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2016年上海市高考数学试卷(理科)
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2016年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.)1.设,则不等式െ͵的解集为________.െ2.设,其中为虚数单位,则푚________.3.已知平行直线,,则,的距离________.4.某次体检,位同学的身高(单位:米)分别为米),米)㈮,米)⸵,米㈮,米⸵,米)),则这组数据的中位数是________(米).5.已知点െ点⸵在函数的图象上,则的反函数________.6.在正四棱柱ܤܥܤܥ中,底面ܤܥ的边长为െ,ܤܥ与底面所成角的大小为arctan,则该正四棱柱的高等于________.െ7.方程െsincos在区间点上的解为________.െ8.在的二项式中,所有的二项式系数之和为⸵,则常数项等于________.9.已知ܤ的三边长分别为െ,⸵,),则该三角形的外接圆半径等于________.点10.设‸,‸,若关于,的方程组无解,则的取值范围为________.11.无穷数列由个不同的数组成,为的前项和.若对任意,点െ,则的最大值为________.12.在平面直角坐标系中,已知点,ܤ点,是曲线上一个动点,则ܤܤ的取值范围是________.13.设,,点,若对于任意实数都有sinെsin,െ则满足条件的有序实数组点点的组数为________.14.如图,在平面直角坐标系系中,系为正八边形米米米㈮的中心,点,任取不同的两点,,点满足系系系,则点落在第一象限的概率是________.二、选择题(5×4=20分))15.设,则“‸”是“‸”的试卷第1页,总8页 A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是()A.⸵cosB.⸵sinC.⸵cosD.⸵sin17.已知无穷等比数列的公比为,前项和为,且lim,下列条件中,使得͵恒成立的是()A.‸,米͵͵米)B.͵,米)͵͵米C.‸,米)͵͵米㈮D.͵,米㈮͵͵米)18.设、、是定义域为的三个函数,对于命题:①、、均为增函数,则、、中至少有一个增函数;②若、、均是以为周期的函数,则、、均是以为周期的函数,下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题三、解答题(74分))19.将边长为的正方形(及其内部)绕系系旋转一周形成圆柱,如图,长为,െܤ长为,其中ܤ与在平面系系的同侧.െ求三棱锥系ܤ的体积;求异面直线ܤ与所成的角的大小.20.有一块正方形0.,所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到0点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域和,其中中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到0点较近,而菜地内和的分界线上的点到河边与到0点的距离相等,现建试卷第2页,总8页 立平面直角坐标系,其中原点系为0的中点,点0的坐标为点,如图求菜地内的分界线的方程;㈮菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍,由此得到面积的经验值为.设െ是上纵坐标为的点,请计算以为一边,另一边过点的矩形的面积,及五边形系.的面积,并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.21.双曲线‸的左、右焦点分别为0,0,直线过0且与双曲线交于,ܤ两点.直线的倾斜角为,0ܤ是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;设െ,若的斜率存在,且00ܤܤ,求的斜率.22.已知,函数log.当⸵时,解不等式‸;若关于的方程log⸵的解集中恰好有一个元素,求的取值范围;െ设‸,若对任意点,函数在区间点上的最大值与最小值的差不超过,求的取值范围.23.若无穷数列满足:只要点,必有,则称具有性质.若具有性质,且,,െ,⸵,)㈮,求െ;若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,⸵;⸵㈮,,判断是否具有性质,并说明理由;െ设是无穷数列,已知sin,求证:“对任意,都具有性质”的充要条件为“是常数列”.试卷第3页,总8页 参考答案与试题解析2016年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.点2.െ⸵3.⸵4.米)5.log6.⸵7.或8.)െ9.െ10.点11.12.点13.⸵14.㈮二、选择题(5×4=20分)15.A16.D17.B18.D三、解答题(74分)19.解:连结ܤ,试卷第4页,总8页 ∵ܤ长为െ∴系ܤ系ܤ,െ∴系ܤ为正三角形,െ∴系ܤ,െ系ܤെ系系系ܤ.设点ܤ在下底面圆周的射影为ܤ,连结ܤܤ,则ܤܤ,∴ܤܤ为直线ܤ与所成角(或补角),ܤܤ,连结ܤ,ܤ系,系,则系ܤ系ܤ,系,െെ∴ܤ系,െ∴ܤ系为正三角形,∴ܤܤ系,∴tanܤܤ⸵,∴直线ܤ与所成角大小为⸵.20.解:设分界线上任意一点为点,由题意得,整理得:,.如图,过作ܥ轴,因为是上纵坐标为的点,设点,则,∴,⸵⸵∴设所表述的矩形面积为െ,则െ,设五边形系.的面积为,试卷第5页,总8页 ⸵െ则െ系.䁙,㈮⸵㈮െ,͵,െെ∴五边形系.的面积更接近的面积.21.解:∵双曲线‸,则,,∵直线过0且与双曲线交于,ܤ两点,直线的倾斜角为,0ܤ是等边三角形,െ可得:点,可得:,整理得െ,即െ,又‸,解得.所求双曲线方程为:,其渐近线方程为.∵െ,,,∴,∴双曲线,െ∴0点,0点.设点,ܤ点,直线的斜率为:,直线的方程为:,由题意可得:,െ消去可得:െെ,െ‸,可得,െ则െെ.∵0点,0ܤ点,00ܤܤ,∴点点,即,整理得,െെെ∴,⸵⸵解得.⸵⸵∴的斜率为:.⸵试卷第6页,总8页 22.解:当⸵时,log⸵,由‸得log⸵‸,即⸵‸,则‸,则‸,则‸或͵,即不等式的解集为‸或͵.由log⸵,得loglog⸵.即loglog⸵,即⸵‸,①则⸵,即,②当时,方程②的解为,代入①,成立,当െ时,方程②的解为,代入①,成立,当且െ时,方程②的解为或,若是方程①的解,则‸,即‸,若是方程①的解,则‸,即‸,则要使方程①有且仅有一个解,则͵.综上,若方程log⸵的解集中恰好有一个元素,则的取值范围是͵,或െ或.െ函数在区间点上单调递减,由题意得,即loglog,即,即,设,则,,െ当时,,െ当͵时,,െെ∵在点上递减,⸵∴,试卷第7页,总8页 ∴⸵,െെെെ∴实数的取值范围是.െ23.解:∵⸵,∴െ,)െ,∴⸵㈮,)㈮,∴െ.设无穷数列的公差为:,无穷数列的公比为,则‸,⸵㈮,∴,∴⸵,⸵又,㈮∴,െ⸵∴െ⸵∴⸵.െ∵⸵㈮,െ而)㈮,,即,െെ∴不具有性质.െ充分性:若是常数列,设,则sin,若存在,使得,则sinsin,故具有性质.必要性:若对于任意,具有性质,则sin,设函数,sin,由,图象可得,对于任意的,二者图象必有一个交点,∴一定能找到一个,使得sin,∴sin,∴,故sinsin,∴是常数列.试卷第8页,总8页
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