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陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试卷 Word版含解析
2021-10-089.99元 23页 1.93 MB
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长安一中2020-2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)试题一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法和对数函数的单调性化简集合A,B,再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合,,所以故选:C2.已知为虚数单位,复数的共轭复数为,且满足,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】设,则,由,得:,即易得:,∴故选A3.已知等差数列中,,且,则数列的前项和为()A.B.C.D.-23- 【答案】D【解析】∵∴(+)2=9,又∴+=−3,故S10==5(+)=5(+)=−15故选D4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布,则,.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【答案】B【解析】试题分析:由题意故选B.考点:正态分布5.函数的图象大致是()A.B.-23- C.D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除,即可得到函数的图象.【详解】当x<0时,f(x)0.排除AC,f′(x),令g(x)g′(x),当x∈(0,2),g′(x)>0,函数g(x)是增函数,当x∈(2,+∞),g′(x)<0,函数g(x)是减函数,g(0)=,g(3)=3>0,g(4)=<0,存在,使得g()=0,且当x∈(0,),g(x)>0,即f′(x)>0,函数f(x)是增函数,当x∈(,+∞),g(x)<0,即f′(x)<0,函数f(x)是减函数,∴B不正确,故选D.【点睛】本题考查函数图象的判断,一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断.6.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是()-23- A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量的作用,再根据流程图所示的顺序,可得该程序的作用是累加并输出的值,由此可得到结论.【详解】由题意,执行程序框图,可得:第1次循环:;第2次循环:;第3次循环:;依次类推,第7次循环:,此时不满足条件,推出循环,其中判断框①应填入的条件为:,执行框②应填入:,③应填入:.故选:B.【点睛】-23- 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.7.已知,点为斜边的中点,,,,则等于()A.-14B.-9C.9D.14【答案】D【解析】【分析】利用向量共线及向量的加减法分别表示出,,再利用即可求得,问题得解.【详解】依据题意作出如下图象:因为,所以三点共线..又所以故选D【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算,还考查了向量垂直的数量积关系,考查转化能力及计算能力,属于中档题.-23- 8.设,随机变量的分布列是则当在内增大时()A.减小,减小B.减小,增大C.增大,减小D.增大,增大【答案】A【解析】【分析】根据数学期望和方差的计算公式求得关于的函数关系式,根据函数单调性求得结果.【详解】在内增大时,减小在内增大时,减小本题正确选项:【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的计算,考查对于公式的掌握程度和计算能力.9.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()-23- A.B.C.D.【答案】B【解析】设大圆的半径为R,则:,则大圆面积为:,小圆面积为:,则满足题意的概率值为:.本题选择B选项.点睛:数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式,在图形中画出事件A发生的区域,据此求解几何概型即可.10.已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点,若抛物线的焦点为,且,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.【答案】D【解析】∵双曲线,∴双曲线的渐近线方程是y=x又抛物线的准线方程是x=−,故A,B两点的纵坐标分别是y=,,-23- 又,∴,即,,故选D11.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当n∈N*时,an=,记数列{an}的前n项和为Sn,当Sn=时,n的值为()A.7B.6C.5D.4【答案】D【解析】【分析】先确定f(x)=ax+b,再确定数列的通项公式,利用裂项求和法,即可得出结论.【详解】因为函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5),所以得或(舍去),所以f(x)=2x+1,所以an=,所以Sn=,令Sn=,得n=4.故选:D.【点睛】本题考查数列与函数的综合,考查裂项求和法,确定数列的通项是关键.12.已知函数,若方程有5个解,则的取值范围是()A.B.C.D.-23- 【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法,求出方程的解,结合函数的性质,根据题意可以求出的取值范围.