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安徽省蚌埠市2021届高三上学期第二次教学质量检查考试数学(理)试题 PDF版含答案
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蚌埠市2021届高三年级第二次教学质量检查考试数学(理工类)本试卷满分150分,考试时间120分钟注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1复数z满足z·(1+i)=2i,则|z-2i|=槡10A槡2BC槡10D2+槡2222已知集合A={x|0<x<4},B={x|x-2x-8>0},则A∩(瓓RB)=A(0,2]B(0,2)C(0,4]D(0,4)33π3已知α是三角形的一个内角,tanα=,则cos(α+)=44A-7槡2B-槡2C槡2D7槡2101010101ππ4函数y=ln(-<x<)的图象是cosx2225已知抛物线C∶y=4x的焦点为F,过点F的直线l交C于A,B两点,且|AB|=8,则线段AB中点的横坐标为A1B2C3D4蚌埠市高三年级数学试卷第1页(共4页) 6某校随机调查了110名不同的高中生是否喜欢篮球,得到如下的列联表:男女喜欢篮球4020不喜欢篮球203022n(ad-bc)附:k=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(k≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表,得到的正确结论是A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢篮球与性别有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢篮球与性别无关”C有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”D有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”7在各项均为正数的等比数列中{an},a3=2-槡2,a5=槡2+1,则a1a5+2a2a6+a3a7=A1B9C5槡2+7D3槡2+9xπ8已知函数f(x)=e-asinx在区间(0,)上有极值,则实数a的取值范围是3πA(0,1)B(1,e)C(1,2e)D(1,2e3)269在(x+-1)的展开式中,除常数项外,其余各项系数的和为xA63B-517C-217D-177π10函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的2π部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单3位后,所得图象对应函数的解析式可以为Ay=cos2xBy=-cos2x第10题图5ππCy=sin(2x+)Dy=sin(2x-)66311已知a=log56,b=log35,c=log23,d=,则a,b,c,d的大小关系是2Ab<a<d<cBa<b<c<dCb<a<c<dDa<b<d<c12已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,其底面ABCD是平行四边形,外接球体积为36π,若AC1⊥BD,则其外接球被平面AB1D1截得图形面积的最小值为24381A8πBπCπD6π1010蚌埠市高三年级数学试卷第2页(共4页) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.x+2y≥2,13已知实数x,y满足{x-y+2≥0,目标函数z=5x-y的最大值为.4x-y≤4,14已知单位向量e1,e2满足:e1⊥(e1+2e2),则向量e1与向量e2的夹角θ=22xy2215双曲线E∶-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,M是双曲线的渐近线与圆C∶x+y22ab2=b的一个交点,过M作圆的切线l交y轴于P,若AP的斜率为槡3,则双曲线E的离心率为.16在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC+2槡3sinC-b-c=0,且a=2,则△ABC内切圆半径的最大值为三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分.17(12分)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;11(2)若bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<.anan+1218(12分)如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,πCE∥BG,且∠BCD=∠BCE=,∠ECD=120°.2BC=CD=CE=2AD=2BG.