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安徽省安庆市外国语学校2021--2022学年九年级上学期 期中考试数学【试卷 答案】
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安庆市外国语学校2021—2022学年度第一学期九年级期中考试数学试卷时间:120分钟满分:150分一、选择题(本大题10小题,每题4分,满分40分)1.如图,点C是线段AB的黄金分割点,则下列各式正确的是(  )A.B.C.D.2.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=2的是(  )A.y=2x2﹣2B.y=2(x+2)2C.y=2x2+2D.y=2(x﹣2)23.如图所示,一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,以此类推,若各种开本的矩形都相似,那么等于(  )A.0.618B.C.D.24.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=3x2+3不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是(  )A.y=3(x﹣2)2+5B.y=3(x+2)2+1C.y=3(x+2)2+5D.y=3(x﹣2)2+15.在大棚中栽培新品种的蘑菇,在18℃的条件下生长最快,因此用装有恒温系统的大棚栽培,如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭.大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象,其中BC段是函数y=(k>0)图象的一部分.若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃,则这天该种蘑菇适宜生长的时间为(  )30 A.18小时B.17.5小时C.12小时D.10小时6.已知反比例函数y=﹣,当y≤4时,自变量x的取值范围为(  )A.x≥3或x<0B.x>0或x≤﹣3C.x≤﹣3D.x≥37.如图所示,在▱ABCD中,G是BC延长线上的一点,AG与BD交于E,与DC交于F,则图中相似三角形有(  )A.3对B.4对C.5对D.6对8.已知:如图,矩形ABCD中,AB=2cm,AD=3cm.点P和点Q同时从点A出发,点P以3cm/s的速度沿A→D方向运动到点D为止,点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向运动到点D为止,则△APQ的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间函数关系的大致图象是(  )30 9.如图,△ABC是面积为27cm2的等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积为(  )A.9cm2B.8cm2C.6cm2D.12cm210.如图,点A、B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴.已知点A、B的横坐标分别为1、2,△OAC与△ABD的面积之积为2,则k的值为(  )A.2B.3C.4D.5二、填空题(本大题4小题,每题5分,满分20分)11.已知线段a=4,b=16,线段c是a,b的比例中项,那么c等于  .12.如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出①y=﹣3x2,②y=﹣,③y=﹣x2的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是  (填序号)13.在△ABC中,AB=6,AC=9,点D在边AB所在的直线上,且AD=2,过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E,则CE的长为  .14.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F在CD上,且CF=3DF,AE,BF相交于点G,则△AGF的面积是  .30 三、解答题(本大题9小题,第15-18,每题8分,第19-20,每题10分,第21-22题,每题12分,第23题,14分,满分90分)15.已知a:b:c=2:3:4,求的值.16.函数y=(k为常数,k≠0,x≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如下表:(1)求k的值;(2)函数y=的图象在第  象限,当x  时,y随x的增大而增大.17.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当=1,AC=3时,求BF的长.30 18.小磊要制作一个三角形的模型,已知在这个三角形中,长度为x(单位:cm)的边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积为S(单位:cm2).(1)请直接写出S与x之间的函数关系式是______________,写出自变量x的取值范围为______________;(2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少?19.设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为(a,b)、(c,d).若a=﹣2c,b=﹣2d,且开口方向相同,则称y1是y2的“反倍顶二次函数”.(1)请写出二次函数y=x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”;(2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=2x2﹣nx+1.