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2014年上海市高考数学试卷(文科)
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2014年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(本大题共14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。)1.函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是________.2.若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+1z)⋅z=________.3.设常数a∈R,函数f(x)=|x-1|+|x2-a|,若f(2)=1,则f(1)=________.4.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为________.5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为________.6.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________.7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为________(结果用反三角函数值表示)8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于________.9.设f(x)=-x+a,x≤0,x+1x,x>0,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为________.10.设无穷等比数列{an}的公比为q,若a1=limn→∞(a3+a4+...an),则q=________.11.若f(x)=x23-x-12,则满足f(x)<0的x的取值范围是________.12.方程sinx+3cosx=1在闭区间[0, 2π]上的所有解的和等于________.13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是________(结果用最简分数表示).14.已知曲线C:x=-4-y2,直线l:x=6,若对于点A(m, 0),存在C上的点P和l上的Q使得AP→+AQ→=0→,则m的取值范围为________.二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分)15.设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的(    )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件试卷第7页,总7页 16.已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a, b}={a2, b2},则a+b=(    )A.2B.1C.0D.-117.如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1, 2,…,7)是小正方形的其余顶点,则AB→⋅APi→(i=1, 2,…,7)的不同值的个数为(    )A.7B.5C.3D.118.已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组a1x+b1y=1,a2x+b2y=1 的解的情况是(    )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解三、解答题(共5小题,满分74分))19.底面边长为2的正三棱锥P-ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.20.设常数a≥0,函数f(x)=2x+a2x-a.(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x);(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.21.如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12∘,β=18.45∘,求CD的长(结果精确到0.01米).22.在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1, y1),P2(x2, y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l试卷第7页,总7页 为曲线C的一条分隔线.(1)求证:点A(1, 2),B(-1, 0)被直线x+y-1=0分隔;(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;(3)动点M到点Q(0, 2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线.23.已知数列{an}满足13an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;(2)若{an}是等比数列,且am=11000,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应{an}的公比;(3)若a1,a2,…a100成等差数列,求数列a1,a2,…a100的公差的取值范围.试卷第7页,总7页 参考答案与试题解析2014年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(本大题共14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。1.π22.63.34.x=-25.706.227.arcsin138.249.(-∞, 2]10.5-1211.(0, 1)12.7π313.11514.[2, 3]二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分15.B16.D17.C18.B三、解答题(共5小题,满分74分)19.解:根据题意可得:P1,B,P2共线,∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2,∠ABC=60∘,∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60∘,∴∠P1=60∘,同理∠P2=∠P3=60∘,∴△P1P2P3是等边三角形,P-ABC是正四面体,∴△P1P2P3的边长为4,VP-ABC=212×AB3=223.20.解:(1)∵a=4,∴f(x)=2x+42x-4=y,∴2x=4y+4y-1,∴x=log24y+4y-1,∴试卷第7页,总7页 调换x,y的位置可得y=f-1(x)=log24x+4x-1,x∈(-∞, -1)∪(1, +∞).(2)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)对任意x均成立,∴2x+a2x-a=2-x+a2-x-a,整理可得a(2x-2-x)=0.∵2x-2-x不恒为0,∴a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;若f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)对任意x均成立,∴2x+a2x-a=-2-x+a2-x-a,整理可得a2-1=0,∴a=±1,∵a≥0,∴a=1,此时f(x)=2x+12x-1,x≠0,满足条件;当a>0且a≠1时,f(x)为非奇非偶函数,综上所述,a=0时,f(x)是偶函数,a=1时,f(x)是奇函数.当a>0且a≠1时,f(x)为非奇非偶函数.21.解:(1)设CD的长为x米,则tanα=x35,tanβ=x80,∵0<2β≤α<π2,∴tanα≥tan2β>0,∴tanα≥2tanβ1-tan2β,即x35≥2⋅x801-x26400=160x6400-x2,解得0
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