2021年山西省太原五中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合M＝{x|2x﹣x2≥0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜2B．a＞2C．a≥2D．a≤22．若复数z满足：（i为虚数单位），则等于（　　）A．2﹣iB．2+iC．2﹣3iD．2+3i3．设函数y＝ln（cosx），x∈（﹣，）的图象是（　　）A．B．C．D．4．如图，设向量＝（3，1），＝（1，3），若＝λ+μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是（　　）A．B．C．D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）A．向右平移单位长度B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．在等差数列{an}中，a11＝2a8+6，则a2+a6+a7＝（　　）A．﹣18B．﹣6C．8D．127．在的展开式中，的系数是14，则x2的系数是（　　）A．28B．56C．112D．2248．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．E＝104.8×101.5M（单位：焦耳），其中M为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的103倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（　　）A．2AB．10AC．100AD．1000A9．A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进人决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是（　　）A．B．C．D．10．已知正四棱锥P﹣ABCD的高为2，，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1，若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）A．20πB．C．4πD．11．在△ABC中，D是BC的中点，已知，，，则△ABC的面积为（　　）A．B．C．D．12．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（　　）A．B．C．D．或2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是　　．14．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过　　次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为　　．15．在某市2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）．已知参加本次考试的全市理科学生约100000人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第　　名．（参考数值：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）．）16．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），则x2﹣4x1的最小值为　　．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝9．数列{bn}满足．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．18．叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直．19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量．最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）．是否合计 青年401050中年302050合计7030100（1）是否有95%的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率；（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82820．已知椭圆C：＝1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（﹣3，0），B（3，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积之比是否为定值．21．已知函数f（x）＝x﹣aex（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）+2x+（a﹣1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．四、请在22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做第一题记分．22．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：．（Ⅰ）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（Ⅱ）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|（a∈R）． （1）当a＝4时，解不等式f（x）＜8；（2）记关于x的不等式f（x）≤2|x﹣3|的解集为M，若[﹣4，﹣1]⊆M，求a的取值范围． 参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合M＝{x|2x﹣x2≥0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜2B．a＞2C．a≥2D．a≤2解：由已知可得M＝[0，2]，N＝（﹣∞，a），因为M⊆N，则只需a＞2，故选：B．2．若复数z满足：（i为虚数单位），则等于（　　）A．2﹣iB．2+iC．2﹣3iD．2+3i解：∵＝＝＝2﹣i，∴z＝2﹣3i，则，故选：D．3．设函数y＝ln（cosx），x∈（﹣，）的图象是（　　）A．B．C．D．解：∵x∈（﹣，），∴0＜cosx＜1，∵函数y＝lnx为增函数，ln1＝0∴ln（cosx）＜0， 故选：A．4．如图，设向量＝（3，1），＝（1，3），若＝λ+μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是（　　）A．B．C．D．解：设C（x，y）．∵＝λ+μ＝λ（3，1）+μ（1，3）＝（3λ+μ，λ+3μ），∴，解得，∵λ≥μ≥1，∴．故选：D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（　　）A．向右平移单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度解：∵，∴将函数的图象向右平移单位长度，可得f（x）的图象，故选：A．