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北师大版九下数学2.2第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1教案
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2.2二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1.掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)图象之间的联系;(重点)2.能灵活运用二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的知识解决简单的问题.(难点)                  一、情境导入二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到:当c>0时,向上平移c个单位长度;当c<0时,向下平移-c个单位长度.问题:函数y=(x-2)2的图象,能否也可以由函数y=x2平移得到?本节课我们就一起讨论.二、合作探究探究点:二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【类型一】二次函数y=a(x-h)2的图象顶点为(-2,0),开口方向、形状与函数y=-x2的图象相同的抛物线的解析式为(  )A.y=(x-2)2B.y=(x+2)2C.y=-(x+2)2D.y=-(x-2)2解析:因为抛物线的顶点在x轴上,所以可设该抛物线的解析式为y=a(x-h)2(a≠0),而二次函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=-x2的图象相同,所以a=-,而抛物线的顶点为(-2,0),所以h=2,把a=-,h=2代入y=a(x-h)2得y=-(x+2)2.故选C.方法总结:决定抛物线形状的是二次项的系数,二次项系数相同的抛物线的形状完全相同.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】二次函数y=a(x-h)2的性质若抛物线y=3(x+)2的图象上的三个点,A(-3,y1),B(-1,y2),C(0,y3),则y1,y2,y3的大小关系为________________.解析:∵抛物线y=3(x+)2的对称轴为x=-,a=3>0,∴x<-时,y随x的增大而减小;x>-时,y随x的增大而增大.∵点A的坐标为(-3,y1),∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为(,y1).∵-1<0<,∴y2<y3<y1.故答案为y2<y3<y1.方法总结:函数图象上点的坐标满足解析式,即点在抛物线上.解决本题可采用代入求值方法,也可以利用二次函数的增减性解决. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型三】二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系将二次函数y=-2x2的图象平移后,可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象,平移的方法是(  )A.向上平移1个单位  B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位  D.向右平移1个单位解析:抛物线y=-2x2的顶点坐标是(0,0),抛物线y=-2(x+1)2的顶点坐标是(-1,0).则由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象.故选C.方法总结:解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】二次函数y=a(x-h)2与三角形的综合如图,已知抛物线y=(x-2)2的顶点为C,直线y=2x+4与抛物线交于A、B两点,试求S△ABC.解析:根据抛物线的解析式,易求得点C的坐标;联立两函数的解析式,可求得A、B的坐标.画出草图后,发现△ABC的面积无法直接求出,因此可将其转换为其他规则图形的面积求解.解:抛物线y=(x-2)2的顶点C的坐标为(2,0),联立两函数的解析式,得解得所以点A的坐标为(6,16),点B的坐标为(0,4).如图,过A作AD⊥x轴,垂足为D,则S△ABC=S梯形ABOD-S△ACD-S△BOC=(OB+AD)·OD-OC·OB-CD·AD=(4+16)×6-×2×4-×4×16=24.方法总结:解决本题要明确以下两点:(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解;(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题【类型五】二次函数y=a(x-h)2的探究性问题某抛物线是由抛物线y=-2x2向左平移2个单位得到.(1)求抛物线的解析式,并画出此抛物线的大致图象;(2)设抛物线的顶点为A,与y轴的交点为B.①求线段AB的长及直线AB的解析式;②在此抛物线的对称轴上是否存在点C,使△ABC为等腰三角形?若存在,求出这样的点C的坐标;若不存在,请说明理由.解析:(1)抛物线y=-2x2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y=-2(x+2)2;(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式,即可得出其顶点A和B点的坐标,然后根据A,B两点的坐标即可求出直线AB的解析式;②本题要分三种情况进行讨论解答. 解:(1)y=-2(x+2)2,图略;(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y=-2(x+2)2,可得A点的坐标为(-2,0),B点的坐标为(0,-8).因此在Rt△ABO中,根据勾股定理可得AB=2.设直线AB的解析式为y=kx-8,已知直线AB过A点,则有0=-2k-8,k=-4,因此直线AB的解析式为y=-4x-8;②本题要分三种情况进行讨论:当AB=AC时,此时C点的纵坐标的绝对值即为AB的长,因此C点的坐标为C1(-2,2),C2(-2,-2);当AB=BC时,B点位于AC的垂直平分线上,所以C点的纵坐标为B点的纵坐标的2倍,因此C点的坐标为C3(-2,-16);当AC=BC时,此时C为AB垂直平分线与抛物线对称轴的交点.过B作BD垂直于抛物线的对称轴于D,那么在直角三角形BDC中,BD=2(A点横坐标的绝对值),CD=8-AC,而BC=AC,由此可根据勾股定理求出AC=,因此这个C点的坐标为C4(-2,).综上所述,存在四个点,C1(-2,2),C2(-2,-2),C3(-2,-16),C4(-2,-).方法总结:本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况,主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2.二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系3.二次函数y=a(x-h)2的图象的应用本节课采用启发式、讨论式结合的教学方法,以问题的提出、问题的解决为主线,倡导学生主动参与教学实践活动,以独立思考和相互交流的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题,在引导分析时,给学生留出足够的思考时间和空间,让学生去联想、探索,从真正意义上完成对知识的自我建构.另外,在教学过程中,采用多媒体辅助教学,直观呈现教学素材,从而更好地激发学生的学习兴趣,增大教学容量,提高教学效率.
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