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2019-2020学年北京市密云区高三(上)期末数学试卷【附答案】
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2019-2020学年北京市密云区高三(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.若集合=㜵㐮‹㜵댳䁪‹,=㜵㐮ȁ㜵댳‹,则=()A.㜵㐮‹㜵댳‹B.㜵㐮‹댳㜵댳‹C.㜵㐮ȁ㜵댳䁪‹D.㜵㐮ȁ댳㜵댳䁪‹㜵2.双曲线ȁ‹的离心率是()䁪‹A.B.C.D.3.若函数=‸㜵⸹满足:对任意正整数㜵,都有‸㜵o‹⸹=‸㜵⸹o,且函数‸㜵⸹的图象经过点‸‹点‹⸹,则在下列选项中,函数‸㜵⸹通过的点的坐标是()A.‸点⸹B.‸点⸹C.‸点⸹D.‸点⸹4.若函数‸㜵⸹sin‸㜵o⸹‸点⸹的相邻两个极小值点之间的距离为,最大值与最小值之差为,且‸㜵⸹为奇函数,则函数的值是()A.B.‹C.D.‹‹5.“㜵mo点m”是“sin㜵”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.下列函数中,既是偶函数,又是‸点o⸹上的增函数是()‹㜵ȁ㜵㜵ȁ㜵A.㜵B.䁡‹㐮㜵㐮C.=oD.=ȁ7.如图所示,四个边长为‹的正方形拼成一个大正方形,是其中一个小正方形的一条边,‸=‹点点䁪点点点点⸹是小正方形其余的顶点,则集合㜵㐮㜵点=‹点点䁪点点点点‹中元素的个数为()A.䁪B.C.D.8.阶段测试后,甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖,其中甲和乙都在丙的前面走,则不同的排序方法种数共有()A.B.C.D.试卷第1页,总10页 㜵,㜵,9.已知函数‸㜵⸹若存在非零实数㜵,使得‸ȁ㜵⸹‸㜵⸹成立,㜵ȁ‹,㜵댳则实数的取值范围是()A.‸ȁ点ȁ䁃B.‸ȁ点ȁ‹䁃C.ȁ点⸹D.ȁ‹点⸹10.设非零向量,的夹角为,定义运算“”:㐮㐮㐮㐮sin.下列命题①若,则;②设䁨中,,䁨,则䁨;③‸o⸹o(为任意非零向量);④若㐮㐮㐮㐮‹,则‸⸹㜵‹.其中正确命题的编号是()A.①②B.②③C.①②③D.①②④二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.)‹11.复数对应的点在第________象限,复数的实部是________.‹o12.抛物线㜵=ȁ的焦点坐标是________,准线方程是________.13.若数列‹是由正数组成的等比数列,且=䁪,=,则公比=________,䁪其前项和=________.14.在䁨中,,,分别是角,,䁨的对边,且=,=‹,,则䁪=________,=________.15.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为________.16.密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动,购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张,并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券,三张优惠券的具体优惠方式如下:优惠券‹:若标价超过元,则付款时减免标价的‹;优惠券:若标价超过‹元,则付款时减免元;优惠券䁪:若标价超过‹元,则超过‹元的部分减免‹.