若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”,求n的值.20.如图,在平行四边形ABCD中,点E为边BC上一点,联结AE并延长交DC的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GF∥BC交DC于点F,=.(1)若BD=20,求BG的长;(2)求的值.30 21.某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.(1)图中点P所表示的实际意义是  ;销售单价每提高1元时,销售量相应减少  件;(2)请直接写出y与x之间的函数表达式  ;自变量x的取值范围为  ;(3)第二个月的销售单价定为多少元时,可获得最大利润?最大利润是多少?22.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2),OA、OC分别落在x轴和y轴上,OB是矩形的对角线.将△OAB绕点O逆时针旋转,使点B落在y轴上,得到△ODE,OD与CB相交于点F,反比例函数y=(x>0)的图象经过点F,交AB于点G.(1)填空:k的值等于  .(2)连接FG,判断△COF与△BFG是否相似,并说明理由.30 23.(1)如图1,已知△ABC中,D是BC的中点,E是AC上一点,=,连接AD与BE相交于点F,求的值.小英、小明和小聪各自经过独立思考,分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题,小明的解法是:解:过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H(如图1﹣1).∵CH∥BE,D是BC的中点,∴==.∵CH∥FE,=,∴==.∴=•=×=.小英添加的辅助线是:过点D作DG∥BE交AC于点G(如图1﹣2);小聪添加的辅助线是:过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M(如图1﹣3);请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答.(2)①如图2﹣1,△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC上一点,,连接AD与BE相交于点F,则=  (用含a、b的式子表示).②如图2﹣2,△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,=,=,连接AD与BE相交于点F,求的值(用含a、b、m、n的式子表示).30 (3)如图3,△ABC中,点D、E分别在BC、AC上,=,=,连接AD与BE相交于点F,已知△ABC的面积为45,求△ABF和四边形CDFE的面积.30 安庆市外国语学校2021—2022学年度第一学期九年级期中考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题10小题,每题4分,满分40分)1.如图,点C是线段AB的黄金分割点,则下列各式正确的是(  )A.B.C.D.【分析】根据黄金分割的概念得到比例式,与各个选项进行比较得到答案.【解答】解:∵点C是线段AB的黄金分割点,∴=,∴B正确,A、C、D不正确,故选:B.【点评】本题考查的是黄金分割的概念,把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割.2.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=2的是(  )A.y=2x2﹣2B.y=2(x+2)2C.y=2x2+2D.y=2(x﹣2)2【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴,选出正确的选项.【解答】解:A、y=2x2﹣4的对称轴为x=0,所以选项A错误;B、y=2(x﹣2)2的对称轴为x=2,所以选项B正确;C、y=2x2+2的对称轴为x=0,所以选项C错误;D、y=2(x+2)2对称轴为x=﹣2,所以选项D错误;故选:D.【点评】本题考查了二次函数的对称轴,形如y=a(x﹣h)2+k的顶点为(h,k);也可以把抛物线解析式化为一般形式,再根据对称轴公式x=﹣求出对称轴.3.如图所示,一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,以此类推,若各种开本的矩形都相似,那么等于(  )30 A.0.618B.C.D.2【分析】根据矩形ABCD与矩形ABFE相似,且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍,根据相似图形面积比是相似比的平方,即可得出的值.【解答】解:∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍,各种开本的矩形都相似,∴=()2=2,∴=.故选:C.【点评】本题考查的是相似多边形的性质,即相似多边形面积的比等于相似比的平方.4.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=3x2+3不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是(  )A.y=3(x﹣2)2+5B.y=3(x+2)2+1C.y=3(x+2)2+5D.y=3(x﹣2)2+1【分析】因为抛物线的解析式不动,把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,所以相当于把抛物线分别向下、向左平移2个单位,再根据函数平移的性质进行解答.【解答】解:∵抛物线的解析式不动,把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,∴相当于把抛物线分别向下、向左平移2个单位,∴由“上加下减,左加右减”的原则可知,把抛物线分别向下、向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+1.