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11.1平方根与立方根
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华东师大版八年级上册《数学》第11章数的开方 五种运算:加、减、乘、除、乘方;结果分别叫做和、差、积、商、幂;加减互为逆运算、乘除互为逆运算。知识回顾1.有理数中你学会了哪几种运算?哪些互为逆运算?2.已知正方形的边长为5cm,正方形的面积是多少?你用有理数的哪一种运算求得?反之,已知正方形的面积是25cm2,这个正方形的边长是多少?如果一个正方形的面积是50cm2,你能用我们学过的运算求出它的边长吗? 华东师大版八年级上册《数学》11.1平方根与立方根(第1课时) 已知边长求面积:52=25(平方运算)已知面积求边长:2=50?(开平方运算)1.平方根⑴定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。或:如果x2=a,那么x叫做a的平方根.(a的平方根是x)注意:由定义知a≥0,即只有非负数才有平方根。 ∵52=25∵(-5)2=25∴5是25的一个平方根∴-5也是25的一个平方根±5都是25的平方根;(25的平方根是±5)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。你能得出什么结论?⑵平方根的性质∵02=0,这说明0的平方根是0 ⑶平方根的记法25负的那个平方根记作:25的平方根记作:25正的那个平方根记作:25正的平方根是5记作:25负的平方根是-5记作:25的平方根是±5记作:一般地,正数a的平方根记作: 注意:①“”读作:正负根号a,它表示a的平方根;②“”中的a叫做被开方数,被开方数a≥0;③“”叫做2次根号,它是开平方运算的运算符号,还有3次根号“”,4次根号“”等。aa被开方数根指数根指数2省略 ⑷开平方求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方.如在x2=100中,求x的值的运算就是把100开平方。x=±10是开平方的结果,叫做100的平方根。记作:注意:①开平方是一种运算,平方根是开平方的结果;②开平方与平方互为逆运算。因此,可由平方运算来求某些正数的平方根; 熟记1~20整数的平方:……112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361202=400 例求256和的平方根.解:∵∴即……由平方运算入手……由平方根定义叙述……由根号表示 1.下列各数中,没有平方根的数是()A.-(-5)2B.2C.(-5)2D.02.计算的平方根,下列表达式正确的是()A.B.C.D.3.下列说法正确的是(填番号)⑴0的平方根是0;⑵-4是16的一个平方根;⑶16的平方根是-4;⑷-1的平方根是-1;⑸任何数的平方根都有两个。4.在中,a的取值范围是.5.如果a的平方根是±6,那么a=。 今天你学到了什么?11.1平方根与立方根⑴⑴平方根定义⑵平方根的性质⑶平方根的记法⑷开平方1.平方根 知识回顾11.1平方根与立方根⑴⑴平方根定义⑵平方根的性质⑶平方根的记法⑷开平方表示49正的那个平方根;表示49负的那个平方根;表示49的平方根;说出下列各式分别表示什么意义:1.平方根 ⑸算术平方根由于正数有两个平方根,并且它们互为相反数。因此,只要求出正的那个平方根,就能得出负的那个平方根。正数正注意:①注意定义中两个“正”的含义;②“平方根”与“算术平方根”的区别是什么;0的算术平方根是0。正数a的算术平方根记作:(a≥0)③算术平方根与绝对值、偶次幂都是非负数。定义:a的的平方根,叫做a的算术平方根。 例1求⑴169;⑵441的算术平方根.解:⑴⑵∵212=441∴169的算术平方根是13∵132=169∴441的算术平方根是21注意:求大于400的整数的算术平方根,可先将该数用短除法分解质因数,再观察它是哪一个整数的平方。 例2求下列各数的值⑴⑵⑶解:⑴⑶⑵注意:已经用根号表示的平方根或算术平方根,按运算顺序用计算题的格式直接算出结果。结果一定要注意化简! 填一填1.平方根恰好是本身的数是___;算术平方根恰好是本身的数是______.00、12.4的平方是_____;4的平方根是_____.16±23±23.9的算术平方根是_____;的平方根是_____.√164.=_____;-=_____;±=____.√36√25√495-6±75.81的算术平方根是____;(-9)2的平方根是____.981±96.若x2=9,则x=____;若=9,则x=____;√x2若=9,则x=____.√x7.若一个正数的两个平方根是m和m-4,则m=____;且这个正数值是____.±3±924 ⑹用计算器求正数的算术平方根用观察法求一个正数的算术平方根有它的局限性,用计算器可求任何一个正数的算术平方根,但有时只能求出它的近似值。