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北师大版九下数学3.9弧长及扇形的面积教案
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3.9弧长及扇形的面积1.了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用;(重点)2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长l=和扇形面积S扇=的计算公式,并应用这些公式解决一些问题.(难点)                   一、情境导入如图是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨的半径为100米,圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π取3.14)?我们容易看出这段铁轨是圆周长的,所以铁轨的长度l≈=157(米).如果圆心角是任意的角度,如何计算它所对的弧长呢?二、合作探究探究点一:弧长公式【类型一】求弧长如图,某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒,需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果,字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°,则“蘑菇罐头”字样的长度为(  )A.cmB.cmC.cmD.7πcm解析:∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°,∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得R=cm,则“蘑菇罐头”字样的长==(cm).故选B.方法总结:解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径,代入弧长公式进行计算.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】利用弧长公式求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°,弧长等于,则该扇形的半径是________;(2)如果一个扇形的半径是1,弧长是,那么此扇形的圆心角的大小为________.解析:(1)若设扇形的半径为R,则根据题意,得=,解得R=2;(2)根据弧长公式得=,解得n=60,故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2;60°.方法总结:逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题【类型三】圆的切线与弧长公式的综合如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D.(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)当BC=4,AB=8时,求劣弧AC的长.解析:(1)连接BC,由AB是⊙O的直径,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角,可得∠ACB=90°,又由∠EAC=∠D,则可得AE是⊙O的切线;(2)首先连接OC,易得∠ABC=60°,则可得∠AOC=120°,由弧长公式,即可求得劣弧AC的长.(1)证明:如图,连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠BAC+∠ABC=90°.又∵∠EAC=∠D,∠B=∠D,∴∠BAC+∠CAE=90°,即BA⊥AE,∴AE是⊙O的切线;(2)解:如图,连接OC,∵△ABC是直角三角形,∴sin∠BAC===,∴∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,∴∠AOC=120°.∴劣弧AC的长==.方法总结:此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识.注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.探究点二:扇形的面积公式【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为________(结果保留π).解析:把圆心角和半径代入扇形面积公式S===3π.故答案为3π.方法总结:公式中涉及三个字母,只要知道其中两个,就可以求出第三个.扇形面积还有另外一种求法S=lr,其中l是弧长,r是半径.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】求阴影部分的面积如图,扇形AOB中,半径OA=2,∠AOB=120°,C是的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分的面积是(  )A.-2B.2π-2C.-D.-解析:连接OC,过O作OM⊥AC于M,∵∠AOB=120°,C为中点,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB=2,∴△AOC、△BOC是等边三角形,∴AC=BC=OA=2,AM=1,∴△AOC的边AC上的高OM==,△BOC边BC上的高为,∴阴影部分的面积是(-×2×)×2=-2.故选A.方法总结:本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质,解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】求不规则图形的面积如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为(  )A.4π-2B.2π-2C.4π-4D.2π-4解析:连接AB,由题意得阴影部分面积=2(S扇形AOB-S△AOB)=2(-×2×2)=2π-4.故选D.方法总结:关键是需要同学们仔细观察图形,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题三、板书设计弧长及扇形的面积 1.弧长公式:l=2.扇形的面积公式:S扇形==lR本节课的授课思路是:复习圆周长公式,推出弧长公式,由圆面积公式类比导出扇形面积公式.使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中,获取广泛的数学活动经验,进而促进自身的主动发展.
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