4,5,则P(ξ=2)=()3×=,P(ξ=3)=×)+C=,P(ξ=4)=()3××,P(ξ=5)=,所以ξ的分布列如下:ξ234516,PEξ=2×=.19.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】解:(1)证明:∵在菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE^AB于点E∴,,∴.又∵,,∴平面,∴.又∵,,∴平面.(2)∵平面,,∴以,,所在直线分别为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系(如图).易知,则,,,,∴,,易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为,由,,得,令,得,∴.由图得二面角为钝二面角,∴二面角的余弦值为.16,20.【答案】(1);(2)为定值.【解析】(1)由题意,设,,直线的方程为,由,即,将点代入中,得,故,又点在椭圆上,解得,因椭圆的离心率,故,,所以,椭圆的方程为.(2)由题意,设直线的方程为,设,,联立,消去得,所以,,当直线不过时,直线的斜率,直线的斜率,16,所以,即直线与直线垂直,故为定值.21.【答案】【解析】解:(Ⅰ)由题意可知f(x)的定义域为R,f′(x)=2x+cosx﹣sinx,所以f(0)=1,f′(0)=1,所以y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1.(Ⅱ)令g(x)=x2+sinx+cosx﹣1﹣ax,则g(0)=0,g′(x)=2x+cosx﹣sinx﹣a,g″(x)=2﹣sinx﹣cosx≥0,所以g′(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数,又因为g′(0)=1﹣a,①当a>1时,g′(0)<0,4a>0,g′(4a)=7a+cos4a﹣sin4a>0,所以∃x0∈(0,4a),使得g′(x0)=0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,则g(x0)<g(0)=0,与题不符.②当a<1时,g′(0)>0,a﹣π<0,g′(a﹣π)=﹣2π﹣cosa+sina+a<0,所以∃x1∈(a﹣π,0),使得g′(x1)=0,所以g(x)在(x1,0)上单调递增,则g(x1)<g(0)=0,与题不符,③当a=1时,g′(0)=0,所以g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,综上所述,当a=1时,f(x)≥1+ax.22.【答案】16,(1),;(2).【解析】解:(1)依题意,曲线的普通方程为即曲线的极坐标方程为;曲线的普通方程为,即,故曲线的极坐标方程为.(2)将代入曲线的极坐标方程中,可得,设上述方程的两根分别是,则,故.23.【答案】解:(1)当a=b=1时,f(x)=|x+1|﹣2|x﹣1|,①当x≤﹣1时,f(x)=﹣(x+1)+2(x﹣1)=x﹣3>0,∴x>3,∴无解,②当﹣1<x<1时,f(x)=(x+1)+2(x﹣1)=3x﹣1>0,∴<x<1,③当x≥1时,f(x)=(x+1)﹣2(x﹣1)=﹣x+3>0,∴1≤x<3,综上所述:不等式f(x)>0的解集为(,3).(2)g(x)=)=|x+a|﹣2|x﹣b|+|x﹣b|=|x+a|﹣|x﹣b|,∵|x+a|﹣|x﹣b|≤|(x+a)﹣(x﹣b)|=|a+b|,∴g(x)max|=|a+b|=2,∵a>0,b>0,∴a+b=2,∴+=(+)(a+b)×=(++5)×≥(2+5)×=,当且仅当=,即b=2a时取等号,∴+的最小值为.16
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