如果顾客需要先用掉优惠券‹,并且使用优惠券‹比使用优惠券、优惠券䁪减免的都多,那么你建议他购买的商品的标价可以是________元.试卷第2页,总10页 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)17.已知角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点,角的终边与角的终边关于直线=㜵对称.‸Ⅰ⸹若为第三象限角,点的纵坐标为ȁ,‸⸹求sin,cos和tan的值;‸⸹求sin‸o⸹的值.‸Ⅱ⸹求函数‸⸹=cosȁcos的最小值.18.甲、乙两位运动员一起参加赛前培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取次,记录如下:甲:‹䁪乙:‹‸Ⅰ⸹请你运用茎叶图表示这两组数据;‸Ⅱ⸹若用甲次成绩中高于分的频率估计概率,对甲同学在今后的䁪次测试成绩进行预测,记这䁪次成绩中高于分的次数为,求的分布列及数学期望;‸Ⅲ⸹现要从中选派一人参加正式比赛,依据所抽取的两组数据分析,你认为选派哪位选手参加较为合适?并说明理由.19.如图,在四棱锥中,底面䁨为直角梯形,䁨,==,==䁨=‹,=,,为线段的中点.‸Ⅰ⸹求直线与平面䁨所成角的余弦值;‸Ⅱ⸹求二面角ȁ䁨ȁ的大小;‸Ⅲ⸹若在段上,且直线与平面䁨相交,求的取值范围.20.已知函数‸㜵⸹=sin㜵oln㜵.‸Ⅰ⸹求曲线=‸㜵⸹在点‸点‸⸹⸹处的切线方程;‸Ⅱ⸹证明:函数‸㜵⸹在区间‸‹点䁪⸹上存在唯一的极大值点;‸Ⅲ⸹证明:函数‸㜵⸹有且仅有一个零点.㜵‹21.已知椭圆o‹‸⸹的长轴长为,离心率为.直线䁡‹,䁡交于点䁪‸‹点⸹,倾斜角互补,且直线䁡‹,䁡与椭圆的交点分别为,䁨(点在点䁨的右侧).‸Ⅰ⸹求椭圆的方程;‸Ⅱ⸹证明:直线䁨的斜率为定值;试卷第3页,总10页 ‸Ⅲ⸹在椭圆上是否存在一点,恰好使得四边形䁨为平行四边形,若存在,分别指出此时点,䁨和的坐标;若不存在,简述理由.22.设数组=‸点,…,⸹,,‸=‹点,…,o‹⸹,数称为数组‹o‹的元素.对于数组,规定:①数组中所有元素的和为‸⸹=‹oooo‹;‹o‹o‹o‹o‹②变换,将数组变换成数组‸⸹‸䁃点䁃点点䁃⸹,其中㜵䁃表示不超过㜵的最大整数;③若数组=‸‹点,…,o‹⸹,则当且仅当=‸=‹点,…,o‹⸹时,=.如果对数组中任意个元素,存在一种分法,可将其分为两组,每组个元素,使得两组所有元素的和相等,则称数组具有性质.‸Ⅰ⸹已知数组=‸‹点‹点‹点‹点‹⸹,=‸‹点点点‹点‹䁪⸹,计算‸⸹,‸⸹,并写出数组,是否具有性质;‸Ⅱ⸹已知数组具有性质,证明:‸⸹也具有性质;‸Ⅲ⸹证明:数组具有性质的充要条件是‹==…=o‹.试卷第4页,总10页 参考答案与试题解析2019-2020学年北京市密云区高三(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.C2.D3.B4.C5.A6.C7.A8.B9.A10.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‹11.四,12.‸点ȁ‹⸹,=‹13.,ȁ‹14.䁪,15.16.