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2014年上海市春季高考数学试卷
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2014年上海市春季高考数学试卷一、填空题(共12小题,每小题3分,满分36分))1.若=,则=________.2.计算:끴뀸䱣=________(为虚数单位).3.、、、、这五个数的中位数是________.4.若函数끴䱣=뀸为奇函数,则实数=________.5.点끴㔹㠮㔹䱣到直线뀸ݕ=㔹的距离是________.6.函数________.7.已知等差数列的首项为,公差为,则该数列的前项和________.8.已知cos,则cos=________.9.已知、뀸.若뀸=,则的最大值是________.10.在㔹件产品中,有件次品,从中随机取出件,则恰含件次品的概率是________(结果用数值表示).11.某货船在处看灯塔在北偏东㔹方向,它以每小时海里的速度向正北方向航行,经过㔹分钟到达处,看到灯塔在北偏东方向,此时货船到灯塔的距离为________海里.ݕ12.已知函数끴䱣与끴䱣ሻ뀸ݕሻ的图象相交于点,两点,若动点ݕ满足뀸=,则的轨迹方程是________.二、选择题)13.两条异面直线所成角的范围是()A.끴㔹㠮䱣B.끴㔹㠮C.㔹㠮䱣D.㔹㠮14.复数뀸(为虚数单位)的共轭复数为()A.ݕݕ.C뀸ݕ.BݕD.뀸15.如图是下列函数中某个函数的部分图象,则该函数是()A.=sinB.=sinC.=cosD.=cos16.在끴뀸䱣的二项展开式中,项的系数为()A.B.C.D.17.下列函数中,在上为增函数的是()A.=B.=C.=sinD.=cosݕsin18.끴䱣sincosA.cosB.sinC.D.ݕ试卷第1页,总8页 19.设为函数끴䱣=뀸ݕ的零点,则끴䱣㔹㔹A.끴ݕ끴.B䱣ݕ㠮ݕ㠮㔹䱣C.끴㔹㠮䱣D.끴㠮䱣20.若,,,㤵,则下列不等式成立的是()A.B.㤵C.㤵D.㤵뀸뀸21.若两个球的体积之比为,则它们的表面积之比为()A.B.䁡C.D.22.如果数列是一个以为公比的等比数列,=ݕ끴䱣,那么数列是()A.以为公比的等比数列B.以ݕ为公比的等比数列C.以为公比的等比数列D.以ݕ为公比的等比数列23.若点的坐标为끴㠮䱣,曲线的方程为끴㠮䱣㔹,则끴㠮䱣㔹是点在曲线上的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件24.如图,在底面半径和高均为的圆锥中,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为()㔹A.B.C.D.三、解答题)ݕ25.已知不等式㔹的解集为,函数=lg끴ݕ䱣的定义域为集合,求.뀸26.已知函数끴䱣=ݕ,뀸ݕ㠮.若끴䱣=,求=끴䱣的最大值和最小值.27.如图,在体积为的三棱锥ݕ中,与平面垂直,==,,、分别是、的中点.求异面直线与所成的角的大小(结试卷第2页,总8页 果用反三角函数值表示).28.已知椭圆뀸=끴㤵䱣的左焦点为,上顶点为.(1)若直线的一个方向向量为끴㠮䱣,求实数的值;(2)若,直线=ݕ与椭圆相交于、两点,且,求实数的值.29.已知数列满足㤵㔹,双曲线ݕ끴뀸䱣.뀸(1)若=,=,双曲线的焦距为,ݕ,求的通项公式;(2)如图,在双曲线的右支上取点끴䁖䁖㠮䱣,过作轴的垂线,在第一象限内交的渐近线于点,联结,记的面积为.若lim=,求lim.(关于数列极限的运算,还可参考如下性质:若lim=끴㔹䱣,则lim)30.已知直角三角形的两直角边、的边长分别为,,如图,过边的等分点作边的垂线,过边的等分点和顶点作直线,记与的交点为끴=㠮,……,ݕ䱣.是否存在一条圆锥曲线,对任意的正整数,点끴=㠮,……,ݕ䱣都在这条曲试卷第3页,总8页 线上?说明理由.31.