例3利用计算器求下列各式的值(结果精确到)⑴⑵⑶ ①② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦解:⑴在计算器上依次键入例3利用计算器求下列各式的值(结果精确到)⑴⑵⑶SD5·89=显示结果为:2.427(结果精确到0.001)∴ ①② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦⑧解:⑵在计算器上依次键入显示结果为:0.5345(结果精确到0.001)∴SD2=7253SHIEF带分数假分数之间转化的按键方法是:SHIEFSD注意:输入带分数的方法是: ⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁解:⑴在计算器上依次键入例3利用计算器求下列各式的值(结果精确到)⑶4·23×5∴显示结果为:2.089(结果精确到0.001)·=-251 今天你学到了什么?11.1平方根与立方根⑴⑵⑴平方根定义⑵平方根的性质⑶平方根的记法⑷开平方⑹用计算器求正数的算术平方根⑸算术平方根1.平方根 知识回顾11.1平方根与立方根⑴⑵⑴平方根定义⑵平方根的性质⑶平方根的记法⑷开平方⑹用计算器求正数的算术平方根⑸算术平方根 2.立方根⑴定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。或:如果x3=a,那么x叫做a的立方根.读作:3次根号a注意:a的立方根记作:a的立方根是x记作:平方根可省略根指数,但两次以上的根指数不能省略. ①27的立方根是什么?②-27立方根是什么?③0的立方根是什么?试一试对照平方根的性质,你能总结出立方根的性质吗?⑵立方根的性质正数的立方根是一个正数;0的立方根是0本身;负数的立方根是一个负数.注意:只有非负数才有平方根,但任何数都有立方根;正数有两个平方根,,但任何数都只有一个立方根. ⑶开立方求一个数的立方根的运算,叫做开立方.如在x3=64中,求x的值的运算就是把64开立方。x=4是开立方的结果,叫做64的立方根。记作:注意:①开平方、开立方都属开方运算,它们开方运算中最常见的两种是一种运算。②开立方与立方互为逆运算。 熟记1~10整数的立方:13=123=833=2743=6453=12562=21673=34383=51293=729103=1000 例1求下列各数的立方根⑴⑵-0.008⑶-1728解:⑵⑶∵(-12)3=-1728∴-1728的立方根是-12∵∴ 例2求列各式的值:⑴⑵⑶解:⑴=-4×(-0.3)=1.2⑵⑶ 以上例题都是用立方的办法通过观察求出立方根.有些数的立方根不能通过观察求出,仍需使用计算器来求立方根。其按键方式与求平方根相同,但应先按键,再按。SHIEF自学课本P6例题注意:如果开立方后结果显示是分数的,转化成小数的方法与求平方根相同⑷用计算器求立方根 今天你学到了什么?11.1平方根与立方根⑴⑵⑴立方根定义⑵立方根的性质⑶开平方⑷用计算器求立方根2.立方根 华东师大版八年级上册《数学》11.1平方根与立方根(第4课时) 知识回顾11.1平方根与立方根⑴平方根定义⑵平方根的性质⑶平方根的记法⑷开平方⑹用计算器求正数的算术平方根⑸算术平方根2.立方根1.平方根⑴立方根定义⑵立方根的性质⑶开平方⑷用计算器求立方根 1.平方根等于它本身的数是;算术平方根等于它本身数是;立方根等于它本身的数是.2.若4a+1的平方根是±5,则a²的算术平方根是.3.36的平方根是;的平方根是.4.已知y=++3,求xy的算术平方根。5.已知:,则x=,y=.6.估算68的立方根的大小在()A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间 例1已知a+3与2a-15是x的平方根,求x的值。∵a+3与2a-15是x的平方根,本题有两种情况:∴(a+3)+(2a-15)=0①解①得:a=4当a=4时,a+3=4+3=72a-15=2×4-15=-7∴±7是x的平方根∴x=(±7)2=49解:a+3=2a-15②解②得:a=18当a=18时,a+3=2a-15=21∴21是x的平方根∴x=212=441综上可得:x的值是49或441 例2求下列各式中的x⑴(2x-1)2=25⑵(1-x)3-=0解:⑴∵(2x-1)2=25∴2x-1=±5由2x-1=5得x=3由2x-1=-5得x=-2∴x=3或x=-2⑵原方程化简成:(1-x)3=∴1-x=解得: 例3一个人每天平均要饮用大约0.0015米3的各种液体.按70岁计算,他所饮用的液体总量用一圆柱形的容器(底面直径与高相等)来装这些液体,这个容器大约有多高?(每年以365天算,结果精确到0.1)解:设这个容器的高是h米,由题意得:答:这个容器的高约是3.7米.
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