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2015年上海市高考数学试卷(理科)
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2015年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题共有14题,满分48分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.)1.设全集全.若集合全ሼ,全耀,则全________.2.若复数满足䁪全ሼ䁪㔠,其中㔠是虚数单位,则全________.ሼ全,3.若线性方程组的增广矩阵为解为则ሼ=________.ሼ全㈠,4.若正三棱柱的所有棱长均为,且其体积为ሼ,则全________.5.抛物线全上的动点到焦点的距离的最小值为ሼ,则全________.6.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为,则其母线与轴的夹角的大小为________.7.方程logሼ㈠全logሼ䁪的解为________.8.在报名的名男老师和名女教师中,选取㈠人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为________(结果用数值表示).9.已知点和的横坐标相同,的纵坐标是的纵坐标的倍,和的轨迹分别为双曲线ሼ和.若ሼ的渐近线方程为全,则的渐近线方程为________.10.设ሼ为全䁪,的反函数,则全䁪ሼ的最大值为________.ሼሼ11.在ሼ䁪䁪的展开式中,项的系数为________(结果用数值表示).ሼ㈠12.赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有ሼ,,,,㈠的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的ሼ倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ሼ和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则ሼ全________(元).13.已知函数全sin.若存在ሼ,,…,满足ሼ,且耀耀䁪耀耀䁪䁪耀耀全ሼ,则ሼሼ的最小值为________.ሼ14.在锐角三角形中,tan全,为边上的点,与的面积分别为和.过作于,于,则全________.二、选择题(本大题共有4题,满分15分.)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.)15.设ሼ,,则“ሼ、中至少有一个数是虚数”是“ሼ是虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件试卷第1页,总8页 16.已知点的坐标为ሼ,将绕坐标原点逆时针旋转至,则点的纵坐标为()㈠ሼሼሼA.B.C.D.17.记方程①:䁪䁪ሼ全,方程②:䁪䁪全,方程③:䁪䁪ሼ全,其中ሼ,,是正实数.当ሼ,,成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是()A.方程①有实根,且②有实根B.方程①有实根,且②无实根C.方程①无实根,且②有实根D.方程①无实根,且②无实根18.设是直线全与圆䁪全在第一象限的交点,则䁪ሼሼ极限lim全ሼሼA.ሼB.C.ሼD.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.)19.如图,在长方体ሼሼሼሼ中,ሼ全ሼ,全全,、分别是、的中点,证明ሼ、ሼ、、四点共面,并求直线ሼ与平面ሼሼ所成的角的大小.20.如图,,,三地有直道相通,全㈠千米,全千米,全千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地,经过小时,他们之间的距离为(单位:千米).甲的路线是,速度为㈠千米/小时,乙的路线是,速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设全ሼ时乙到达地.ሼ求ሼ与ሼ的值;试卷第2页,总8页 已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当ሼሼ时,求的表达式,并判断在ሼሼ上的最大值是否超过?说明理由.21.已知椭圆䁪全ሼ,过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、,ሼ记得到的平行四边形的面积为.