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2016年上海市春季高考数学试卷
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2016年上海市春季高考数学试卷一.填空题(本大题共12题,每题3分,共36分))1.复数ㄠ㘲㈮(㈮为虚数单位)的实部是________.2.若logݔ则,ͳ൅ㄠݔͳ________.3.直线ͳݔݔ൅与直线ͳ的夹角为________.4.函数ͳݔݔ的定义域为________.൅ݔ5.三阶行列式㘲中,元素的代数余子式的值为________.ݔ൅൅൅6.函数ݔͳㄠ的反函数的图象经过点܍൅,则实数ͳ________.ݔ7.在䳌䁨中,若ͳ,䳌ͳ㘲,䳌䁨ͳ,则䁨ͳ________.8.㘲个人排成一排照相,不同排列方式的种数为________(结果用数值表示).൅9.无穷等比数列的首项为,公比为,则的各项的和为________.10.关于ݔㄠݔ程方数系实的ݔㄠͳ的一个虚根为ㄠ㈮,则实数的值为________.11.函数ͳݔݔݔㄠ൅在区间܍上的最小值为,最大值为൅,则实数的取值范围是________.12.在平面直角坐标系ݔݔㄠݔ圆是䳌,点,中2ݔㄠͳ上的两个动点,且满足䳌ͳ,则2ㄠ2䳌的最小值为________.二.选择题(本大题共12题,每题3分,共36分))13.若sin,且tan,则角的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.半径为൅的球的表面积为()㘲A.B.C.D.㘲15.在൅ㄠݔ,中式开展项二的ݔ项的系数为()A.B.C.൅D.16.幂函数ͳݔݔ的大致图象是()试卷第1页,总9页 A.B.C.D.17.已知向量ͳ൅܍,ͳ൅܍,则向量在向量方向上的投影为()A.൅B.C.൅܍D.܍18.设直线与平面平行,直线在平面上,那么()A.直线平行于直线B.直线与直线异面C.直线与直线没有公共点D.直线与直线不垂直19.在用数学归纳法证明等式൅ㄠㄠㄠㄠͳㄠ的第二步中,假设ͳ㐠时原等式成立,那么在ͳ㐠ㄠ൅时需要证明的等式为()A.൅ㄠㄠㄠㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ͳ㐠ㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅B.൅ㄠㄠㄠㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ͳ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅C.൅ㄠㄠㄠㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅ͳ㐠ㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅D.൅ㄠㄠㄠㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅ͳ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅ݔݔ20.