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8.2 消元——二元一次方程组的解法
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解得x=18y=4解法一:设胜x场,负y场,则有x+y=22①2x+y=40②篮球联赛中,每场都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,某队为了争取较好的名次,想在全部的22场比赛中得到40分,那么这个队胜负应该分别是多少?新课导入 解法二:设胜x场,则负(22-x)场,则有2x+(22-x)=40③解得x=18,y=4.解法一和解法二中的方程式有什么联系吗?方程式①x+y=22写成y=22-x,代入方程式②中,可以得到方程式③. 1.熟练地解二元一次方程组;2.了解消元的思想方法,设法消去方程中的一个未知数,把“二元”变成“一元”;3.灵活运用代入消元法、加减消元法解方程组;4.会用加减法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解.知识与能力教学目标 通过探求二元一次方程组的解法,经历用加减法把“二元”化为“一元”的过程,体会消元的思想,以及把“未知”转化为“已知”,把复杂问题转化为简单问题的化归思想.过程与方法情感态度与价值观1.通过研究解决问题的方法,培养合作交流意识与探究精神;2.体会代入消元法和化未知为已知的数学思想. 二元一次方程组的解法——代入消元法和加减消元法,以及列出二元一次方程组解简单的实际问题.二元一次方程的解的不确定性;二元一次方程组解的意义;列出二元一次方程组解简单的实际问题.重点难点教学重难点 消元思想消去二元一次方程组中的一个未知数,把它转化为一元一次方程进行求解,这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫消元思想.知识要点 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫代入消元法,简称代入法.4x+2y=1①用含有x的式子表示y的形式是y=②用含有y的式子表示x的形式是x=8.2.1代入消元法 3x-y=7①5x-6y=3②例1用代入法解方程组解:由①,得y=3x-7③把③代入②,得5x-6(3x-7)=3解这个方程,得x=3把x=3代入③,得y=2所以这个方程组的解是x=3y=2 5x+4y=18②7x-2y=10①例2用代入法解方程组解:由①,得y=③把③代入②,得5x+4()=18解这个方程,得x=2把x=2代入③,得y=2所以这个方程组的解是x=2y=2 1.  选取一个方程,将它写成用一个未知数表示另一个未知数,记作方程③.2.把③代人另一个方程,得一元一次方程.3.解这个一元一次方程,得一个未知数的值.4.把这个未知数的值代人③,求出另一个未知数值,从而得到方程组的解.代入消元法解二元一次方程组的过程:知识要点 二元一次方程组一元一次方程一元一次方程的解二元一次方程组的解代入消元法“化多为少、由繁至简、各个击破、逐一解决”的转化的数学思想.转化代入消元法解二元一次方程组的过程框图: 例3两个完全相同的纸杯中盛有相同重量的水,现将第一个纸杯中的若干重量的水倒入第二个纸杯中,称得第一个纸杯重50克,第二个纸杯重90克(纸杯本身的重量忽略不计),问原来纸杯中各盛有多少克水?从第一个纸杯中倒了多少克水到第二个纸杯中?解:设原来纸杯中盛有x克水,从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为y克,根据题意,得x-y=50①x+y=90② 由①,得x=y+50.③把③代入②,得y+50+y=90.解这个方程,得y=20.把y=20代入③,得x=70.所以这个方程组的解是x=70y=20答:原来纸杯中盛有70克水,从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为20克. ①+②得:(x-y)+(x+y)=50+90,则有2x=50+90所以x=70或者:②-①得:(x+y)-(x-y)=90-50,则有2y=40所以y=20x-y=50①x+y=90②上述方程的另一种解法是: 8.2.2加减消元法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把两个方程两边分别相加(或相减)消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法. 解:①-②,得9y=-18.y=-2.把y=-2代入①,得3x+5×(-2)=5解得x=5所以这个方程组的解是例4用加减法解方程组解这个方程得,3x+5y=5,3x-4y=23.