故选:B.【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键.5.在大棚中栽培新品种的蘑菇,在18℃30 的条件下生长最快,因此用装有恒温系统的大棚栽培,如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭.大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象,其中BC段是函数y=(k>0)图象的一部分.若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃,则这天该种蘑菇适宜生长的时间为(  )A.18小时B.17.5小时C.12小时D.10小时【分析】观察图象可知:三段函数都有y≥12的点,而且AB段是恒温阶段,y=18,所以计算AD和BC两段当y=12时对应的x值,相减就是结论.【解答】解:如图,把B(12,18)代入y=中得:k=12×18=216;设一次函数的解析式为:y=mx+n,把(0,10)、(2,18)代入y=mx+n中,得:,解得,∴AD的解析式为:y=4x+10,当y=12时,12=4x+10,x=0.5,当12=时,解得:x==18,30 ∴18﹣0.5=17.5(h),故选:B.【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合,考查了反比例函数和一次函数的性质和应用,解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式,再观察图象特点,结合反比例函数和一次函数的性质作答.6.已知反比例函数y=﹣,当y≤4时,自变量x的取值范围为(  )A.x≥3或x<0B.x>0或x≤﹣3C.x≤﹣3D.x≥3【分析】根据函数解析式中的系数推知函数图象经过第二、四象限,结合函数图象求得当y≤4时自变量x的取值范围.【解答】解:∵反比例函数y=﹣大致图象如图所示,∴当y≤4时自变量x的取值范围是x≤﹣3或x>0.故选:B.【点评】考查了反比例函数的性质,解题时,要注意自变量x的取值范围有两部分组成.7.如图所示,在▱ABCD中,G是BC延长线上的一点,AG与BD交于E,与DC交于F,则图中相似三角形有(  )A.3对B.4对C.5对D.6对【分析】根据平行四边形的对边平行,再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解.【解答】解:在▱ABCD中,AB∥CD,所以,△ABE∽△FDE,△ABG∽△FCG,30 AD∥BC,所以,△ADE∽△GBE,△FDA∽△FCG,所以△ABG∽△FDA,△ABD∽△BCD故图中相似三角形有6对.故选:D.【点评】本题考查了相似三角形的判定,主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似,要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似,所以也相似,这也是本题容易出错的地方.8.已知:如图,矩形ABCD中,AB=2cm,AD=3cm.点P和点Q同时从点A出发,点P以3cm/s的速度沿A→D方向运动到点D为止,点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向运动到点D为止,则△APQ的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间函数关系的大致图象是(  )【分析】研究两个动点到矩形各顶点时的相对位置,分段讨论函数解析式.【解答】解:根据两个动点的运动状态可知(1)当0≤t≤1时,S=,此时抛物线开口向上;(2)当1≤t≤2.5时,S==3,此时,函数值不变,函数图象为平行于x轴的线段;(3)当2.5≤t≤3.5时,S=×3×(7﹣2t))=﹣t+.S随t的增大而减小.故选:C.【点评】本题为双动点问题考查了分类讨论的数学思想,解答时注意研究动点到达临界点时的相对位置状态以确定一般图形.9.如图,△ABC是面积为27cm2的等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB30 被截成三等分,则图中阴影部分的面积为(  )A.9cm2B.8cm2C.6cm2D.12cm2【分析】先证明△AEH∽△AFG∽△ABC,再根据相似三角形的面积比是相似比的平方,即可得出结果.【解答】解:∵△ABC是面积为27cm2的等边三角形,∴S△ABC=27cm2,∵矩形平行于BC,∴EH∥FG∥BC,∴△AEH∽△AFG∽△ABC,∵AB被截成三等分,∴AF=2AE,AB=3AE,∴S△AEH:S△AFG:S△ABC=1:4:9,∴S△AEH:S四边形EFGH:S四边形FBCG=1:3:5,∴图中阴影部分的面积S四边形EFGH=×27cm2=9cm2,故选:A.【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识,熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键.10.如图,点A、B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴.已知点A、B的横坐标分别为1、2,△OAC与△ABD的面积之积为2,则k的值为(  )30 A.2B.3C.4D.5【分析】先求出点A,B的坐标,再根据AC∥BD∥y轴,确定点C,点D的坐标,求出AC,BD,最后根据,△OAC与△ABD的面积之积为2,即可解答.