‹三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.‸‹⸹‸⸹若角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点,为第三象限角,点的纵坐标为ȁ,即sinȁ,䁪sin∴cosȁ‹ȁsinȁ,和tan.cos䁪‸⸹∵角的终边与角的终边关于直线=㜵对称,䁪∴cos=sinȁ,sin=cosȁ,䁪䁪‹o䁪䁪则sin‸o⸹sincosocossinȁȁȁ.‹‹(2)函数‸⸹=cosȁcos=cosȁ‹ȁcos=‸cosȁ⸹ȁ,‹故当cos时,‸⸹取得最小值为ȁ.试卷第5页,总10页 18.派乙选手参加较为合适19.(1)∵在四棱锥中,底面䁨为直角梯形,䁨,==,==䁨=‹,=,,为线段的中点.∴o=,∴,以为原点,为㜵轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,‹‸点点⸹,‸点点‹⸹,‸点点⸹,‸点‹点⸹,䁨‸‹点‹点⸹,‹‸点‹点⸹,䁨‸‹点‹点ȁ‹⸹,‸点点ȁ‹⸹,设平面䁨的法向量‸㜵点点⸹,䁨㜵oȁ则,取=‹,得‸‹点‹点⸹,ȁ设直线与平面䁨所成角为,㐮㐮䁪则sin,㐮㐮㐮㐮‹o‹‹䁪‹∴直线与平面䁨所成角的余弦值为:‹ȁ‸⸹.‹‹(2)‸‹点点⸹,‸‹点点ȁ‹⸹,设平面䁨的法向量‸点点⸹,ȁ则,取=‹,得‸‹点点‹⸹,䁨oȁ平面䁨的法向量‸‹点‹点⸹,设二面角ȁ䁨ȁ的平面角为,是钝角,㐮㐮䁪䁪则cosȁȁȁ,㐮㐮㐮㐮∴,∴二面角ȁ䁨ȁ的大小为‸Ⅲ⸹∵在段上,且直线与平面䁨相交,∴设,‸‹⸹,则=,‸点点⸹.‸ȁ‹点点⸹,平面䁨的法向量‸‹点‹点⸹,‹∵直线与平面䁨相交,所以,所以.㐮㐮㐮ȁ‹㐮∴sin댳,点‹⸹,㐮㐮㐮㐮‹o‹‹解得.댳,댳‹试卷第6页,总10页 ‹‹∴的取值范围是点⸹‸点‹䁃.‹20.(1)̵‸㜵⸹=cos㜵o,̵‸⸹=coso,‸⸹=‹oln,㜵故过‸点‹oln⸹,m,曲线=‸㜵⸹在点‸点‸⸹⸹处的切线方程是:ȁ‹ȁln‸㜵ȁ⸹,即㜵oln;(2)证明:函数‸㜵⸹的定义域为‸点o⸹,‹‹由题可得̵‸㜵⸹=cos㜵o,″‸㜵⸹=ȁsin㜵ȁ;㜵㜵̵̵当㜵‸‹点䁪⸹时,‸㜵⸹댳,所以̵‸㜵⸹在区间‸‹点䁪⸹上单调递减;‹‹̵‸⸹=coso,̵‸⸹=cosoȁ‹o댳,̵所以‸㜵⸹在区间‸点⸹内有唯一零点㜵;当㜵‸‹点㜵⸹时,̵‸㜵⸹,当㜵‸㜵点䁪⸹时,̵‸㜵⸹댳,所以‸㜵⸹在区间‸‹点䁪⸹存在唯一极大值点.̵‸Ⅲ⸹证明:当㜵‸点⸹时,‸㜵⸹,‸㜵⸹在区间‸点⸹上单调递增;令‸㜵⸹=,即sin㜵=ȁln㜵,画出函数=sin㜵和=ȁln㜵在‸点䁃的图象,如图示:试卷第7页,总10页 ,结合图象,=sin㜵和=ȁln㜵在‸点⸹有‹个交点,即‸㜵⸹=在‸点⸹有‹个零点,当㜵点⸹时,‸㜵⸹=sin㜵oln㜵ln㜵;当㜵点o⸹时,‸㜵⸹=sin㜵oln㜵lnȁ‹;所以‸㜵⸹有且仅有‹个零点.21.(1)由题可知,‹,解得=,=‹,∴䁪,㜵故椭圆的方程为o‹.䁪(2)证明:显然直线䁡‹和䁡的斜率均存在且不为,䁪䁪设直线䁡‹的方程为m‸㜵ȁ‹⸹o,则直线䁡的方程为ȁm‸㜵ȁ‹⸹o䁪m‸㜵ȁ‹⸹o联立,得‸mo䁪⸹㜵ȁ‸mȁ‹m⸹㜵omȁ‹mȁ䁪=,㜵o‹䁪mȁ‹mȁ䁪mȁ‹mȁ䁪ȁ‹mȁ‹mo∴‹㜵䁪om,∴‸䁪om点䁪om⸹.mo‹mȁ䁪ȁ‹mo‹mo同理可得,䁨‸点⸹,䁪om䁪omȁ‹mo‹moȁ‹mȁ‹moȁ∴直线䁨的斜率为䁪om䁪omm‹,mo‹mȁ䁪mȁ‹mȁ䁪mȁ䁪om䁪om故直线䁨的斜率为定值.