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专题5 空间直线、平面的位置关系(知识点)
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专题5空间直线、平面的位置关系【知识网格】【知识讲练】知识点一平面1.平面描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的,是无限__延展__的画法通常把水平的平面画成一个__平行四边形__,并且其锐角画成45°,且横边长等于其邻边长的__2__倍,如图1所示;如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用__虚线__画出来,如图2所示记法(1)用一个__希腊字母__α,β,γ等来表示,如上图1中的平面记为平面α(2)用两个大写的__英文字母__(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示,如上图1中平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示,如上图1中的平面记为平面ABC或平面__BCD__等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形__顶点__)来表示,如上图1中的平面可记为平面ABCD2.点、线、面的位置关系的表示A是点,l,m是直线,α,β是平面.文字语言符号语言图形语言A在l上__A∈l__A在l外__A∉l__A在α内__A∈α__A在α外__A∉α__l在α内__l⊂α__l在α外__l⊄α__或l,m相交于A__l∩m=A__ l,α相交于A__l∩α=A__α,β相交于l__α∩β=l__3.公理1文字语言如果一条直线上的__两点__在一个平面内,那么这条直线在此平面内图形语言符号语言A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒__l⊂α__作用判断点在平面内判断直线在平面内用直线检验平面4.公理2文字语言过__不共线__的三点,有且只有一个平面图形语言符号语言A,B,C三点__不共线__⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α作用确定平面证明点共面5.公理3文字语言如果两个不重合的平面有一个__公共点__,那么它们有且只有一条过该点的公共__直线__图形语言符号语言P∈α∩β⇒α∩β=l且__P∈l__作用(1)判定平面相交(2)证明点共线(3)证明线共点【归纳总结】1.从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示.(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示. (3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“⊂”或“⊄”表示.2.(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”,结论是“有且只有一个平面”.(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解,这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形惟一,强调的是存在和惟一两个方面,因此“有且只有一个”必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替,否则就没有表达出存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词,也是指存在性和惟一性这两个方面,这个术语会常常出现.知识点二空间中直线与直线之间的位置关系1.异面直线(1)概念:不同在__任何一个__平面内的两条直线叫做异面直线.[归纳总结] 对定义可作如下理解:“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线,或者说找不到一个平面同时经过这两条直线.“异面”的含义就是“不能共面”的意思.定义中“任何”是不可缺少的关键词,不能误解为“不同在某一平面内”.(2)图示:如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.2.空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内,__有且只有__一个公共点.(2)平行直线——同一平面内,__没有__公共点.(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.3.公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相__平行__图形语言符号语言直线a、b、c、a∥b、b∥c⇒__a∥c__作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的__传递性__4.等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角__相等__或__互补__图形语言符号语言OA∥O′A′,OB∥O′B′⇒∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°作用证明两个角相等或互补 5.两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义:已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线a′∥a、b′∥b,我们把a′与b′所成的__锐角__(或__直角__)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角α的范围:__0°<α≤90°__.(3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是__直角__,那么就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b,记作a__⊥__b.注意:两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.【归纳总结】求异面直线所成的角的一般步骤为:(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)证明——证明所作出的角等于要求的角.(3)计算——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(4)结论——设由(3)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.知识点三空间中直线与平面的位置关系1.空间中直线与平面的位置关系(1)位置关系:有且只有三种①直线在平面内——有__无数__个公共点;②直线与平面相交——__有且只有一个__公共点;③直线与平面平行——__没有__公共点.直线与平面__相交__或__平行__的情况统称为直线在平面外.(2)符号表示:直线l在平面α内,记为__l⊂α__;直线l与平面α相交于点M,记为__l∩α=M__;直线l与平面α平行,记为__l∥α__.(3)图示:直线l在平面α内,如图a所示;直线l与平面α相交于点M,如图b所示;直线l与平面α平行,如图c所示.【总结提升】1.“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义,前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.2.直线与平面位置关系的判断:(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法. (2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面α内,要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点,要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.知识点四两个平面之间的位置关系(1)位置关系:有且只有两种①两个平面平行——__没有__公共点;②两个平面相交——有__一条__公共直线.(2)符号表示:两个平面α、β平行,记为α∥β;两个平面α、β相交于直线l,记为__α∩β=l__.(3)图示:两个平面α、β平行,如图a所示;两个平面α、β相交于直线l,如图b所示.【总结提升】判断两平面之间的位置关系时,可把自然语言转化为图形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于空间想象能力,确定平面间的位置关系.
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