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第三十章二次函数30.3由不共线三点的坐标确定二次函数课件
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30.3由不共线三点的坐标确定二次函数*导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第三十章二次函数 学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点)2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.(重点) 导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式?2.求一次函数表达式的方法是什么?它的一般步骤是什么?2个2个待定系数法(1)设:(表达式)(2)代:(坐标代入)(3)解:方程(组)(4)还原:(写表达式) 讲授新课特殊条件的二次函数的表达式一典例精析例1.已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.解:∵该图象经过点(2,3)和(-1,-3),3=4a+c,-3=a+c,∴所求二次函数表达式为y=2x2-5.∴{a=2,c=-5.解得{关于y轴对称 1.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点(-2,8)和(-1,5),求这个二次函数的表达式.解:∵该图象经过点(-2,8)和(-1,5),做一做图象经过原点8=4a-2b,5=a-b,∴{解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x. 顶点法求二次函数的表达式二选取顶点(-2,1)和点(1,-8),试求出这个二次函数的表达式.解:设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点(-2,1)代入y=a(x-h)2+k得y=a(x+2)2+1,再把点(1,-8)代入上式得a(1+2)2+1=-8,解得a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是:①设函数表达式是y=a(x-h)2+k;②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程;③将另一点的坐标代入原方程求出a值;④a用数值换掉,写出函数表达式. 例2一个二次函数的图象经点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求这个二次函数的表达式.解:因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9),因此,可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1),可得0=a(0-8)2+9.解得∴所求的二次函数的解析式是 解:∵(-3,0)(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).再把点(0,-3)代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3,解得a=-1,∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试出这个二次函数的表达式.交点法求二次函数的表达式三xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512 归纳总结交点法求二次函数表达式的方法这种知道抛物线与x轴的交点,求表达式的方法叫做交点法.其步骤是:①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2);②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中,得到关于a的一元一次方程;③将方程的解代入原方程求出a值;④a用数值换掉,写出函数表达式. 想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件?任意三点不在同一直线上(其中两点的连线可平行于x轴,但不可以平行于y轴. 一般式法二次函数的表达式四探究归纳问题1(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?3个3个(2)下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分:x-3-2-1012y010-3-8-15 解:设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把(-3,0),(-1,0),(0,-3)代入y=ax2+bx+c得①选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个二次函数的表达式.9a-3b+c=0,a-b+c=0,c=-3,解得a=-1,b=-4,c=-3.∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤:1.设:(表达式)2.代:(坐标代入)3.解:方程(组)4.还原:(写解析式) 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是:①设函数表达式为y=ax2+bx+c;②代入后得到一个三元一次方程组;③解方程组得到a,b,c的值;④把待定系数用数字换掉,写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法 例3一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的表达式.解:设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点,可得4a+2b+1=4,9a+3b+1=10,解这个方程组,得∴所求的二次函数的表达式是 当堂练习1.如图,平面直角坐标系中,函数图象的表达式应是.注y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式,只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-1345 2.过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6,则其表达式是.顶点坐标是(1,6)y=-2(x-1)2+6 3.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1).求这个二次函数的表达式.解:设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.依题意得∴这个二次函数的表达式为y=2x2+3x-4.a+b+c=1,c=-4,a-b+c=-5,解得b=3,c=-4,a=2, 4.已知抛物线与x轴相交于点A(-1,0),B(1,0),且过点M(0,1),求此函数的表达式.解:因为点A(-1,0),B(1,0)是图象与x轴的交点,所以设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-1).又因为抛物线过点M(0,1),所以1=a(0+1)(0-1),解得a=-1,所以所求抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-1),即y=-x2+1. 5.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,请解答下列问题:(1)求抛物线的表达式;解:(1)把点A(-4,-3)代入y=x2+bx+c得16-4b+c=-3,c-4b=-19.∵对称轴是x=-3,∴=-3,∴b=6,∴c=5,∴抛物线的表达式是y=x2+6x+5; (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.(2)∵CD∥x轴,∴点C与点D关于x=-3对称.∵点C在对称轴左侧,且CD=8,∴点C的横坐标为-7,∴点C的纵坐标为(-7)2+6×(-7)+5=12.∵点B的坐标为(0,5),∴△BCD中CD边上的高为12-5=7,∴△BCD的面积=×8×7=28. 课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法:y=ax2+bx+c用顶点法:y=a(x-h)2+k用交点法:y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为交点的横坐标)待定系数法求二次函数解析式
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