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初中数学中考冲刺-与圆有关的角专题
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初中数学中考冲刺-与圆有关的角专题知识考点:1、掌握与圆有关的角,如圆心角、圆周角、弦切角等概念;2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数;3、掌握圆周角定理及其推论;4、掌握弦切角定理及其推论;5、掌握各角之间的转化及其综合运用。精典例题:【例1】如图,在等腰△ABC中,AC=BC,∠C=1000,点P在△ABC的外部,并且PC=BC,求∠APB的度数。分析:注意条件AC=BC=PC,联想到圆的定义,画出以点C为圆心,AC为半径的圆,问题则得以解决。解:∵AC=BC,PC=BC∴A、B、P三点在以C为圆心,AC为半径的圆上若P、C在AB的同侧,则∠APB=∠ACB∵∠ACB=1000,∴∠APB=500若P、C在AB的异侧,则∠APB=1800-50=1300 【例2】如图,在△ABC中,∠B=900,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC切于点D,直线ED交BC的延长线于F,若AD∶AE=2∶1,求cot∠F的值。分析:由AD∶AE=2∶1和△ADE∽△ABD有DE∶DB=1∶2,而∠F=∠EBD,则cot∠F=cot∠EBD=,故结论得证。解:连结BD∵AC为⊙O的切线,∴∠1=∠2∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABD∴,即∴∵BE为⊙O的直径,∴∠BDE=900∴∠2+∠BEF=900,∵∠F+∠BEF=900,∴∠2=∠F∴cot∠F=cot∠2==2【例3】如图,由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F、G,连结AF并延长交△BGF的外接圆于H,连结GH、BH。(1)求证:△DFA∽△HBG;(2)过A点引圆的切线AE,E为切点,AE=,CF∶FB= 1∶2,求AB的长;(3)在(2)的条件下,又知AD=6,求tan∠HBG的值。分析:(1)证∠DAF=∠AFB=∠BGH,∠DFA=∠HFG=∠HBG即可;(2)由DC∥AG,得CF∶FB=CD∶BG=1∶2,则AB∶AG=1∶3,由切割线定理得AB=3;(3)由(2)知AB=3,AG=9,过A作AQ⊥DG于Q。由得。所以DF=DG=。由得,所以。故tan∠HBG=tan∠HFG=tan∠QFA==18。探索与创新:【问题一】如图,已知,半圆的直径AB=6cm,CD是半圆上长为2cm的弦,问:当弦CD在半圆上滑动时,AC和BD延 长线的夹角是定值吗?若是,试求出这个定角的正弦值;若不是,请说明理由。分析:本题有一定难度,连结BC(或AD)可构成直角三角形,这是遇直径常用的辅助线。解;连结BC∵CD为定长,虽CD滑动,但的度数不变,∴∠PBC为定值∴∠P=∠ACP-∠PBC=900-∠PBC为定值∵∠PCD=∠PBA,∴△PCD∽△PBA∴在Rt△PBC中,cos∠P=,∴sin∠P=评注:本题是在变中寻不变,有一定的难度,但考虑到常用的辅助线――直径,问题便迎刃而解了。变式:如图,BC与AD交于E,其它条件与上题一致,问∠P与∠DEB的大小关系?分析:∵AB为直径,则∠PCB=∠ADB=900,而cos∠P=,又∵△CED∽△AEB,∴=cos∠DEB。∴cos∠P=cos∠DEB,故∠P与∠DEB的大小相等。 【问题二】如图,AB是⊙O的直径,弦(非直径)CD⊥AB,P是⊙O上不同于C、D的任一点。(1)当点P在劣弧CD上运动时,∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论;(2)当点P在优弧CD上运动时,∠APC与∠APD的关系如何?并证明你的结论(不讨论P与A重合的情形)。分析:(1)P在劣弧CD上运动时,∠APC=∠APD,利用垂径定理及圆周角定理易证;(2)P在优弧CD上运动时,∠APC+∠APD=1800,∠APC所对的弧是,∠APD所对的弧是,而,的度数和等于的度数和,等于3600,由圆周角定理易证明得到结论。跟踪训练:一、选择题:1、下列命题中,正确的命题个数是()①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角度数等于圆心角度数的一半; ③900的圆周角所对的弦是直径;④圆周角相等,则它们所对的弧也相等。A、1个B、2个C、3个D、4个2、已知AB、AC与⊙O相切于B、C,∠A=500,点P是⊙O上异于B、C的一动点,则∠BPC的度数是()A、650B、1150C、650或1150D、1300或5003、O为锐角△ABC的外心,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为D、E、F,则OD∶OE∶OF为()A、∶∶B、∶∶C、cosA∶cosB∶cosCD、sinA∶sinB∶sinC4、如图,AB是⊙O的直径,DB、DC分别切⊙O于B、C,若∠ACE=250,则∠D为()A、500B、550C、600D、6505、如图,⊙O经过⊙O1的圆心O1,∠ADB=,∠ACD=,则与之间的关系是()A、=B、 C、D、二、填空题:6、如图,四边形ABCD内接于⊙O,则=。7、如图,A、B、C是⊙O上的三个点,当BC平分∠ABO时,能得出结论(任写一个)。8、如图,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=。9、如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于C,延长PO交⊙O于点B,PA=AB,PD平分∠APB交AB于点D,则∠ADP=。10、如图,已知直径AB⊥CD于E,∠COB=,则=。11、如图,⊙O1与⊙O2为两个等圆,O1在⊙O2上,O2在⊙O1上,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,过B的直线交⊙O1于C,交⊙O2于D,过C作⊙O1的切线CE与过D作⊙O2的切线DE交于E,则∠E=。三、计算题或证明题: 12、如图,已知P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,OP与AB相交于点M,C为上一点。求证:∠OPC=∠OCM。13、如图,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,点O1在⊙O2上,⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求证:(1);(2)E为△ABC的内心。14、如图,已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连结FB、FC。(1)求证:FB=FC;(2); (3)若AB是△ABC的外接圆的直径,∠EAC=1200,BC=6cm,求AD的长。15、如图,⊙O的直径AB=6,P为AB上一点,过P作⊙O的弦CD,连结AC、BC,设∠BCD=∠ACD,当时,是否存在正实数,使弦CD最短?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由。16、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,EF∶FD=4∶3。(1)求证:AF=DF;(2)求∠AED的余弦值;(3)如果BD=10,求△ABC的面积。跟踪训练参考答案一、选择题:ACCAD二、填空题:6、1400;7、OC∥AB等;8、900;9、450;10、1;11、1200 三、计算题或证明题:12、提示:连结OA,,∴,又∠O是公共角,△OCM∽△OPC。13、略证:(1)连结,O1B,由O1A=O1B可得∠O1AD=∠O1CA,∠AO1D是公共角,∴△O1AD∽△O1CA;(2)连结AE、BE,由∠ABE=∠AO1C=∠ABC,∠BAE=∠BO1E=∠BAC。14、(1)(2)略;(3)cm。15、解:连结OD,设存在正实数,则在⊙O中过P点的所有弦中,只有垂直于直径的弦最短。∴CP⊥AB于P。∵,设AP=,则BP=,又AB=6∴,解得∴OP=OA-AP==在Rt△POD中,cos∠POD=,∴∠POD=300,∠ACD=150∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=900∴∠BCD=900-150=750∵∠BCD=∠ACD ∴=5,即存在正实数,使CD弦最短。16、(1)先证∠ADE=∠DAE;(2)作AN⊥BE于N,设FE=,FD=,可求DE=,由得:AN=,可得EN=,cos∠AED=;(3)△CAE∽△ABE,。
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