【详解】,,或,由题意可知:,由题可知:当时,有2个解且有2个解且,当时,,因为,所以函数是偶函数,当时,函数是减函数,故有,函数是偶函数,所以图象关于纵轴对称,即当时有,,所以,综上所述;的取值范围是,故本题选D.【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题,正确分析函数的性质,是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上)13.已知,且,则________.【答案】【解析】试题分析:由得:-23- 解方程组:得:或因为,所以所以不合题意,舍去所以,所以,答案应填:.考点:同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.14.已知,则_____,_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由二项式定理及其通项得:令得,令得,所以,由展开式的通项为,则得解.【详解】因为,令得,令得,所以,由展开式的通项为,则,故答案为,.【点睛】本题考查了二项式定理及其二项式展开式的通项,赋值法,属于中档题15.位同学分成组,参加个不同的志愿者活动,每组至少人,其中甲乙人不能分在同一组,则不同的分配方案有_____种.(用数字作答)-23- 【答案】114【解析】【分析】根据题意,分2步进行:①将5位同学分成3组,要求甲乙2人不能分在同一组,需要分2种情况讨论;②将分好的3组全排列,对应3个不同的志愿者活动,由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意,分2步进行分析:①,将5位同学分成3组,要求甲乙2人不能分在同一组,若分成1、2、2的三组,有种,其中甲乙分在同一组的情况有种,此时有种分组方法;若分成3、1、1三组,有种,其中甲乙分在同一组的情况有种,此时有种分组方法;则符合题意的分法有种;②,将分好的3组全排列,对应3个不同的志愿者活动,有种情况,则有种不同的分配方案;故答案为114.【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,可以用间接法分析,避免分类讨论,属于中档题.16.已知平面向量,,,满足,且,则当_____,则与的夹角最大.【答案】.【解析】【分析】以为原点建立平面坐标系,设,,根据向量的数量积的运算公式,分别求得向量的终点所表示的轨迹方程,进而根据圆的性质,即可求解.-23- 【详解】设的起点均为,以为原点建立平面坐标系,如图所示,不妨设,,则,,由可得,即,∴的终点在以为圆心,以为半径的圆上,同理的终点在以为圆心,以为半径的圆上.显然当,为圆的两条切线时,最大,即与的夹角最大.设圆心为,则,∴,则,∴,设与轴交于点,由对称性可知轴,且,∴,即当,则与的夹角最大.故答案为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算,以及圆的性质的应用,其中解答中根据向量的数量积的坐标运算公式,求得向量的终点所表示的轨迹方程,利用圆的性质求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.三、解答题:(共7小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分.-23- 17.的内角的对边分别为,设.(1)求;(2)若的周长为8,求的面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由三角形的内角和定理,化简得到,得到,求得的值,进而求得的值.(2)由题设条件和余弦定理,结合基本不等式,化简得,求得,再结合三角形的面积公式,即可求解.【详解】(1)在中,由,且可得,又因为,可得,所以,则,所以,可得,所以.(2)由的周长为,可得,可得,可得,即,化简,所以或,即或,因为的周长为,当不成立,(舍去)-23- 所以,所以,当且仅当时取“=”,综上可得,的面积的最大值为.【点睛】对于解三角形问题,熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,运用正弦定理求解;当涉及三边或两边及其夹角时,运用余弦定理求解.18.如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,,点是的中点.求证:平面;若直线与平面所成角为,求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)连接交于,连接,利用线面平行的判定定理,即可证得平面;以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设,,分别求得平面和平面的一个法向量和,利用向量的夹角公式,即可求解.【详解】(1)连接交于,连接,-23- 由题意可知,,,又平面外,平面,所以平面.以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设,,则,,,,,,设平面的法向量,由,得,取,又由直线与平面所成的角为,得,解得,同理可得平面的法向量,由向量的夹角公式,可得,又因为二面角为锐二面角,所以二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明,以及空间角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.19.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒,为筛查该病毒,有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性,对于-23- 份血液样本,有以下两种检验方式:一是逐份检验,则需检验次.二是混合检验,将其中份血液样本分别取样混合在一起,若检验结果为阴性,那么这份血液全为阴性,因而检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这份血液究竟哪些为阳性,就需要对它们再逐份检验,此时份血液检验的次数总共为次.