6．在等差数列{an}中，a11＝2a8+6，则a2+a6+a7＝（　　） A．﹣18B．﹣6C．8D．12解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由a11＝2a8+6，得2a8﹣a11＝﹣6，即a8﹣3d＝a5＝﹣6，所以a2+a6+a7＝3a5＝﹣18；故选：A．7．在的展开式中，的系数是14，则x2的系数是（　　）A．28B．56C．112D．224解：∵的展开式的通项公式为Tr+1＝•22n﹣2r•x2n﹣2r，令2n﹣2r＝﹣2，求得r＝n+1，故展开式中的系数是•2﹣2＝14，∴＝＝56，求得n＝4．令2n﹣2r＝8﹣2r＝2，求得r＝3，可得x2的系数是•22＝224，故选：D．8．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．E＝104.8×101.5M（单位：焦耳），其中M为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的103倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（　　）A．2AB．10AC．100AD．1000A解：设甲地地震震级为M1，乙地地震震级为M2，因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的103倍，所以，故M1﹣M2＝2，又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，因为，所以，解得Amax＝100A，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为Amax＝100A． 故选：C．9．A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进人决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是（　　）A．B．C．D．解：在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的情况有3种：①第二局A胜，概率为：P1＝，②第二局A负，第三局A胜，概率为P2＝＝，∴在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是：P＝P1+P2＝＝．故选：B．10．已知正四棱锥P﹣ABCD的高为2，，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1，若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）A．20πB．C．4πD．解：因为正四棱锥P﹣ABCD，所以底面是正方形，结合高为2，，设底面对角线交点为M，所以AC＝4，AM＝2，故PM＝AM＝CM＝2，所以△PAC是等腰直角三角形．因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM⊥截面A1B1C1D1．∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为O，球的半径为R，则A1O＝AO＝R．在直角三角形A1ON中，，∴．在直角三角形AOM中，OA2＝AM2+OM2，即，解得R2＝5，故S＝4πR2＝20π．故选：A． 11．在△ABC中，D是BC的中点，已知，，，则△ABC的面积为（　　）A．B．C．D．解：设AB＝c，BC＝a，因为，，，可得sinB＝＝，在△ABC中，a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝8，在△ABD中，，可得：a2+4c2﹣3ac＝8，解得a＝4，c＝2，可得＝＝．故选：D．12．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若△ OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（　　）A．B．C．D．或2【解答】解（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限．如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|＝b，又|OF|＝c，所以|OA|＝a，又，所以，所以，从而可得．（2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|＝b，|OF|＝c，|OA|＝a，所以△OAB的内切圆半径为，所以，又因为|OB|2＝|AB|2+a2，所以，|OB|＝2a，所以∠BOA＝60°，∠AOF＝60°，则，从而可得．综上，双曲线C的离心率为或2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是　y2＝8x　．解：设所求抛物线方程为y2＝ax，依题意42＝2a∴a＝8，故所求为y2＝8x．故答案为：y2＝8x14．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过　5　次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为　{4，5，32}　．解：m＝5时，各步的结果为16→8→4→2→1，即5次步骤后变成1；若5次步骤后变成1，则a6＝1，a5＝2，a4＝4，a3＝8或1，当a3＝8时，a2＝16，a1＝32或a1＝5；当a3＝1时，a2＝2，a1＝4，所以m的所有可能取值组成的集合为{4，5，32}．故答案为：5；{4，5，32}．15．在某市2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）．已知参加本次考试的全市理科学生约100000人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第　15870　名．（参考数值：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）．）解：∵X服从正态分布N（98，100），∴P（X≥108）＝＝，又∵参加本次考试的全市理科学生约100000人，∴他的数学成绩大约排在全市第100000×0.1587＝15870．故答案为：15870．16．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），则x2﹣4x1的最小值为　2﹣2ln2　．解：作出f（x）的图象如图所示，因为f（x1）＝f（x2），所以2x1＝lnx2，即x1＝lnx2， 所以x2﹣4x1＝x2﹣2lnx2，由图可知1＜x2≤e2，令g（t）＝t﹣2lnt（1＜t≤e2），则g′（t）＝1﹣＝，则函数g（t）在（1，2]上单调递减，在[2，e2]上单调递增，所以g（t）min＝g（2）＝2﹣2ln2，故答案为：2﹣2ln2．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝9．数列{bn}满足．