①②x=5y=-2 解:①+②,得7x=14x=2把x=2代入①,得3×2+7y=276+7y=27y=3所以这个原方程组的解是x=2y=3例5用加减法解方程组3x+7y=27①4x-7y=-13② 例6用加减法解方程组4x+5y=23①5x-2y=4②解:①×2,得8x+10y=46③②×5,得25x-10y=20④③+④,得33x=66x=2把x=2代入②,得5×2-2y=4,y=3所以这个方程组的解是x=2y=3 解:原方程组变形为①-②,得:2y=2y=1把y=1代入①,得x=2例7用加减法解方程组2(2x+1)=15-5y3(y+1)=14-4x4x+5y=13  ①4x+3y=11  ②x=2y=1 解:由①×6,得3x+2y=9③由②×15,得5x-3y=15④例8用加减法解方程组②① ⑤+⑥,得19x=57x=3把x=3代入③,得③④组成一个新的方程组:3x+2y=9③5x-3y=15④③×3,得9x+6y=27⑤④×2,得10x-6y=30⑥3×3+2y=9y=0所以原方程组的解是x=3y=0 例9已知方程组与方程组的解相同,求a,b的值.ax-by=4ax+by=24x+3y=114x-5y=3解方程组得解:4x+3y=114x-5y=3把x=2,y=1代入得,ax-by=4ax+by=2x=2y=12a-b=42a+b=2解得a=1.5b=-1 当方程组中同一未知数的系数的绝对值不相等时,必须用等式性质来改变方程组中方程的形式,得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组,从而为加减消元法解方程组创造条件. 主要步骤:基本思路:写解求解加减二元变一元加减消元:消去一个元求出两个未知数的值写出方程组的解加减消元法解方程组基本思路和主要步骤:变形同一个未知数的系数相同或互为相反数 例10解关于x,y的方程组4x+3ky+1=0①6y-4x=1②解:①+②得(3k+6)y=0即(2+k)y=0(1)当k≠-2时,y=0(2)当k=-2时,则k+2=0,(2+k)y=0恒成立原方程组有无数组解.把y=0代入②,得-4x=1y=0 例11已知4|5x+3y-23|+5(x+4y-8)2=0,求x-y的值.解:由题知,5x+3y-23=0①x+4y-8=0②解这个方程组,得x=4y=1所以x-y=4-1=3 例12已知4x3a+b-3+3y2a-b=2,是关于x、y的二元一次方程,试求a、b的值.解:根据题意:得3a+b-3=12a-b=1解,得a=1b=1 解:由已知得3x-2y-8z=0①2x+y-10z=0②例13已知:3x-2y-8z=0,2x+y-10z=0,且x,y,z均不为零,求的值.解得x=4zy=2z 把x=4z,y=2z代入所求代数式,解得 例13当x=2与x=-3时,代数式2x2+ax-b的值都是9,求a,b的值.解:把x=2,x=-3代入2x2+ax-b,得8+2a-b=918-3a-b=9即2a-b=13a+b=9解,得a=2b=3 例14a为何值时,方程组的解互为相反数,并求它的值.2x-7y=9a3x+4y=a-6解:若方程组的解互为相反数,则有y=-x,将y=-x代入原方程组,得2x+7x=9a3x-4x=a-6解,得x=3a=3当a=3时,原方程组中的解互为相反数,即x=3y=-3 例15m,n为何值时,5x4m-ny3m+2n与3x5y6m是同类项.解:根据同类项的定义,有4m-n=53m+2n=6m解,得m=2n=3 1.代入消元法解二元一次方程组对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组,解题时应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形,这样运算简便.课堂小结用加减法解二元一次方程组的思想:“二元”消元转化为“一元”.条件:某一未知数系数绝对值相等.2.用加减消元法解二元一次方程组 2.若(x-2y-3)2+(2x-y-3)2=0,则x、y的值是x=___,y=______.1-11.二元一次方程组的解是________.4x-y=55x+2y=10x=0y=-53.已知│x+y-5│+(2x-3y+10)2=0,则x=____,y=____.14随堂练习 4.己知:,则方程组的解是___________.x=2,y=35.已知(3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数,则m+2n=_______.126.若方程(a2-9)x2+(2-4a)x+(a+4)y+3a-5=0是二元一次方程,则a的值为__.±3 7.已知5a3xb2x-y和-9a8-yb7是同类项,则2xy=____.-6238.若方程组与方程组同解,则m=______,n=______.9.下列方程组中,x=_____,y=______.42 10.已知方程组,且x+y=2,则m2-2m+5的值是____.11.当m≠__时,方程组有一组解.812.已知方程组,且y=3x,则m=___.1 13.己知,则的值是______.214.己知,则的值是_______.2 2.1.习题答案 3.4.设买甲种票x张、买乙种票y张,x+y=35,24x+18y=750.x=20,y=15. 5.6.设到花果山的有x人、到云水洞的有y人.x=2y-1,x+y=200.x=133,y=7.7.设甲、乙两人的平均速度分别为x千米/时和y千米/时.x+y=6,3x-3y=6.x=4,y=2. 8.设每大盒装x瓶、每小盒装y瓶.3x+4y=108,2x+3y=76.x=20,y=12.9.设长为xcm、宽为ycm.x-5=y+2,(x-5)(y+2)=xy.x=y=
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