【解答】解:∵点A、B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点A,B的横坐标分别为1,2,∴点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(2,),∵AC∥BD∥y轴,∴点C,D的横坐标分别为1,2,∵点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,∴点C的坐标为(1,k),点D的坐标为(2,),∴AC=k﹣1,BD=,∴S△OAC=(k﹣1)×1=,S△ABD=•×(2﹣1)=,∵△OAC与△ABD的面积之积为2,∴•=2,解得:k=5或﹣3,∵k>0,∴k=5.故选:D.【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,解决本题的关键是求出AC,BD的长.二、填空题(本大题4小题,每题5分,满分20分)11.已知线段a=4,b=16,线段c是a,b的比例中项,那么c等于 8 .【分析】根据线段比例中项的概念a:c=c:b,可得c2=ab=64,即可求出c的值.【解答】解:∵线段c是a、b的比例中项,∴c2=ab=64,解得:c=±8,又∵线段是正数,30 ∴c=8.故答案为:8.【点评】此题考查了比例中项,掌握比例中项的定义是解题的关键.注意线段不能是负数.12.如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出①y=﹣3x2,②y=﹣,③y=﹣x2的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 ①③② (填序号)【分析】抛物线的形状与|a|有关,根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄.【解答】解:①y=﹣3x2,②y=﹣x2,③y=﹣x2中,二次项系数a分别为﹣3、﹣、﹣1,∵|﹣3|>|﹣1|>|﹣|,∴抛物线②y=﹣x2的开口最宽,抛物线①y=﹣3x2的开口最窄.故答案为:①③②.【点评】本题考查了二次函数的图象,抛物线的开口大小由|a|决定,|a|越大,抛物线的开口越窄;|a|越小,抛物线的开口越宽.13.在△ABC中,AB=6,AC=9,点D在边AB所在的直线上,且AD=2,过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E,则CE的长为 6或12 .【分析】此题可以分为当点D在边AB上时与当点D在边AB的延长线上时去分析,由DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理,即可求得CE的长.【解答】解:如图①,当点D在边AB上时,∵AB=6,AC=9,AD=2,∴BD=AB﹣AD=6﹣2=4,∵DE∥BC,∴,30 即:,∴CE=6;如图②,当点D在边AB的延长线上时,∵AB=6,AC=9,AD=2,∴BD=AB+AD=6+2=8,∵DE∥BC,∴,即:,∴CE=12;∴CE的长为6或12.故答案为:6或12.【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想的应用,注意点D在边AB所在的直线上可以分为当点D在边AB上与当点D在边AB的延长线上,小心别漏解.14.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F在CD上,且CF=3DF,AE,BF相交于点G,则△AGF的面积是  .【分析】作FM⊥AB于点M,作GN⊥AB于点N,根据正方形的性质和相似三角形的性质,可以得到GN的长,然后通过图形可知,△AGF的面积=△ABF的面积﹣△ABG30 的面积,代入数据计算即可.【解答】解:作FM⊥AB于点M,作GN⊥AB于点N,如右图所示,∵正方形ABCD的边长为4,点E是BC的中点,点F在CD上,且CF=3DF,∴BE=2,MF=4,BM=CF=3,∵GN⊥AB,FM⊥AB,∴GN∥FM,∴△BNG∽△BMF,∴,设BN=3x,则NG=4x,AN=4﹣3x,∵GN⊥AB,EB⊥AB,∴△ANG∽△ABE,∴,即,解得x=,∴GN=4x=,∴△AGF的面积是:==,故答案为:.【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积,解答本题的关键是求出GN的长,利用数形结合的思想解答.30 三、解答题(本大题9小题,第15-18,每题8分,第19-20,每题10分,第21-22题,每题12分,第23题,14分,满分90分)15.已知a:b:c=2:3:4,求的值.【分析】根据比例设a=2k,b=3k,c=4k,然后代入比例式进行计算即可得解.【解答】解:由a:b:c=2:3:4可设a=2k,b=3k,c=4k,则原式==﹣.【点评】本题考查了比例的性质,利用“设k法”表示出a、b、c求解更简便.16.函数y=(k为常数,k≠0,x≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如下表:(1)求k的值;(2)函数y=的图象在第 一、二 象限,当x <0 时,y随x的增大而增大;【分析】(1)将x=3,y=2代入函数中得:k=6,利用描点、连线即可得出图象;(2)由图象可得答案.【解答】解:(1)把x=3,y=2代入函数中得:k=6,(2)根据图象可知:函数y=的图象在第一、二象限,当x<0时,y随x的增大而增大;故答案为:一、二;x<0.【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质,解题的关键是学会利用图象解决问题,属于中考常考题型.17.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当=1,AC=3时,求BF的长.【分析】(1)只要证明∠DBF=∠DAC,即可判断.30 (2)利用相似三角形的性质即可解决问题.【解答】(1)证明:如图,∵AD⊥BC,BE⊥AC∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°∴∠DBF=∠DAC∴△ACD∽△BFD(2)解:如图,∵=1,△ACD∽△BFD,AC=3,∴==1,∴BF=AC=3.