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2021年八年级数学上册第2章特殊三角形测试题(有答案浙教版)
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第2章测试卷一、选择题(每题3分,共30分)1.下列四个图案分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是(  )2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是(  )A.18°B.24°C.30°D.36°3.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(  )A.B.C.D.4.如图,已知∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD,以下给出的条件合适的是(  )A.AC=ADB.BC=ADC.∠ABC=∠ABDD.∠BAC=∠BAD5.已知一个等腰三角形的两个内角度数之比为14,则这个等腰三角形顶角的度数为(  )A.20°B.120°C.20°或120°D.36°11 6.在△ABC中,AB2=(a+b)2,AC2=(a-b)2,BC2=4ab,且a>b>0,则下列结论中正确的是(  )A.∠A=90°B.∠B=90°C.∠C=90°D.△ABC不一定是直角三角形7.直角三角形两条直角边长分别是5和12,则第三条边上的中线长是(  )A.5B.6C.6.5D.128.如图,在△ABC中,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线,若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(  )A.20°B.35°C.40°D.70°9.如图,在直线l上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积从左往右依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4等于(  )A.3B.4C.5D.610.如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连结AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连结PQ,BM,下面结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形.其中正确的有(  )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(每题3分,共24分)11.请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题:______________________.12.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为____________.13.已知实数x,y满足(x-4)2+(y-8)2=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是________.14.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式(c2-a2-b2)2+|a-b|=0,则△ABC11 的形状为____________.15.如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有________对全等三角形.16.如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连结小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是________.17.如图,在正方形网格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将格内一个空白小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有________种.18.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,沿EF折叠后,点C与点O重合,则∠OEC的度数是________.三、解答题(19,20题每题6分,21,22,23题每题8分,24题10分,共46分)19.已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”.(1)写出该命题的逆命题;(2)该逆命题是真命题还是假命题?如果是真命题,请画出“图形”,写出“已知”“求证”,再进行“证明”;如果是假命题,请举反例说明.11 20.如图,点E,F在△ABC的边BC上.若AE=AF,BE=CF,求证:AB=AC.21.如图,AB∥CD,EG,FG分别是∠BEF和∠DFE的平分线.求证:△EGF是直角三角形.11 22.如图,∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的邻补角的平分线CF相交于点F,过F作DF∥BC,交AB于D,交AC于E,则:(1)图中有哪些三角形是等腰三角形?为什么?(2)BD,DE,CE之间存在着什么数量关系?并说明理由.23.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.11 24.如图,等腰直角三角形DBC中,∠BDC=90°,BF平分∠DBC,与CD相交于点F,延长BD到A,使DA=DF,连结AC.(1)求证:△FBD≌△ACD;(2)如图,延长BF交AC于点E,且BE⊥AC,求证:CE=BF;(3)在(2)的条件下,H是BC边的中点,连结DH,与BE相交于点G.试探索CE,GE,BG之间的数量关系,并证明你的结论.11 答案一、1.D 2.A3.A 【点拨】利用等积法解答.