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_二次函数y=ax² bx c的图象和性质 (2)
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二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质一:知识点讲解知识点一:二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线,与抛物线y=ax²的形状相同,位置不同。利用配方法可以将y=ax²+bx+c转化为顶点式,即:22bcyaxbxcaxxaa222bbbcaxxa2a2aa22b4acbax2a4a二次函数y=ax²+bx+c的性质a的符号a>0a<0图象开口方向向上向下bb对称轴xx2a2a22b4acbb4acb顶点坐标(,)(,)2a4a2a4abb当x时,y随x的增大而当x时,y随x的增大而2a2a减小;增大;增减性bb当x时,y随x的增大而当x时,y随x的增大而2a2a增大;减小;bb当x时,y有最小值,当x时,y有最大值,2a2a最值224acb4acbyy4a4a第1页共7页 12例1:已知二次函数yxx421)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴2)当x取何值时,y随着x的增加而增大?当x取何值时,y随着x的增加而减小?知识点二:抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系抛物线在坐标系内的位置与系数a,b,c的符号有着密切的联系,知道图象的位置可以确定a,b,c的符号;反过来,由a,b,c的符号可以确定抛物线的大致位置。它们之间的关系如下:系数图象的特征系数的符号开口向上a>0a开口向下a<0对称轴为y轴b=0b对称轴在y轴左侧a,b同号对称轴在y轴右侧a,b异号经过原点c=0c与y轴正半轴相交c>0与y轴负半轴相交c<02例2:抛物线yaxbxc经过点(-1,0),对称轴l如下图所示。则下列结论:①abc>0;②a-b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0。其中所有正确的结论是()A.①③B.②③C.②④D.②③④知识点三:待定系数法求二次函数解析式2一般式:yaxbxc(a、b、c为常数,a0)。适用于当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解。2顶点式:yaxhk(a、h、k为常数,a0),抛物线的顶点坐标为(h,k)。适用于当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程。交点式:yaxxxx(a、x、x为常数,a0),其中x、x是抛物线与x121212轴两交点的横坐标。适用于当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程。2例3:二次函数yaxbxc的变量x与变量y的部分对应值如下表:x…-3-2-1015…y…70-5-8-97…第2页共7页 1)求此二次函数的解析式?2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴。二:知识点复习2知识点一:二次函数yaxbxc的图象和性质21.二次函数yx2x3的图象大致是()A.B.C.D.22.将抛物线yx2x3想左平移1个单位,再向下平移3个单位,则抛物线的解析式应为。23.写出二次函数yx2x3的图象顶点坐标和对称轴的位置,求出它的最大值或最小值,并画出它的图象。2知识点二:抛物线yaxbxc与系数的关系24.二次函数yaxbxca0的图象如下图所示,则下列关系式不正确的是()A.abc<0B.a+b+c<0C.2a-b>0D.4a-2b+c<025.已知二次函数yaxbxc的图象如下图所示,则点P(a,bc)在第象限。知识点三:待定系数法求二次函数解析式6.已知一个二次函数,当x1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线2y2x相同,则这个二次函数的表达式是()第3页共7页 22A.y2xx3B.y2x422C.y2x4x8D.y2x4x67.经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的解析式是。28.已知二次函数yaxbxc的图象经过点A(-1,2),B(0,-1),C(1,-2)。1)求二次函数的表达式2)画出二次函数的图象三:题型分析题型一:形如y=ax²+bx+c(a≠0)的二次函数图象的平移22例1:将抛物线yx2x3平移得到抛物线yx,则这个平移过程正确的是()A.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位题型二:利用二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的性质比较函数值的大小2例2:已知二次函数yx2xc的图象上三个点的坐标分别为A(-2,y),B(-1,y),12C(2,y),则y,y,y的大小关系为()3123A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y2D.y3y1y2题型三:选择合适的方法求二次函数的解析式例3:一个二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…-5-4-3-2-1012…759y…044m0…2221)求这个二次函数的解析式2)求m的值四:习题1:选择题21)将函数yx的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是()A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位第4页共7页 22)一次函数yaxba0与二次函数yaxbxca0在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.23)已知二次函数yx2x,下列说法正确的是()A.其图象的开口向上B.其图象的对称轴为直线x1C.其最大值为-1D.其图象的顶点坐标为(-1,1)24)将二次函数yx2x1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到图象的函数表达式是()22A.yx32B.yx3222C.yx12D.yx12225)抛物线yx2xm2(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限26)已知二次函数yaxbxc的图象,如下图所示,则()A.b0,c0B.b0,c0C.b0,c0D.b0,c027)抛物线yx6x9的顶点为A,与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在x轴上取点D,使得四边形ABCD为平行四边形,那么点D的坐标是()A.(-6,0)B.(6,0)C.(-9,0)D.(9,0)8)在-3、-2、-1、0、1、2这六个数中,随机取出一个数,记为m,若数m使关于x1m的分式方程1的解是正实数或零,且使得二次函数2x112x2yx2m1x1的图象,在x1时,y随m的增大而减小,则满足条件的所有m之和是()A.-2B.-1C.0D.2第5页共7页 2:填空题29)如下图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线yx2x2上运动,过点A作AC⊥x轴与点C,以AC为对角线做矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为。210)已知二次函数yaxbxca0的图象如下图所示,则下列结论:①ac0;2②2ab0;③4a2bc0;④对任意实数x均有axbxab。正确结论的序号为。211)如下图,若抛物线yaxbxc上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x1对称,则Q点的坐标为。3:解答题212)如下图,抛物线yxbxc交x轴于点A(1,0)和C,交y轴于点B,对称轴是x2第6页共7页 1求抛物线的解析式2点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。第7页共7页
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