ሼ设ሼሼ,,用、的坐标表示点到直线ሼ的距离,并证明全耀ሼሼ耀;ሼ设ሼ与的斜率之积为,求面积的值.22.已知数列与满足全,.䁪ሼ䁪ሼሼ若全䁪㈠,且ሼ全ሼ,求数列的通项公式;设的第项是最大项,即,求证:数列的第项是最大项;设全,全,求的取值范围,使得有最大值与最小值,ሼ且.23.对于定义域为的函数,若存在正常数,使得cos是以为周期的函数,则称为余弦周期函数,且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数,其值域为.设单调递增,全,全.ሼ验证全䁪sin是以为周期的余弦周期函数;设,证明对任意,存在,使得全;证明:“为方程cos全ሼ在上得解,”的充分条件是“䁪为方程cos全ሼ在区间上的解”,并证明对任意,都有䁪全䁪.试卷第3页,总8页 参考答案与试题解析2015年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题共有14题,满分48分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.1.ሼሼሼ2.䁪㔠3.ሼ4.5.6.7.全8.ሼ9.全10.11.㈠12.13.ሼ14.ሼ㈠二、选择题(本大题共有4题,满分15分.)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.B16.D17.B18.A三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.解:连接,因为,分别是,的中点,所以是的中位线,所以.由长方体的性质知ሼሼ,所以ሼሼ,所以ሼ、ሼ、、四点共面.以为坐标原点,、、ሼ分别为、、轴,建立空间直角坐标系,试卷第4页,总8页 易求得ሼ全ሼ,ሼሼ全,ሼ全ሼሼ,设平面ሼሼ的法向量为全,ሼሼ全,则ሼ全,䁪全,所以全,令全ሼ,得全ሼ,全ሼ,所以全ሼሼሼ,耀ሼ耀耀ሼሼሼሼ耀ሼ㈠所以耀cos,ሼ耀全全全,耀耀耀ሼ耀㈠ሼ㈠ሼ㈠所以直线ሼ与平面ሼሼ所成的角的大小arcsin.ሼ㈠20.解:ሼ由题意可得ሼ全全小时,ሼ㈠设此时甲运动到点,则全甲ሼ全㈠全千米,∴ሼ全全䁪cosሼ㈠ሼ㈠ሼ全䁪全千米.㈠当ሼ时,乙在上的点,设甲在点,∴全䁪全,全全㈠㈠,∴全全䁪cos全䁪㈠㈠㈠㈠全㈠䁪ሼ,试卷第5页,总8页 当ሼ时,乙在点不动,设此时甲在点,∴全全全㈠㈠㈠䁪ሼ,∴全㈠㈠ሼ,ሼ∴当ሼ时,,故的最大值没有超过千米.ሼ21.解:ሼ依题意,直线ሼ的方程为全,ሼ由点到直线间的距离公式得:ሼ耀ሼ耀耀ሼሼ耀点到直线ሼ的距离全全,ሼሼ䁪ሼሼ䁪ሼ因为耀耀全耀耀全ሼ䁪ሼ,所以全耀耀全耀ሼሼ耀.当ሼ与时的斜率之一不存在时,同理可知结论成立.ሼ设直线ሼ的斜率为,则直线的斜率为,全,设直线ሼ的方程为全,联立方程组䁪全ሼ,ሼ消去解得全,ሼ䁪ሼ根据对称性,设ሼ全,则ሼ全,ሼ䁪ሼ䁪同理可得全,全,ሼ䁪ሼ䁪所以全耀ሼሼ耀全.22.ሼ解:∵䁪ሼ全䁪ሼ,全䁪㈠,∴䁪ሼ全䁪ሼ全䁪㈠全,∴是等差数列,首项为ሼ全ሼ,公差为,则全ሼ䁪ሼ全㈠;证明:∵全ሼ䁪ሼ䁪䁪ሼ䁪ሼ全ሼ䁪ሼ䁪䁪ሼ䁪ሼ全䁪ሼሼ,ሼ∴全䁪ሼሼ,ሼሼ∴全䁪ሼሼ䁪ሼሼ.∴数列的第项是最大项;解:由可得全,①当ሼ时,全单调递减,有最大值全全;ሼ全ሼ单调递增,有最小值全ሼ全,试卷第6页,总8页 ∴全ሼ,ሼ∴,,ሼ∴,.②当全ሼ时,全,ሼ全ሼ,∴全,全ሼ,全,不满足条件.③当ሼ时,当䁪时,䁪,无最大值;当䁪时,ሼ,无最小值.ሼ综上所述,时满足条件.23.解:ሼ全䁪sin,䁪∴cos䁪全cos䁪䁪sin全cos䁪sin全cos,∴是以为周期的余弦周期函数;∵的值域为,∴存在,使全.又,∴,而为增函数.∴,即存在,使全.证明:若䁪为方程cos全ሼ在区间上的解,则:cos䁪全ሼ,䁪,∴cos全ሼ,且,∴为方程cos全ሼ在上的解,∴“为方程cos全ሼ在上得解”的充分条件是“䁪为方程cos全ሼ在区间上的解”;下面证明对任意,都有䁪全䁪:①当全时,全,∴显然成立;②当全时,cos全cos全ሼ,∴全ሼ,ሼ,全,且ሼ,∴ሼ;ሼ若ሼ全,全,由知存在,使全;cos䁪全cos全ሼ䁪全,,∴䁪,∴,∴,无解;若ሼ㈠,ሼ,则存在ሼ,使得ሼ全,全,则,ሼ,,为cos全ሼ在上的个解,但方程cos全ሼ在上只有全,,,个解,矛盾;当ሼ全时,全全䁪,结论成立;③当时,,考查方程cos全在上的解,试卷第7页,总8页 设其解为ሼ,,…,,ሼ,则ሼ䁪,䁪,…,䁪为方程cos全在上的解,又䁪,而ሼ䁪,䁪,…,䁪为方程cos全在上的解,∴㔠䁪全㔠䁪全㔠䁪,∴综上对任意,都有䁪全䁪.试卷第8页,总8页
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