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湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高一下学期5月联考数学试题 Word版含解析
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www.ks5u.com三湘名校教育联盟·2020年上学期高一五月大联考数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.().A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】逆用余弦的和角公式即可求解.【详解】解:根据余弦的和角公式有.故选:A.【点睛】本题考查余弦和角公式的逆用,是基础题.2.函数f(x)图象大致为(  )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特征,利用奇偶性判断,再利用特殊值取舍.【详解】因为f(x)=f(x),所以f(x)是奇函数,排除B,C-19- 又因为,排除D故选:A【点睛】本题主要考查了函数的图象,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.3.若,则().A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求所在的象限,再判断选项.【详解】∵,∴,∴.故选:C【点睛】本题考查解三角不等式,三角函数符号的判断,属于基础题型.4.设向量,,则下列结论中正确的是().A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】选项A,利用向量共线定理即可判断出正误;选项B,计算是否为,即可判断出正误;选项C,计算是否为,即可判断出正误;选项D,,-19- ,利用数量积运算性质即可得出,,进而判断出正误.【详解】解:选项A,,因此不成立,选项B,,因此成立,选项C,因此不成立,选项D,,,因此不成立.故选:B.【点睛】本题考查了向量坐标运算性质,向量共线定理,向量数量积运算性质,考查了计算能力,属于基础题.5.函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由对数函数的定义域可得,从而即可得解.【详解】由已知可得,由正弦函数的性质知.故选:C.-19- 【点睛】本题考查了对数型复合函数定义域的确定,考查了三角函数性质的应用,属于基础题.6.设,,,则().A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用诱导公式将已知角化为锐角,再利用正弦函数和正切函数的单调性比较可得答案.【详解】,,,因为在上单调递增,所以,即,因为在上单调递增,所以,即,所以.故选:D.【点睛】本题考查了诱导公式,考查了利用正弦函数和正切函数的单调性比较大小,属于基础题.7.若弧度为圆心角所对弦长为m,则该圆心角所对的弧长为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设扇形半径为r,由题意,利用扇形弧长公式即可得解.-19- 【详解】设扇形半径为r,由已知,,则弧长.故选:A.【点睛】本题考查了扇形弧长公式的应用,属于基础题.8.设函数,给出下列结论:①的一个周期为②的图像关于直线对称③的图像关于点对称④在单调递减其中所有正确结论的编号是().A.①④B.②③C.①②③D.②③④【答案】C【解析】【分析】本题根据余弦型函数的性质直接求解即可.【详解】①:的最小正周期为:即,所以①正确;②:的对称轴为:,即,,所以②正确;③:的对称中心的横坐标为:,即,,所以对称中心为:,,当时③正确;④:的单调递减区间为:,即,,所以④错误.故选:C.-19- 【点睛】本题考查余弦型函数的图像与性质,是中档题.9.,,为所在平面内三点,且,,,则().A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出图形,根据向量线性运算求解即可.【详解】解:由题知,中点,为三等分点且靠近点,为中点,如图,所以.故选:D.【点睛】本题考查平面向量基本定理,是基础题.10.已知函数的图像与函数的图像交于M,N两点,则的面积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】-19- 由题意,利用同角三角函数商数关系和平方关系可得,解方程即可得,,即可得解.【详解】由得即,即,解得或,由可得,或,,,显然MN与x轴交于点,.故选:B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.11.如图,矩形中,,,与相交于点,过点作,垂足为,则().A.B.3C.6D.9【答案】B【解析】-19- 【分析】把用表示后再由数量积的定义计算.【详解】,.故选:B.【点睛】本题考查平面向量的数量积,解题关键是用表示,然后根据向量数量积定义计算.12.已知函数在区间有三个零点,,,且,若,则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,知当时,,由对称轴的性质可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【详解】解:由于在区间有三个零点,,,当时,,-19- ∴由对称轴可知,满足,即.同理,满足,即,∴,,所以最小正周期为:.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,涉及函数的对称性的应用,考查计算能力.二、填空题:13.