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2021年八年级数学上册第3章勾股定理达标检测题(带答案苏科版)
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第3章达标检测卷一、选择题(每题3分,共24分)1.下列各组数中,为勾股数的是(  )A.1,2,3B.3,4,5C.1.5,2,2.5D.5,10,122.在直角三角形中,若直角边为6和8,则斜边为(  )A.7B.8C.9D.103.如图,将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米,高为8厘米的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为(  )厘米A.1B.2C.3D.44.下列四组线段中,能组成直角三角形的是(  )A.a=2,b=3,c=4B.a=3,b=4,c=5C.a=4,b=5,c=6D.a=7,b=8,c=95.若直角三角形的两边长分别为a、b,且满足a2-6a+9+|b-4|=0,则该直角三角形的第三边长的平方为(  )A.25B.7C.25或7D.25或166.两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形,用两种不同的计算方法计算这个图形的面积,则可得等式为(  )A.(a+b)2=c2B.(a-b)2=c2C.a2+b2=c2D.a2-b2=c211 7.如图,在△ABC中,点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点,且AB=13,BC=15,AC=14,则点O到边AB的距离为(  )A.2B.3C.4D.58.如图,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACB,交AB于E,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC、CF于M、F,若EM=3,则CE2+CF2的值为(  )A.36B.9C.6D.18二、填空题(每题2分,共20分)9.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,BC=________.10.在△ABC中,∠C=90°,BC=12,AB=13,AC=________.11.在△ABC中,∠C=90°,c=2,则a2+b2+c2=________.12.斜边上的中线长为5的等腰直角三角形的面积为________.13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D.若∠A=32°,则∠BCD=________°.14.如图,已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,则AE的长为________.15.△ABC为直角三角形,分别以三边为一边向外作三个正方形,且S1=7,S2=2,则S3=________.16.如图,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆形,其面积分别用S1、S2、S3表示,若S1=5,S2=3,则S3=________.11 17.如图,△ABC中,∠ACB=90°,分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰直角△ABF,等腰直角△BEC和等腰直角△ADC,记△ABF、△BEC、△ADC的面积分别是S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的数量关系是________.18.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,正方形A、B、C的面积分别是8cm2、10cm2、14cm2,则正方形D的面积是________cm2.三、解答题(19~21题每题6分,22~23题每题7分,24~26题每题8分,共56分)19.如图,在四边形ABCD中,已知AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB⊥BC,试说明:AC⊥CD.20.某中学有一块四边形空地ABCD,如图,现计划在该空地上种草皮,经测量∠A=90°,AB=16m,BC=25m,CD=15m,AD=12m.若每平方米草皮需100元,问需投入多少元?21.在四边形ABCD中,AC⊥DC,AD=13cm,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm,求四边形ABCD的面积.11 22.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且AC+AD=32,BD=5,CD=16,试确定AB的长.23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=25,AC=24,AM=AC,BN=BC,求MN的长.24.△ABC的三边长分别是a、b、c,且a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1).(1)判断三角形的形状;(2)若以边b为直径的半圆形面积为2π,求△ABC的面积;11 (3)若以边a、b为直径的半圆形面积分别为p、q,求以边c为直径的半圆形面积.(用p、q表示)25.如图,在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B处,且BC=5m,它们都要到池塘A处吃东西,其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA走到离树24m处的池塘A处,另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处.已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m,设BD为xm.(1)请用含有x的整式表示线段AD的长为________m;(2)求这棵树高多少米.11 26.如图是用硬纸板做成的三个直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,并用这个图形证明勾股定理;(2)假设题图中的两直角边长为a,b的直角三角形有若干个,你能运用它们拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图.(无需证明)11 答案一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C7.C 【点拨】过B作BD⊥AC于D,则∠ADB=∠CDB=90°,设AD=x,则CD=14-x,∵在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=132-x2,在Rt△BCD中,BD2=CB2-CD2=152-(14-x)2,∴132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=5,∴BD2=AB2-AD2=132-52=144,∴BD=12,∵点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点,∴点O到△ABC的三边的距离相等,设点O到边AB的距离为h,则AC×BD=(AB+BC+AC)×h,∴×14×12=×(13+15+14)×h,解得h=4,∴点O到边AB的距离为4.8.A 【点拨】如图,∵CE平分∠ACB交AB于E,CF平分∠ACD,∴∠1=∠2=∠ACB,∠3=∠4=∠ACD,∴∠2+∠3=(∠ACB+∠ACD)=90°,∴△CEF是直角三角形,∵EF∥BC,∴∠1=∠5,∠4=∠F,∴∠2=∠5,∠3=∠F,∴EM=CM,CM=MF,∵EM=3,∴EF=3+3=6,11 在Rt△CEF中,CE2+CF2=EF2=62=36.二、9.8 10.5 11.8 12.25 13.3214.cm 15.5 16.217.S1=S2+S3【点拨】在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形,∴S1=AB2,S2=EC2=BC2,S3=AD2=AC2,∴S2+S3=BC2+AC2=AB2,∴S2+S3=S1.18.17 【点拨】如图,根据勾股定理可知,S正方形1+S正方形2=S大正方形=49cm2,S正方形C+S正方形D=S正方形2,S正方形A+S正方形B=S正方形1,∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49cm2.∴正方形D的面积=49-8-10-14=17(cm2).三、19.解:在△ABC中,AB⊥BC,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5,∵在△ACD中,AC2+CD2=5+4=9,AD2=9,∴AC2+CD2=AD2,∴根据勾股定理的逆定理得,△ACD为直角三角形,11 ∴AC⊥CD.20.解:如图,连接BD.∵∠A=90°,AB=16m,DA=12m,∴DB2=162+122=400(m2),∵BC=25m,CD=15m,∴BD2+DC2=BC2,∴△DBC是直角三角形,∴S△ABD+S△DBC=×12×16+×15×20=246(m2),∴需投入100×246=24600(元).21.解:在Rt△ACD中,AC2=AD2-CD2=132-122=25cm2,在△ABC中,∵AB2+BC2=9+16=25(cm2),AC2=25cm2,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°.∴四边形ABCD的面积=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=36(cm2).22.解:设AD=x,则AC=32-x,∵AD⊥BC于点D,∴△ADC和△ADB都是直角三角形,∵CD=16,∴x2+162=(32-x)2,解得x=12,∴AD=12,在直角三角形ABD中,AB2=52+122=169.∴AB=13.23.解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=24,AB=25,∴BC2=252-242=49.∴BC=7.11 又∵AC=24,BC=7,AM=AC,BN=BC,∴AM=24,BN=7,∴MN=AM+BN-AB=24+7-25=6.24.解:(1)△ABC是直角三角形,理由如下:∵在△ABC中,三条边长分别是a、b、c,且a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),∴a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=(n2+1)2,c2=(n2+1)2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.(2)∵以边b为直径的半圆形面积为2π,则π=2π,解得b=4,∴2n=4,∴n=2,∴a=3,∴△ABC的面积=ab=×3×4=6.(3)∵以边a、b为直径的半圆形面积分别为p、q,∴p=π=,q=π()2=,∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,∴以边c为直径的半圆形面积=π==(a2+b2)=+=p+q.25.解:(1)(27-x)(2)∵∠C=90°,∴AD2=AC2+DC2.∴(27-x)2=(x+5)2+242.∴x=2,∴CD=5+2=7(m).∴这棵树高7m.26.解:(1)如图所示,是梯形;11 我们根据梯形的面积公式可知,梯形的面积=(a+b)(a+b).我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积,即ab+ab+c2.∴a2+b2=c2.(2)画边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.11
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