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S3＝9，得3a1+3d＝9，又a1＝1，则d＝2，所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；当n＝1时，有＝3，得b1＝，当n≥2时，由++…++＝2n+1得++…+＝2n﹣1+1，两式相减得＝2n+1﹣（2n﹣1+1）＝2n﹣1，所以bn＝＝，又b1＝不满足上式，所以bn＝；（2）证明：根据题意，Tn＝b1+b2+…+bn＝+++…+，所以Tn＝++… ++，两式相减得Tn＝+++…+﹣＝+﹣＝﹣，故Tn＝﹣＜．18．叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直．解：两个平面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．证明：设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ，且α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，三个平面的公共点为O，如图所示：在平面γ内，除点O外，任意取一点M，过点M作MN⊥c，MP⊥b，M、P为垂足，则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α，MP⊥β，∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ．再由b、c在平面γ内，可得a⊥b，a⊥c．同理可证，c⊥b，c⊥a，从而证得a、b、c互相垂直．19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量．最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）． 是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有95%的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率；（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解：（1）由题意可得，K2＝，所以有95%的把握认为看此电影与年龄有关；（2）由题意可知，从样本的中年人中，按分层抽样的方法抽取的5人，其中观看过电影的有＝3人，没观看过的有2人，记抽取的3人中有i人观看过电影为事件Ai，（i＝1，2，3），则＝，＝，从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人观看过电影的概率为P＝P（A2）+P（A3）＝＝；（3）由题意可知，观看过该电影的频率为，将频率看作概率，则随机变量ξ服从二项分布B（10，），所以随机变量ξ的数学期望为E（ξ）＝10×＝7，方差为D（ξ）＝10××（1﹣）＝2.1． 20．已知椭圆C：＝1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（﹣3，0），B（3，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积之比是否为定值．解：（1）由题意可得e＝＝，a＝3，所以c＝，由椭圆的定义可得b2＝a2﹣c2＝9﹣6＝3，所以椭圆的标准方程为：+＝1；（2）设P（x0，y0），（y0≠0），则+＝1，①直线AP的方程为：y＝（x+3），与x＝4联立可得E（4，），所以直线BE的斜率kBE＝＝，，由题意可得直线l的方程为：y＝﹣x，直线BP的方程为：y＝（x﹣3），令x＝0，则y＝，即M（0，），联立解得x＝②，由①②可得：xN＝，即N的轨迹方程为x＝，所以＝＝＝＝，所以△BMO与△NMO的面积之比为定值4：7．21．已知函数f（x）＝x﹣aex（a∈R）． （1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）+2x+（a﹣1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解（1）因为数f（x）＝x﹣aex（a∈R），所以f′（x）＝1﹣aex．当a≤0时，因为ex＞0，所以f′（x）＞0，此时函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln．当x时，f′（x）＞0，当x时，f′（x）＜0．此时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），f（x）的单调递减区间为（ln）．综上所述：当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），f（x）的单调递减区间为（ln）．（2）因为g（x）＝f（x）+2x+（a﹣1）x＝，所以g′（x）＝e2x﹣aex+a．依题意，，解得a＞4．因为x1和x2是g（x）的极值点，所以，则x1+x2＝lna．所以g（x1）+g（x2）＝（）+（），＝，＝alna﹣a．所以，由g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2），可得alna﹣a＞λlna①，因为a＞4，lna＞0，所以①等价于． 令φ（x）＝x﹣，则φ′（x）＝，（x∈（4，+∞）），由于，所以φ′（x）＞0，所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，且φ（4）＝4﹣．所以，φ（a）＝．所以λ的取值范围是．四、请在22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做第一题记分．22．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：．（Ⅰ）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（Ⅱ）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线的普通方程为x+y﹣1＝0．曲线C的极坐标方程是：，根据，转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）P（0，1）在直线l上，把直线的参数方程为（t为参数）代入， 得到，所以．23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|（a∈R）．（1）当a＝4时，解不等式f（x）＜8；（2）记关于x的不等式f（x）≤2|x﹣3|的解集为M，若[﹣4，﹣1]⊆M，求a的取值范围．解：（1）a＝4时，f（x）＝|x﹣4|+2|x+1|，若f（x）＜8，不等式可转化为，解得：﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x＜2或x∈∅，综上，不等式的解集是（﹣2，2）．（2）若[﹣4，﹣1]⊆M，f（x）≤2|x﹣3|，即当x∈[﹣4，﹣1]时，|x﹣a|+2|x+1|≤2|x﹣3|恒成立，∵在[﹣4，﹣1]上，x+1≤0，x﹣3≤0，∴|x+1|＝﹣x﹣1，|x﹣3|＝3﹣x，∴f（x）≤2|x﹣3|等价于|x﹣a|≤8，即﹣8≤x﹣a≤8，∵当x∈[﹣4，﹣1]时该不等式恒成立，∴，解得﹣9≤a≤4．即a的范围是[﹣9，4]．