根据勾股定理求得AB=15,设点C到AB的距离是x,可列方程×9×12=×15x,解之即可.4.A 5.C6.C 【点拨】由题意可得AB2=AC2+BC2,所以△ABC为直角三角形,AB所对的角为直角,所以∠C=90°.7.C8.B 【点拨】由题意知△ABC是等腰三角形,因为AD是其底边上的中线,所以AD也是底边上的高线,所以∠ACB=90°-∠CAD=70°.又因为CE是∠ACB的平分线,所以∠ACE=∠ACB=35°.9.B 【点拨】本题不能直接求出S1,S2,S3,S4,但我们可以利用三角形全等和勾股定理求出S1+S2+S3+S4.根据“AAS”很容易证明△ABC≌△CDE,所以AB=CD.又因为CD2+DE2=CE2,AB2=S3,CE2=3,DE2=S4,所以S3+S4=3.同理可得S1+S2=1,所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.10.D 【点拨】∵△ABD,△BCE为等边三角形,∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°.在△ABE和△DBC中,∴△ABE≌△DBC(SAS).∴①正确.∵△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC.∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°,∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°.∴②正确.易证△ABP≌△DBQ(ASA),11 ∴BP=BQ.又∵∠PBQ=60°,∴△BPQ为等边三角形.∴③正确.二、11.等边三角形的三个角都相等12.75°或15° 13.2014.等腰直角三角形15.3 【点拨】△OPE≌△OPF,△OPA≌△OPB,△AEP≌△BFP,所以共有3对全等三角形.16. 【点拨】在网格中求三角形的高,应借助三角形的面积求解.以AC,AB,BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1,1,,因此△ABC的面积为2×2-1-1-=.用勾股定理计算出BC的长为,因此BC边上的高为.17.318.100° 【点拨】连结OB,OC.易得△AOB≌△AOC(SAS).∴∠ACO=∠ABO.又∵OD垂直平分AB,∴OB=OA,∴∠ABO=∠BAO=∠BAC=25°.∴∠ACO=25°.在△ABC中,∵∠BAC=50°,AB=AC,∴∠ACB=×(180°-50°)=65°.∴∠ECO=∠ACB-∠ACO=40°.由折叠可知,OE=EC.∴∠EOC=∠ECO=40°.∴∠OEC=100°.三、19.解:(1)两边上的高相等的三角形是等腰三角形.(2)真命题.已知:如图,在△ABC中,BE⊥AC于E,CD⊥AB于D,且CD=BE.11 求证:△ABC是等腰三角形.证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠BEA=∠CDA=90°.又∵∠A=∠A,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.20.证明:∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE.∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE.在△ACE和△ABF中,∴△ACE≌△ABF(SAS),∴AB=AC.21.证明:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵EG,FG分别是∠BEF和∠DFE的平分线,∴∠GEF=∠BEF,∠GFE=∠DFE,∴∠GEF+∠GFE=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,∴△EGF是直角三角形.22.解:(1)△BDF和△CEF是等腰三角形.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,∵DF∥BC,∴∠FBC=∠DFB,11 ∴∠DFB=∠DBF,∴DB=DF,∴△BDF是等腰三角形.同理,△CEF也是等腰三角形.(2)BD=DE+CE.理由:由(1)知△CEF是等腰三角形,且EC=EF,∴BD=DF=DE+EF=DE+CE.【点拨】“平行线+角平分线”是等腰三角形中常见的基本图形之一,应注意在其他图形中的发掘与应用.23.证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DC=DE.又∵DF=DB,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.(2)由(1)可知DE=DC,又∵AD=AD,∴Rt△ADC≌Rt△ADE.∴AC=AE.∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.【点拨】(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离,即CD=DE,再根据Rt△CDF≌Rt△EDB,得CF=EB.(2)利用(1)中结论证明Rt△ADC≌Rt△ADE,∴AC=AE,再将线段AB进行转化.24.(1)证明:∵△BCD是等腰直角三角形,且∠BDC=90°,∴BD=CD,∠BDC=∠CDA=90°.在△FBD和△ACD中,∴△FBD≌△ACD(SAS).(2)证明:∵BE⊥AC,∴∠BEA=∠BEC=90°.∵BF平分∠DBC,∴∠ABE=∠CBE,又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(ASA),∴AE=CE.∴CE=AC.由(1)知△FBD≌△ACD,11 ∴BF=AC,∴CE=BF.(3)解:BG2=GE2+CE2.证明:连结CG,∵H是BC边的中点,BD=CD,∴DH垂直平分BC,∴BG=CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).∵BE⊥AC,∴CG2=GE2+CE2,∴BG2=GE2+CE2.【点拨】本题综合考查全等三角形的判定与性质,以及通过添加辅助线利用勾股定理解决问题.11
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