(1)求证:AG∥平面BDE;第18题图(2)求二面角E-BD-C的余弦值.19(12分)市教育局计划举办某知识竞赛,先在A,B,C,D四个赛区举办预赛,每位参赛选手先参加“赛区预赛”,预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛,每个赛区预赛中,成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下:每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一:每轮必答2个问题,共回答6轮,每轮答题只要不是2题都错,则该轮次中参赛选手得20分,否则得0分,各轮答题的得分之和即为预赛得分;方式二:每轮必答3个问题,共回答4轮,在每一轮答题中,若答对不少于2题,则该轮次中蚌埠市高三年级数学试卷第3页(共4页) 参赛选手得30分,如果仅答对1题,则得20分,否则得0分各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为p(0<p<1).1(1)若p=,该选手选择方式二答题,求他晋级的概率;2(2)证明:该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20(12分)22已知圆E∶(x+2)+y=24,动圆N过点F(2,0)且与圆E相切,记动圆圆心N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)P,Q是曲线C上的两个动点,且OP⊥OQ,记PQ中点为M,|OP|·|OQ|=t|OM|,证明:t为定值21(12分)已知函数f(x)=xlnx-a(x-1),(1)讨论函数f(x)在区间(1,+∞)内的零点个数;32(2)若不等式f(x)≤x+ax-(a+4)x+a+2恒成立,求实数a的取值范围.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ,θ∈[0,2π).(1)求曲线C的直角坐标方程;x=2槡5t+6,5(2)由直线l:{(t为参数,t∈R)上的点向曲线引切线,求切线长的最小值.y=槡5t,523[选修4—5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|2x-1|-|a-1|,(1)若a=1时,解不等式:f(x)>2|x+1|;(2)若关于x的不等式f(x)>2|x+1|存在实数解,求实数a的取值范围.蚌埠市高三年级数学试卷第4页(共4页) 蚌埠市2021届高三年级第二次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准(理工类)一、选择题:题号123456789101112答案ADACCCBDBBDA二、填空题:2π槡31361415槡31633三、解答题:17(12分)解:(1)由题意知,Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2(n≥2),从而an+1=an+2(n≥2),即an+1-an=2(n≥2),………………………2分又a2-a1=3-1=2,∴数列{an}是以1为首项,公差为2的等差数列,…………………………4分故an=2n-1(n∈N);……………………………………………………6分11111(2)bn===(-)………………8分an·an+1(2n-1)(2n+1)22n-12n+1111111∴Tn=(1-+-+…+-)……………………10分23352n-12n+1111=(1-)<………………………………………………………12分22n+1218(12分)(1)证明:在平面BCEG中,过G作GN⊥CE于N,交BE于M,连DM,1由题意知,MG=MN,MN∥BC∥DA且MN=AD=BC,2∵MG∥AD,MG=AD,……………………………………………………………3分故四边形ADMG为平行四边形,∴AG∥DM,又DM平面BDE,AG平面BDE,故AG∥平面BDE.…………………………………………………………………6分(2)由题意知BC⊥平面ECD,在平面ECD内过C点作CF⊥CD交DE于F,→→→以C为原点,CD,CB,CF的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,不妨设AD=1,则BC=CD=CE=2BG=2.且C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),E(-1,0,槡3),………………………………8分设平面EBD的法向量n=(x,y,z),→DE·n=0,-3x+槡3z=0,则由{得{B→D·n=0,2x-2y=0,取y=1,得n=(1,1,槡3),………………………………………………………9分蚌埠市高三年级数学试卷答案第1页(共4页) 易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1)…………………………………10分cos<m,n>=m·n=槡3=槡15,|m|·|n|5槡5·1所以二面角E-BD-C的余弦值为槡15.………………………………………12分519(12分)解:(1)该选手选择方式二答题,记每轮得分为X,则X可取值为0,20,30,131且P(X=0)=,P(X=20)=,P(X=30)=……………………3分882记预赛得分为Y,P(Y≥100)=P(Y=120)+P(Y=110)+P(Y=100)1431332123259=()+C4()×+C4()×()=2282812859∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为.……………………………6分128(2)该选手选择方式一答题:设每轮得分为ξ,则ξ可取值为0,20,22且P(ξ=0)=(1-p),P(ξ=20)=1-P(ξ=0)=2p-p∴E(ξ)=20p(2-p),设预赛得分为Y1,则Y1=6ξ,E(Y1)=E(6ξ)=6E(ξ)=120p(2-p).