某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行,甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经和,在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为千米,乙监测点到卫星的距离为千米.假设地球赤道是一个半径为千米的圆,求此时卫星所在位置的高度(结果精确到㔹㔹千米)和经度(结果精确到㔹㔹).32.如果存在非零常数,对于函数=끴䱣定义域上的任意,都有끴뀸䱣㤵끴䱣成立,那么称函数为“函数”.(1)求证:若=끴䱣끴䱣是单调函数,则它是“函数”;(2)若函数끴䱣=뀸是“函数”,求实数、满足的条件.试卷第4页,总8页 参考答案与试题解析2014年上海市春季高考数学试卷一、填空题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.2.ݕ뀸3.4.㔹5.6.的反函数为ݕ끴㔹䱣뀸7.8.ݕ䁡9.10.11.12.끴ݕ끴뀸䱣ݕ䱣=二、选择题13.B14.A15.B16.A17.D18.C19.C20.D21.B22.A23.C24.D三、解答题ݕ25.不等式㔹,即끴뀸䱣끴ݕ끴=为集解的㔹䱣ݕ㠮䱣,뀸函数=lg끴ݕ䱣的定义域为集合=끴㠮뀸䱣,因此,=끴㠮䱣.26.由끴䱣=ݕ끴=뀸ݕ=䱣끴,=得,=뀸ݕ䱣뀸,当ݕ㠮时,끴䱣单调递减;当㠮时,끴䱣单调递增;由于끴ݕ䱣=,끴䱣=,끴䱣=,所以当ݕ㠮时,끴䱣max=,끴䱣min=.试卷第5页,总8页 27.由,得=,因为,所以异面直线与所成的角为,在直角三角形中,可得tan,故异面直线与所成角为arctan.28.由题意,끴ݕ㠮㔹䱣,끴㔹㠮䱣,∵直线的一个方向向量为끴㠮䱣,∴,∴,∴뀸;椭圆的方程为뀸=,끴ݕ㠮㔹䱣直线=ݕ䱣뀸끴得可立联圆椭与ݕ뀸=㔹.设끴㠮䱣,끴㠮䱣则뀸뀸,뀸ݕ所以.뀸뀸故끴뀸㠮䱣끴뀸㠮䱣,뀸∴ݕݕ=㔹,∴=或ݕ.29.由题意,=뀸=ݕ,뀸则뀸뀸뀸=뀸,两式相减得뀸ݕ=,所以ݕ是以为首项,为公差的等差数列,得ݕ=䱣ݕ끴뀸=ݕ;是以为首项,为公差的等差数列,得=뀸끴ݕ=䱣ݕ;ݕ㠮ݕ所以끴䱣;ݕ㠮由题意,则䁖ݕ,所以뀸,뀸䁖뀸뀸双曲线的渐近线,所以,뀸끴뀸ݕ䱣,뀸뀸试卷第6页,总8页 所以limlim끴뀸ݕ䱣lim뀸뀸뀸뀸뀸뀸limlimlimlim뀸뀸뀸limlim뀸뀸뀸lim뀸lim뀸,뀸㔹뀸所以lim.30.存在满足条件的抛物线,使得对任意的正整数,点끴=㠮,……,ݕ䱣都在这条曲线上.事实上,以为坐标原点,方向为轴,过作的垂线为轴建立直角坐标系.则끴㠮㔹䱣,끴㠮䱣,ݕ끴䱣,∴,,联立,解得끴㠮䱣,由,可得.∴存在满足条件的圆锥曲线(抛物线),使得对任意的正整数,点끴=㠮,……,ݕ䱣都在这条曲线上.31.设地球球心为,甲、乙两个监测点分别为,,卫星位置为,则,,,四点均在赤道面上,如下图所示:故==,=,=,在中,=ݕ=,故==,故뀸ݕcos㔹,뀸㔹ݕ在中,cos㔹,㔹试卷第7页,总8页 故,在中,=㔹,故뀸ݕcos㔹㔹䁡,∵㔹䁡ݕ=㔹,故卫星所在位置的高度约为㔹千米;뀸㔹䁡ݕcos㔹䁡䁡,㔹䁡∴,由뀸=,故卫星所在位置的经度约为.32.若=끴䱣끴䱣是单调函数,若=끴䱣끴䱣是增函数,则当㤵㔹时,都有끴뀸䱣㤵끴䱣成立,函数为“函数”.若=끴䱣끴䱣是减函数,则当㔹时,都有끴뀸䱣㤵끴䱣成立,函数为“函数”.若函数끴䱣=뀸是“函数”,则函数끴䱣=뀸是单调函数,即̵끴䱣可能恒大于㔹或恒小于等于㔹,̵끴䱣=끴뀸䱣̵=뀸,∴̵끴䱣=뀸㔹或̵끴䱣=뀸㔹恒成立,㤵㔹㔹∴或㔹㔹∴㤵㔹且=㔹或㔹,=㔹,由于题目中是存在非零常数,那么完全可以取到特别大的实数更大,那么=뀸的单调性由于过大,完全可以认为是单调增,忽略但调减的区间,所以∴实数、满足的条件是㔹.试卷第8页,总8页
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