关于双曲线ݔ与൅ͳݔͳ൅的焦距和渐近线,下列说法正确的是()൅㘲൅㘲A.焦距相等,渐近线相同B.焦距相等,渐近线不相同C.焦距不相等,渐近线相同D.焦距不相等,渐近线不相同21.设函数ͳݔ数函”是”ͳ”则,为域义定的ݔ为奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件22.下列关于实数,的不等式中,不等式恒成立的是()A.ㄠB.ㄠݔㄠㄠC.D.ݔ试卷第2页,总9页 23.设单位向量൅与既不平行也不垂直,对非零向量ͳݔͳ,൅ㄠ൅൅ݔ൅ㄠ有结论:①若ݔݔ൅ݔ൅ͳ,则;②若ݔ൅ݔㄠ൅ͳ,则.关于以上两个结论,正确的判断是()A.①成立,②不成立B.①不成立,②成立C.①成立,②成立D.①不成立,②不成立ݔݔ24.对于椭圆䁨܍:ㄠͳ൅܍܍.若点ݔ܍满足ㄠ൅.则称该点在椭圆䁨内,在平面直角坐标系中,若点在过点܍൅的任意椭圆䁨内或(܍)(܍)椭圆䁨上,则满足条件的点构成的图形为()(܍)A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部三.解答题(本大题共5题,共8+8+8+12+12=48分))25.如图,已知正三棱柱䳌䁨ݔ൅䳌൅䁨൅的体积为,底面边长为,求异面直线䳌䁨൅与䁨所成的角的大小.26.已知函数ݔ出指并,值大最及期周正小最的ݔ求,ݔsocㄠݔnisͳݔ取得最大值时ݔ的值.27.如图,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口直径是㘲܍,灯深൅܍,求灯泡与反射镜的顶点2的距离.试卷第3页,总9页 28.已知数列是公差为的等差数列.൅൅,,㘲成等比数列,求൅的值;൅设൅ͳݔ൅ㄠ,൅ͳ൅足满列数.为和项前的列数,൅ݔͳ,记܍ͳㄠݔ൅,求数列܍的最小项܍(即܍܍对任意成立).29.对于函数ݔݔݔͳ合集记,ݔ,ݔ.൅设ݔͳݔ,ݔͳݔㄠ,求;൅ݔݔ设൅ݔ,൅ㄠㄠͳݔ,൅ݔݔͳݔͳ,如果൅ͳ.求实数的取值范围.二卷一.选择题:(9分))30.若函数ݔsinͳݔㄠ是偶函数,则的一个值是()A.B.C.D.31.在复平面上,满足ݖ数复的㘲ͳ൅ݔݖ的所对应的轨迹是()A.两个点B.一条线段C.两条直线D.一个圆32.已知函数ͳݔ的图象是折线䳌䁨,如图,其中൅܍,䳌܍൅,䁨܍,㘲܍൅,܍,若直线ͳ㐠ݔͳ与ㄠݔ的图象恰有四个不同的公共点,则㐠的取值范围是()൅൅൅A.ݔ.B൅܍܍൅ݔ,C.܍൅D.二.填空题:(9分))ݔ33.椭圆ㄠͳ൅的长半轴的长为________.34.已知圆锥的母线长为൅,母线与轴的夹角为,则该圆锥的侧面积为________.35.小明用数列记录某地区൅年൅月份൅天中每天是否下过雨,方法为:当第㐠天下过雨时,记㐠ͳ൅,当第㐠天没下过雨时,记㐠ͳݔ൅൅㐠൅,他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第㐠天有雨时,记ͳ൅,当预报第㐠天没有雨时,记ͳݔ൅记录完毕后,小明计算出൅൅ㄠㄠㄠㄠ൅൅ͳ,那么该月气象台预报准确的总天数为________.三.解答题:(12分))36.对于数列与,若对数列܍的每一项܍,均有܍㐠ͳ㐠或܍㐠ͳ㐠,则称数列܍是与的一个“并数列”.