【点评】本题考查相似三角形的性质和判定,同角的余角相等,直角三角形两锐角互余等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用新三角形的性质解决问题,属于中考常考题型.18.小磊要制作一个三角形的模型,已知在这个三角形中,长度为x(单位:cm)的边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积为S(单位:cm2).(1)请直接写出S与x之间的函数关系式是_S=﹣x2+20x__,写出自变量x的取值范围为__0<x<40___;(2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少?【分析】(1)S=x×这边上的高,把相关数值代入化简即可;(2)结合(1)得到的关系式,利用公式法求得二次函数的最值即可.【解答】解:(1)由题意得:S=x×(40﹣x)=﹣x2+20x,∵x>0,且40﹣x>0,∴0<x<40,∴S与x之间的函数关系式为S=﹣x2+20x(0<x<40);(2)∵﹣<0,30 ∴S有最大值,∴当x=﹣=﹣=20时,S有最大值为===200cm2.∴当x为20cm时,三角形最大面积是200cm2.【点评】考查二次函数求最值问题,掌握二次函数的顶点为(﹣,),是解决本题的关键.19.设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为(a,b)、(c,d).若a=﹣2c,b=﹣2d,且开口方向相同,则称y1是y2的“反倍顶二次函数”.(1)请写出二次函数y=x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”;(2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=2x2﹣nx+1.若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”,求n的值.【分析】(1)根据“反倍顶二次函数”的定义,求出顶点坐标即可解决问题;(2)根据根据“反倍顶二次函数”的定义,列出方程即可解决问题.【解答】解:(1)∵y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2,∴顶点坐标为(1,﹣2),∴二次函数y=x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”为y=(x+2)2+4;(2)∵y1=x2+nx=(x+)2﹣,y2=2x2﹣nx+1=2(x﹣)2﹣,由题意﹣=2×,解得n=±2.【点评】本题考查二次函数的应用.解题的关键是理解题意,熟练掌握配方法确定顶点坐标,属于中考常考题型.20.如图,在平行四边形ABCD中,点E为边BC上一点,联结AE并延长交DC的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GF∥BC交DC于点F,=.(1)若BD=20,求BG的长;(2)求的值.30 【分析】(1))由GF∥BC推出=即可解决问题;(2)由AB∥CD,AB=CD,推出=,=,可得=解决问题;【解答】解:(1)∵GF∥BC,∴=,∵BD=20,=∴BG=8.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴=,∴=,∴=,∴=.【点评】本题考查平行四边形的性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.21.某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.30 (1)图中点P所表示的实际意义是 当售价定为35元/件时,销售数量为300件 ;销售单价每提高1元时,销售量相应减少 20 件;(2)请直接写出y与x之间的函数表达式 y=﹣20x+1000 ;自变量x的取值范围为 30≤x≤50 ;(3)第二个月的销售单价定为多少元时,可获得最大利润?最大利润是多少?【分析】(1)根据坐标系中点的坐标的意义,即可写出点P的实际意义,再根据“销售单价每提升一元的销售减少量=销售减少数量÷增加价钱”即可列式算出结论;(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,根据图象上点的坐标利用待定系数法即可求出该函数表达式,令y=0求出x值,即可得出自变量x的取值范围;(3)设第二个月的利润为w元,根据“利润=单个利润×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式,利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解:(1)图中点P所表示的实际意义是:当售价定为35元/件时,销售数量为300件;第一个月的该商品的售价为:20×(1+50%)=30(元),销售单价每提高1元时,销售量相应减少数量为:(400﹣300)÷(35﹣30)=20(件).故答案为:当售价定为35元/件时,销售数量为300件;20.(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将点(30,400)、(35,300)代入y=kx+b中,得:,,∴y与x之间的函数表达式为y=﹣20x+1000.当y=0时,x=50,∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.故答案为:y=﹣20x+1000;30≤x≤50.(3)设第二个月的利润为w元,30 由已知得:w=(x﹣20)y=(x﹣20)(﹣20x+1000)=﹣20x2+1400x﹣20000=﹣20(x﹣35)2+4500,∵﹣20<0,∴当x=35时,w取最大值,最大值为4500.故第二个月的销售单价定为35元时,可获得最大利润,最大利润是4500元.