某定点医院现取得4份血液样本,考虑以下三种检验方案:方案一,逐个检验;方案二,平均分成两组检验;方案三,四个样本混在一起检验.假设在接受检验的血液样本中,每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是阴性的概率为.(Ⅰ)求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率;(Ⅱ)若检验次数的期望值越小,则方案越“优”.方案一、二、三中哪个最“优”?请说明理由.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)选择方案三最“优”,理由见解析【解析】【分析】(Ⅰ)根据独立事件和对立事件概率公式可计算求得结果;(Ⅱ)确定方案二和方案三检验次数所有可能的取值,并求得每个取值对应的概率,进而得到分布列,由数学期望的计算公式计算得到期望,与方案一的期望进行比较,得到最优方案.【详解】(Ⅰ)该混合样本阴性的概率为:,根据对立事件原理,阳性概率为:.(Ⅱ)方案一:逐个检验,检验次数为.方案二:由(Ⅰ)知,每组个样本检验时,若阴性则检验次数为,概率为;若阳性则检验次数为,概率为,设方案二的检验次数记为,则的可能取值为,;;,则的分布列如下:-23- 可求得方案二的期望为.方案三:混在一起检验,设方案三的检验次数记为,的可能取值为,,,,则的分布列如下:可求得方案三的期望为.比较可得,故选择方案三最“优”.【点睛】本题考查独立事件和对立事件概率问题的求解、离散型随机变量的数学期望的求解问题;关键是能够通过题意准确确定不同方案随机变量所有可能的取值,并准确求得对应的概率,考查学生的分析和解决问题、运算和求解能力.20.已知圆,定点为圆上一动点,线段的垂直平分线交线段于点,设点的轨迹为曲线;(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)若经过的直线交曲线于不同的两点,(点在点,之间),且满足,求直线的方程.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)是线段的垂直平分线,,-23- 轨迹方程;(2)设直线的方程为:,联立方程得:,,由,得,巧借韦达定理建立的方程,解之即可.试题解析:(Ⅰ)设点的坐标为,是线段的垂直平分线,,又点在上,圆,半径是点的轨迹是以为焦点的椭圆,设其方程为,则曲线方程:(Ⅱ)设当直线斜率存在时,设直线的斜率为则直线的方程为:,,整理得:,由,解得:------①又,由,得,结合①得-23- ,即,解得直线的方程为:,当直线斜率不存在时,直线的方程为与矛盾.直线的方程为:21.已知函数,.(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)若函数在定义域上为单调增函数.①求最大整数值;②证明:.【答案】(1)(2)①2②见解析【解析】试题分析:(1)将代入到函数,再对求导,分别求出和,即可求出切线方程;(2)①若函数在定义域上为单调增函数,则恒成立,则先证明,构造新函数,求出单调性,再同理可证,即可求出的最大整数值;②由①得,令,可得,累加后利用等比数列求和公式及放缩法即可得证.试题解析:(1)当时,∴,又,∴,则所求切线方程为,即.(2)由题意知,,-23- 若函数在定义域上为单调增函数,则恒成立.①先证明.设,则,则函数在上单调递减,在上单调递增,∴,即.同理可证∴,∴.当时,恒成立.当时,,即不恒成立.综上所述,的最大整数值为2.②由①知,,令,∴∴.由此可知,当时,.当时,,当时,,,当时,.累加得.又,∴.点睛:(1)导数综合题中对于含有字母参数的问题,一般用到分类讨论的方法,解题时要注意分类要不重不漏;(2)对于恒成立的问题,直接转化为求函数的最值即可;(3-23- )对于导数中,数列不等式的证明,解题时常常用到前面的结论,需要根据题目的特点构造合适的不等式,然后转化成数列的问题解决,解题时往往用到数列的求和及放缩法.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线:(为参数)和直线:(为参数).(1)将曲线的方程化为普通方程;(2)设直线与曲线交于两点,且为弦中点,求弦所在的直线方程.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:熟悉万能代换公式同学都知道,把曲线的方程化为普通方程的方法是换元,令消元更方便,当然本题也可直接消元,先求出后分离常数,与相除,得出,再代入消元整理;第二步为直线的参数方程的几何意义问题,代入参数方程整理为的一元二次方程,由于为弦的中点,则,求出直线方程.试题解析:(1)由,得,即,又,两式相除得,代入,得,整理得,即为的普通方程.(2)将代入,整理得.由为的中点,则-23- .∴,即,故,即,所以所求的直线方程为.【点睛】本题参数方程属于选修内容,熟悉万能代换公式的同学都知道,把曲线的方程化为普通方程的方法是换元,令消元更方便,当然本题也可直接消元;第二步为直线的参数方程的几何意义问题,代入参数方程整理为的一元二次方程,由于为弦的中点,则,求出直线方程.[选修4—5:不等式选讲]23.设函数的最大值为.(1)求的值;(2)若正实数,满足,求的最小值.【答案】(1)m=1(2)【解析】【分析】【详解】试题分析:(1)零点分区间去掉绝对值,得到分段函数的表达式,根据图像即可得到函数最值;(2)将要求的式子两边乘以(b+1)+(a+1),再利用均值不等式求解即可.解析:(1)f(x)=|x+1|-|x|=由f(x)的单调性可知,当x≥1时,f(x)有最大值1.所以m=1.(2)由(Ⅰ)可知,a+b=1,+=(+)[(b+1)+(a+1)]=[a2+b2++]-23- ≥(a2+b2+2)=(a+b)2=.当且仅当a=b=时取等号.即+的最小值为.-23-
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