…………………………………9分该选手选择方式二答题:设每轮得分为ζ,则ζ可取值为0,20,30,且3P(ζ=0)=(1-p),2P(ζ=20)=3p(1-p),23P(ζ=30)=3p(1-p)+p,223∴E(ζ)=60p(1-p)+30[3p(1-p)+p]=30p(2-p).设预赛得分为Y2,则Y2=4ζ,E(Y2)=E(4ζ)=4E(ζ)=120p(2-p)因为E(Y1)=E(Y2),所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.…12分20(12分)22解:(1)∵点F(2,0)在圆E∶(x+2)+y=24内,∴圆N内切于圆E,∴|NE|+|NF|=2槡6>|EF|,……………………………………………2分所以N点轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且a=槡6,c=2,从而b=槡222xy故点N的轨迹C的方程为:+=1.………………………………………4分62(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),若直线PQ斜率存在,设直线PQ方程为y=kx+m,y=kx+m222联立x2y2,整理得:(1+3k)x+6kmx+3m-6=0,{+=162蚌埠市高三年级数学试卷答案第2页(共4页) 2-6km3m-6x1+x2=2,x1x2=2……………………………………………6分1+3k1+3k→→因为OP⊥OQ,所以OP·OQ=0,即x1x2+y2y2=0.22化简得:(1+k)x1x2+km(x1+x2)+m=0,223m-6-6km2即(1+k)·+km·+m=0,221+3k1+3k22从而,2m-3k-3=0,①……………………………………………………8分因为OP⊥OQ,且M为PQ中点,所以|PQ|=2|OM|,在直角△ABC中,记原点O到直线PQ的距离为d,则|OP|·|OQ|=d|PQ|=2d|OM|,|m||m|槡6由①知,原点O到直线l的距离为d===,22槡1+k槡2|m|槡3所以t为定值槡6.………………………………………………………………10分若直线PQ斜率不存在,设直线PQ方程为x=n,x=n226-n6-n联立x2y2,解得p(n,),(n,-){+=1槡3槡362由OP⊥OQ得|n|=槡6,即t=槡6,2综上,t为定值槡6.………………………………………………………………12分21(12分)解:(1)函数f(x)定义域(1,+∞),f′(x)=1+lnx-a,a≤1时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增,所以f(x)>f(1)=0,f(x)在(1,+∞)内无零点;……………………………3分a-1a>1时,f′(x)=0的解为x0=e>1,又因为f′(x)在(1,+∞)内单调递增,所以当1<x<x0,f′(x)<0,f(x)在(1,x0)内单调递减,f(x)<f(1)=0,所以f(x)在(1,x0)内无零点;当x>x0,f′(x)>0,f(x)在(x0,+∞)内单调递增;aaaf(x0)<f(1)=0,f(e)=ae-a(e-1)=a>0,所以f(x)在(x0,+∞)有且仅有一个零点;综上所述,当a≤1,函数f(x)在(1,+∞)无零点;当a>1,函数f(x)在(1,+∞)有1个零点.…………………………………………………………………………6分lnx42(2)由题意知a≥-x+-在区间(0,+∞)上恒成立,2xxx24-lnx-x-3+lnx42x设g(x)=-x+-,g'(x)=,…………………8分22xxxx2414设h(x)=-lnx-x-3+,h'(x)=--2x-<0,2xxx所以h(x)在(0,+∞)单调递减,又因为h(1)=0,…………………………10分蚌埠市高三年级数学试卷答案第3页(共4页) 列表如下(0,1)(1,+∞)h(x)+—g'(x)+—g(x)增减当时x=1,g(x)max=g(1)=1,所以a≥1.…………………………………12分22.(10分)解:(1)由ρ=2cosθ+4sinθ,θ∈[0,2π),2可得ρ=2ρcosθ+4ρsinθ,θ∈[0,2π)………………………………………2分222∵ρ=x+y,ρcosθ=x,ρsinθ=y22∴曲线C的直角坐标方程为(x-1)+(y-2)=5.………………………5分x=2槡5t+65(2)∵直线l的参数方程为:{(t为参数,t∈R),y=槡5t5∴直线l上的点P(2槡5t+6,槡5t)向圆C引切线长是5522槡|PC|2-5=2槡5+槡5-5………………………7分(t+6-1)(t-2)槡552=t+8槡5+562槡70()5≥5槡5∴当t=-8槡5时,切线长的最小值为2槡70………………………………10分5523.(10分)解:(1)a=1时,所解不等即为:|2x-1|>2|x+1|,……………………………2分1两边平方解得x<-,41∴原不等式解集为{x|x<-}……………………………………………5分4(2)|2x-1|-|a-1|>2|x+1|存在实数解,即|a-1|<|2x-1|-2|x+1|存在实数解,令g(x)=|2x-1|-2|x+1|,即|a-1|<g(x)max,……………………7分g(x)=|2x-1|-2|x+1|≤|2x-1-(2x+2)|=3,∴当x≤-1时等号成立。∴|a-1|<3,解得a∈(-2,4)…………………………………………10分(其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)蚌埠市高三年级数学试卷答案第4页(共4页)
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