【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质,解题的关键是:(1)熟悉坐标系中点的坐标的意义;(2)根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式;(3)根据二次函数的性质解决最值问题.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据函数图象上点的坐标利用待定系数法求出函数解析式.22.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2),OA、OC分别落在x轴和y轴上,OB是矩形的对角线.将△OAB绕点O逆时针旋转,使点B落在y轴上,得到△ODE,OD与CB相交于点F,反比例函数y=(x>0)的图象经过点F,交AB于点G.(1)填空:k的值等于 2 .(2)连接FG,判断△COF与△BFG是否相似,并说明理由.【分析】(1)由旋转的性质及矩形的性质可得△COF∽△AOB,再由相似三角形的性质得点F的坐标,然后由待定系数法求出k的值即可;(2)由相似三角形的判定方法可得结论.【解答】解:(1)∵将△OAB绕点O逆时针旋转,使点B落在y轴上,得到△ODE,∴∠AOB=∠COF,∵四边形OABC是矩形,∴∠OAB=∠OCB=90°,∴△COF∽△AOB,30 ∴,∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2),OA、OC分别落在x轴和y轴上,∴AB=OC=2,BC=OA=4,∴=,解得:CF=1,∴点F的坐标为(1,2),把点F的坐标代入反比例函数y=(x>0)得:k=1×2=2,故答案为:2;(2)△COF∽△BFG,理由如下:设点G的坐标为(4,m),∵反比例函数的解析式为,OA=4,∴m=AG==,∴BG=AB﹣AG=1.5,∵四边形OABC是矩形,∴∠OCF=∠FBG=90°,BC=OA=4,由(1)得:CF=1,∴BF=BC﹣CF=3,∴,,∴,∴△OCF∽△FBG;【点评】本题是反比例函数综合题目,考查了反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、最小值问题等知识;本题综合性强,熟练掌握反比例函数的性质和矩形的性质,证明△OCF∽△FBG是解题的关键,属于中考常考题目.23.(1)如图1,已知△ABC中,D是BC的中点,E是AC上一点,=,连接AD与BE相交于点F,求的值.小英、小明和小聪各自经过独立思考,分别得到一种添加辅助线的方法从30 而解决了问题,小明的解法是:解:过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H(如图1﹣1).∵CH∥BE,D是BC的中点,∴==.∵CH∥FE,=,∴==.∴=•=×=.小英添加的辅助线是:过点D作DG∥BE交AC于点G(如图1﹣2);小聪添加的辅助线是:过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M(如图1﹣3);请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答.(2)①如图2﹣1,△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC上一点,,连接AD与BE相交于点F,则=  (用含a、b的式子表示).②如图2﹣2,△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,=,=,连接AD与BE相交于点F,求的值(用含a、b、m、n的式子表示).(3)如图3,△ABC中,点D、E分别在BC、AC上,=,=,连接AD与BE相交于点F,已知△ABC的面积为45,求△ABF和四边形CDFE的面积.【分析】(1)小英的方法只要证明求出AE:EG30 的值即可解决问题.小聪是方法,只要求出BM:BD的值即可.(2)①如图2﹣1中,作DG∥BE交AC于G.想办法求出AE:EG的值即可解决问题.②方法类似①.(3)如图3中,作DG∥BE交AC于G.首先证明AF:DF=2:1,再分别求出△ABD、△BCE、△ABF、△BDF的面积即可.【解答】(1)解:小英添加的辅助线是:过点D作DG∥BE交AC于点G(如图1﹣2),∵DG∥BE,BD=CD,∴==1,∴EG=CG,∵EF∥DG,∴=,∵=,EG=GC,∴=,∴=.小聪添加的辅助线是:过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M(如图1﹣3);∵AM∥EB,∴==,∵BD=DC,∴=,∵BF∥AM,∴==.(2)解:①如图2﹣1中,作DG∥BE交AC于G.∵DG∥BE,BD=CD,∴==1,∴EG=CG,∵EF∥DG,30 ∴=,∵=,EG=GC,∴=,∴=.故答案为.②如图2﹣2中,作DG∥BE交AC于G.∵DG∥BE,BD=CD,∴==,∵EF∥DG,∴=,∵=,设AE=a,EC=b,EG=mk,CG=nk,则b=mk+nk,k=∴EG=,∴==∴=.(3)解:如图3中,作DG∥BE交AC于G.∵DG∥BE,∴==2,∴2EG=CG,∵EF∥DG,∴=,∵=,GC=2EG,30 ∴=,∴=,∵S△ABC=45,BD:DC=1:2,∴S△ABD=×45=15,∵AF:DF=2:1,∴S△ABF=S△ABD=×15=10,∴S△BDF=5,∵AE:EC=2:3,∴S△BEC=•S△ABC=×45=27,∴S四边形EFDC=S△ECB﹣S△BDF=27﹣5=22.【点评】本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、三角形的面积等知识,解题的关键是学会添加平行线,利用平行线分线段成比例定理解决问题,属于中考常考题型.30 30
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