‸Ⅲ⸹设存在点满足题意,∵四边形䁨为平行四边形,∴䁨,䁪‹结合‸Ⅱ⸹中直线䁨的斜率为‹可知,直线的方程为ȁ㜵ȁ‹,即㜵o.‹㜵o‹‹‹‹‹联立,解得㜵‹ȁ,∴‸ȁ点ȁ⸹,㜵‹o‹䁪mo䁪mȁ‹momo由‸Ⅱ⸹可知,线段䁨的中点为‸点⸹,mo䁪‸䁪om⸹ȁmȁmȁȁmȁ‹mo‹线段的中点为‸点⸹,䁪om‸䁪om⸹试卷第8页,总10页 mo䁪mȁmȁmȁ∵四边形䁨为平行四边形,∴䁨和的中点重合,则有,䁪om䁪om化简得‹momo=,即mo‹mo=,=‹ȁ,此方程有解,故存在点满足题意.22.‸⸹‸⸹=‸‹点‹点‹点‹点‹⸹,‸⸹=‸‹点点点点⸹,数组是具有性质,数组不具有性质.‸⸹证明:当元素‹,,…,o‹均为奇数时,o‹o‹‹o‹o‹o‹o‹因为䁃点‹点点点o‹,所以‸⸹‸点点点⸹,‹o‹o‹o‹对‸⸹中任意个元素,不妨设为点点点,因为数组具有性质,所以对于‹点点点,存在一种分法:将其分为两组,每组个元素,使得各组内所有元素之和相等.mo‹如果用替换上述分法中的‸m‹点点点⸹,m‹o‹o‹o‹就可以得到对于点点点的一种分法:将其分为两组,每组个元素,显然各组内所有元素之和相等,所以此时‸⸹也具有性质.当元素‹,,…,o‹均为偶数时,o‹‹‹o‹因为䁃o䁃点‹点点点o‹,所以‸⸹‸点点点⸹,‹对‸⸹中任意个元素,不妨设为点点点,因为数组具有性质,所以对于‹点点点,存在一种分法:将其分为两组,每组个元素,使得各组内所有元素之和相等,m如果用替换上述分法中的‸m‹点点点⸹,m‹就可以得到对于点点点的一种分法:将其分为两组,每组个元素,显然各组内所有元素之和相等.所以此时‸⸹也具有性质.综上所述,由数组具有性质可得‸⸹也具有性质.‸⸹证明:(1)必要性:显然成立.(2)充分性:因为数组具有性质,所以对于数组中任意个元素,存在一种分法:将个元素平均分成组,并且各组内所有元素之和等于同一个正整数,所以‸⸹ȁ均为偶数,从而元素‸=‹点,…,o‹⸹的奇偶性相同.由‸⸹可知,如果数组具有性质,‹o‹o‹o‹o‹那么‸⸹‸点点点⸹仍具有性质,又因为,当‸=‹点,…,o‹⸹为奇数时,o‹o‹‹䁃,当且仅当=‹时等号成立,当‸=‹点,…,o‹⸹为偶数时,o‹‹‹䁃o䁃댳,试卷第9页,总10页 由此得到‸⸹=的充要条件是=‸‹点‹点‹点‹点‹⸹,‹o‹o‹o‹o‹易知o‹䁃o䁃oo䁃‹oooo‹,当且仅当‹==…=o‹=‹时等号成立,即o‹⩽(‸⸹)⩽‸⸹,当且仅当‹==…=o‹=‹时等号成立,令点‸⸹点m,‹mo‹假设对于任意的m,有‸⸹,则(‸⸹)댳‸⸹,mmmmo‹又‹点䁃,得(‸m⸹)⩽‸m⸹ȁ‹,即‸mo‹⸹⩽‸m⸹ȁ‹,得‸⸹‸‹⸹ȁ‹点,‸m⸹⩽‸mȁ‹⸹ȁ‹,所以‸m⸹⩽‸‹⸹ȁ‸mȁ‹⸹=‸⸹ȁ‸mȁ‹⸹,且‸m⸹单调递减,又因为‸m⸹⩾o‹,矛盾,所以存在m,有‸⸹,mm又由结论‹,得此时m‸‹点‹点‹点‹点‹⸹,上述过程倒推回去,因为数组m‸m=‹点,…,m⸹均具有性质,即数组m中元素‸=‹点,…,o‹⸹,的奇偶性相同,可得数组m中的所有元素都相同,所以,数组‹=中的元素均相同,即‹==…=o‹.试卷第10页,总10页
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