已知,则______.【答案】【解析】【分析】对已知式子两边平方,根据同角三角函数的平方和关系和正弦的二倍角公式即可解决.【详解】由已知得,∴.故答案为:.【点睛】本题考查正弦的二倍角公式,同角三角函数关系,是基础题.14.如图,向量,,的起点与终点均在正方形网格的格点上,若,则______.-19- 【答案】4【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】解:如图,,,,若,则,,所以.故答案为:.【点睛】本题考查向量的线性运算,是基础题.15.函数的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简为关于的二次函数求最值.【详解】,∴当时,取得最大值.故答案为:-19- 【点睛】本题考查三角恒等变形,二次函数求最值,属于基础题型.16.已知是第三象限角,,则______;______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】用诱导公式求,用二倍角公式求,注意确定的范围.【详解】,,∴.∵是第三象限角,∴是第二或第三象限角.若是第二象限角,则,,此时,不满足,∴是第三象限角.∴,∴.故答案为:;.【点睛】本题考查诱导公式,考查二倍角公式,解题时要注意确定角的范围,能确定函数值的正负.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.-19- (1)求的最大值及取得最大值时的值;(2)求的单调递减区间.【答案】(1)1;;(2),【解析】【分析】(1)根据的性质中的最值即可求解;(2)根据的性质中的单调性即可求解.【详解】(1)令,即时,取最大值1.(2)由得的减区间为,【点睛】本题考查的性质,是基础题.18.已知,都是锐角,且,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)因为都是锐角,而,可得 ,由同角三角函数基本关系式得 ;(2)凑角可得 ,由两角差的余弦公式展开,代值即可得解.【详解】(1)∵,∴,∴,-19- ∵,∴,∴,解得.(2)由已知及(1)可得,,∴.【点睛】本题考查三角恒等变换,考查数学运算能力,是中档题.19.已知是第二象限角,,求下列各式值:(1);(2).【答案】(1)3;(2).【解析】【分析】(1)首先根据诱导公式化简,再代入正切值求解.(2)首先利用诱导公式化简,再根据二倍角和两角差的正切公式化简,最后用表示原式,计算结果.【详解】(1).(2).-19- 【点睛】本题考查三角恒等变形,利用正切值表示的齐次分式,属于基础题型,本题的关键是熟练掌握公式.20.已知向量,满足,,.(1)求向量与的夹角;(2)求的值;(3)若向量,,,求的值.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)由得,再根据夹角公式计算即可;(2)根据向量模的计算公式计算即可;(3)根据共线向量定理求解即可.【详解】(1)∵,∴,,,设向量与的夹角为,则,又∵∴.(2)由向量模的计算公式得:.(3)∵,∴,∴,∴,解得.【点睛】本题考查向量的夹角,模,及共线向量基本定理等知识,考查运算能力,是基础题.21.已知函数.-19- (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中,画出函数在上的图像,并写出图像的对称中心;(2)先将函数的图像向右平移个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图像,若在上的值域为,求的取值范围.【答案】(1)作图见解析;对称中心,;(2).【解析】【分析】(1)利用辅助角公式化简得,再根据五点法作图即可,计算对称中心;(2)根据伸缩变换得,再根据正弦函数图象即可解决【详解】(1),列表如下:0-19- 12001在上的图像如图所示,其对称中心为,.(2)将函数的图像向右平移个单位后得到的图像,再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图像,∵,∴,结合正弦函数图数可知,解得,∴的取值范围是.【点睛】本题考查五点法作图,三角函数图象的变换,正弦型函数的值域问题,是中档题.-19- 22.函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式;(2)若,,求取值范围;(3)求实数的正整数,使得函数在上恰有2021个零点.【答案】(1);(2);(3)或时,;时,.【解析】【分析】(1)根据图象,分析函数的周期,求,利用“五点法”中的值求,得到函数的解析式;(2)首先求的范围,再利用二次函数恒成立问题,列式求的取值范围;(3)首先将零点问题转化为函数的图像与直线在上恰有2021个交点,再讨论的取值范围,确定的值.【详解】(1)由图可得,即,,∴,∴,,∴,.(2)∵,∴,∴,-19- 令,则由题意得恒成立,由二次函数图像可知只需,,解得.(3)由题意可得的图像与直线在上恰有2021个交点.在上,,①当或时,的图像与直线在上无交点.②当或时,的图像与直线在仅有一个交点,此时的图像与直线在上恰有2021个交点,则.③当或时,的图像与直线在恰有2个交点,的图像与直线在上有偶数个交点,不可能有2021个交点.④当时,的图像与直线在恰有3个交点,此时,才能使的图像与直线在上有2021个交点.综上可得,当或时,;当时,.【点睛】本题考查三角函数的解析式和性质,不等式恒成立,以及根据函数零点求参数的取值范围,属于中档题型,本题的难点是第三问,需根据三角函数的图形,讨论的取值范围.-19- -19-
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