试卷第4页,总9页 ൅设数列与的前三项分别为൅ͳ൅,ͳ,ͳ,൅ͳ൅,ͳ,ͳ,若܍是与一个“并数列”求所有可能的有序数组܍൅܍܍܍܍;已知数列,܍均为等差数列,的公差为൅,首项为正整数;܍的前൅项和为ݔ,前项的和为ݔ,若存在唯一的数列,使得܍是与的一个“并数列”,求的值所构成的集合.试卷第5页,总9页 参考答案与试题解析2016年上海市春季高考数学试卷一.填空题(本大题共12题,每题3分,共36分)1.2.3.㘲4.܍ㄠ5.6.൅7.8.㘲9.10.ݔ㘲11.൅܍12.㘲二.选择题(本大题共12题,每题3分,共36分)13.B14.D15.C16.C17.A18.C19.D20.B21.B22.D23.A24.B三.解答题(本大题共5题,共8+8+8+12+12=48分)25.解:∵正三棱柱䳌䁨ݔ൅䳌൅䁨൅的体积为,底面边长为,∴ͳͳͳ,解得ͳ㘲,㘲∵൅䁨൅与䁨平行,∴䳌䁨൅൅是异面直线䳌䁨൅与䁨所成的角,在൅䳌䁨൅中,൅䁨൅ͳ,䳌䁨൅ͳ䳌൅ͳ,䳌䁨ㄠ൅䁨൅ݔ䳌൅൅∴cos䳌䁨൅൅ͳͳ.䳌䁨൅൅䁨൅൅试卷第6页,总9页 ∴䳌䁨൅൅ͳarccos.൅∴异面直线䳌䁨൅与䁨所成的角的大小为arccos.൅26.解:∵ݔsinͳݔsocㄠݔsinͳݔㄠ,∴函数的周期为ͳ,函数的最大值为,且函数取得最大值时,ݔㄠͳ㐠ㄠ,即ݔͳ㐠ㄠ,㐠.27.解:建立平面直角坐标系,以2为坐标原点,水平方向为ݔ轴,竖直方向为轴,如图所示:则:设抛物线方程为ͳݔͳ线物抛在൅܍൅点,ݔ上,∴൅㘲㘲ͳ൅.∴ͳ.∴灯泡与反射镜的顶点2的距离܍.28.解:൅∵数列是公差为的等差数列.൅,,㘲成等比数列,∴ㄠ䁕ͳㄠ䁕.൅൅൅解得䁕ͳ,൅ͳݔ.ͳ൅ㄠݔݔㄠㄠݔㄠ൅ݔ൅൅൅൅ͳ൅ㄠㄠㄠㄠݔ൅൅൅ݔͳ൅൅ݔ൅ݔ൅ͳݔ.ݔ൅ͳݔͳㄠ൅ݔ,܍ͳㄠݔㄠݔͳ൅ݔ൅ݔ൅ݔㄠݔͳ൅ݔ൅,܍ݔㄠݔݔ൅ݔ൅ㄠㄠ൅ㄠݔ൅ㄠͳ܍ݔ൅ㄠ൅ͳݔ൅ㄠ由题意,上式大于零,即܍܍൅܍,进一步,ㄠ是关于的增函数,试卷第7页,总9页 ∵㘲ㄠ㘲ͳ㘲൅,ㄠͳ൅㘲൅,∴܍൅܍܍܍㘲܍܍܍൅܍,∴܍maxͳ܍ͳ܍㘲ͳݔ㘲.29.解:൅由ݔ或൅ݔݔݔͳ得,ㄠݔݔ;ͳݔݔͳ൅ݔݔݔ൅,൅൅ݔݔͳݔㄠㄠ൅,由൅ͳ得ͳ或ͳݔ܍,其中൅,൅ݔݔ若ͳ,则ㄠㄠ൅在上恒成立,൅ݔ令ͳ܍ㄠ,整理上式则有ݔݔ,൅൅൅ͳݔͳݔݔㄠㄠ,㘲∴时成立.对于ͳݔ܍,其中൅以下只讨论的情况൅ݔݔ对于ㄠㄠ൅,൅ݔͳ,ݔ൅ㄠ൅ݔ㘲ݔ൅ݔ൅ݔ㘲∴ㄠㄠ,解得或,ݔ൅ㄠ൅ݔ㘲又,所以,൅ݔ൅ㄠ൅ݔ㘲ݔ൅ㄠ൅ݔݔ㘲即ݔlog൅,ݔ൅ㄠ൅ݔ㘲൅㘲∴ͳlog൅൅ͳlog൅ݔ,㘲综上所述:ݔ.二卷一.选择题:(9分)30.B31.D32.B二.填空题:(9分)33.34.35.三.解答题:(12分)36.解:൅൅܍܍,൅܍܍,൅܍܍,൅܍܍;试卷第8页,总9页 由题意可知ͳㄠݔ൅,设܍的公差为䁕,∵܍的前൅项和为,൅ͳݔ,ͳݔ,∴䁕ͳݔ,܍൅ͳ,所以܍ͳݔ.∵܍㐠ͳ㐠或܍㐠ͳ㐠,当܍㐠ͳ㐠时,ݔͳ,൅ݔ㐠ㄠͳ㐠ݔ㐠,㐠,∴㐠ͳ൅,ͳ;或㐠ͳ,ͳ,所以㐠.㐠时,܍ͳ,㐠㐠∵数列唯一,所以只要൅,唯一确定即可.显然,ͳ,或ͳ时,൅,不唯一,∴且,,即的值构成的集合为:且,.试卷第9页,总9页
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