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2013年上海市高考数学试卷(理科)
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2013年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.)th1.计算:lim________.t൅2.设,htht끨h൅䁕是纯虚数,其中是虚数单位,则=________.hh3.若,t________.൅൅4.已知香䁨的内角、香、䁨所对的边分别是、、,若hththh=,则角䁨的大小是________.h5.设常数,若t的二项展开式中项的系数为൅,则=________.൅൅6.方程t的实数解为________.൅7.在极坐标系中,曲线cost൅与cos൅的公共点到极点的距离为________.8.盒子中装有编号为൅,h,,,,,,,的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示).9.设香是椭圆Γ的长轴,点䁨在Γ上,且䁨香,若香=,香䁨h,则Γ的两个焦点之间的距离为________.10.设非零常数是等差数列൅,h,…,൅的公差,随机变量等可能地取值൅,h,…,൅,则方差=________.൅h11.若coscostsinsin,sinhtsinh,则sin끨t䁕________.hh12.设为实常数,끨䁕是定义在上的奇函数,当时,끨䁕tt.若끨䁕t൅对一切成立,则的取值范围为__________.13.在‸平面上,将两个半圆弧끨൅䁕hth൅끨൅䁕和끨䁕hth൅끨䁕,两条直线൅和൅围成的封闭图形记为,如图中阴影部分,记绕轴旋转一周而成的几何体为.过끨䁪䁕끨൅䁕作的水平截面,所得截面积为൅ht.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为________.试卷第1页,总7页 14.对区间上有定义的函数끨䁕,记끨䁕==끨䁕䁪.已知定义域为䁪的函数=끨䁕有反函数=൅끨䁕,且൅끨䁪൅䁕)=൅䁪h䁕䁪൅끨끨h䁪䁕=䁪൅䁕.若方程끨䁕=有解,则=________.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.)15.设常数,集合끨൅䁕끨䁕,香൅,若香,则的取值范围为끨䁕A.끨䁪h䁕B.끨䁪hC.끨h䁪t䁕D.h䁪t䁕16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的끨䁕A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件17.在数列中,=h൅,若一个行൅h列的矩阵的第行第列的元素=tt,끨=൅䁪h,…,;=൅䁪h,…,൅h䁕,则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()A.൅B.hC.D.18.在边长为൅的正六边形香䁨쳌中,记以为起点,其余顶点为终点的向量分别为൅、h、、、;以为起点,其余顶点为终点的向量分别为൅、h、、、.若、分别为끨tt䁕끨tt䁕的最小值、最大值,其中䁪䁪൅䁪h䁪䁪䁪,䁪䁪൅䁪h䁪䁪䁪,则、满足()A.=,㐠B.,㐠C.,=D.,三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.)19.如图,在长方体香䁨香䁨中,香h,൅,൅.证明直线香䁨平行于平面䁨,并求直线香䁨到平面䁨的距离.20.甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求൅൅),每小时可获得的利润是൅끨t൅䁕元.(1)要使生产该产品h小时获得的利润不低于元,求的取值范围;(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.21.已知函数끨䁕=hsin끨䁕,其中常数㐠.h(1)若=끨䁕在䁪上单调递增,求的取值范围;试卷第2页,总7页 (2)令=h,将函数=끨䁕的图象向左平移个单位,再向上平移൅个单位,得到函数=끨䁕的图象,区间䁪끨,,且䁕满足:=끨䁕在䁪上至少含有个零点.在所有满足上述条件的䁪中,求的最小值.h22.如图,已知双曲线䁨൅h൅,曲线䁨h=t൅,是平面内一点,若存在h过点的直线与䁨൅,䁨h都有公共点,则称为“䁨൅䁨h型点”(1)在正确证明䁨൅的左焦点是“䁨൅䁨h型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线=与䁨h有公共点,求证㐠൅,进而证明原点不是“䁨൅䁨h型点”;hh൅(3)求证:圆t内的点都不是“䁨൅䁨h型点”.h23.给定常数㐠,定义函数끨䁕=httt.数列൅,h,,…满足=끨䁕,.t൅(1)若൅=h,求h及;(2)求证:对任意,;t൅(3)是否存在൅,使得൅,h,…,,…成等差数列?若存在,求出所有这样的൅;若不存在,说明理由.试卷第3页,总7页 参考答案与试题解析2013年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.൅1.2.h3.൅4.arccos5.h6.logt൅7.h൅8.൅9.10.hh11.12.13.hht൅14.h二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.B16.B17.A18.D三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.解:解法一:因为香䁨香䁨为长方体,故香䁨,香䁨,故香䁨为平行四边形,故香䁨,显然香䁨不在平面䁨内,于是直线香䁨平行于平面䁨.直线香䁨到平面䁨的距离即为点香到平面䁨的距离,设为,考虑三棱锥香䁨的体积,以香䁨为底面,可得三棱锥香䁨的体积为试卷第4页,总7页 ൅൅൅끨൅൅䁕൅,hh而䁨中,䁨䁨,h,故䁨的底边上的高为,h൅h故䁨的面积䁨h,hhh൅൅hh所以,,即直线香䁨到平面䁨的距离为.h解法二:以所在的直线为轴,以䁨所在的直线为轴,以所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.则由题意可得,点끨൅䁪䁪൅䁕、香끨൅䁪h䁪൅䁕、䁨끨䁪h䁪൅䁕、䁨끨䁪h䁪䁕、끨䁪䁪䁕.设平面䁨的一个法向量为끨䁞䁪䁪䁕,则由,䁨,可得,䁨.䁞t䁞h∵끨൅䁪䁪൅䁕,䁨끨䁪h䁪൅䁕,∴,解得.hth令൅,可得䁞h,h,可得끨h䁪൅䁪h䁕.由于香䁨끨൅䁪䁪൅䁕,∴香䁨,故有香䁨.再由香䁨不在平面䁨内,可得直线香䁨平行于平面䁨.h൅t൅t끨h䁕h由于䁨香끨൅䁪䁪䁕,可得点香到平面䁨的距离,hht൅ht끨h䁕hh故直线香䁨到平面䁨的距离为.20.解:(1)生产该产品h小时获得的利润为൅끨t൅䁕h=h끨t൅䁕h根据题意,h끨t൅䁕,即൅൅∴或∵൅൅,∴൅;(2)设利润为元,则生产千克该产品获得的利润为=൅끨t൅䁕൅൅൅h൅=끨tt䁕=൅끨䁕th൅h∵൅൅,൅∴=时,取得最大利润为൅元൅h故甲厂应以千克/小时的速度生产,可获得最大利润为元.试卷第5页,总7页 h21.∵函数=끨䁕在䁪上单调递增,且㐠,h∴,且,hh解得.끨䁕=hsinh,∴把=끨䁕的图象向左平移个单位,再向上平移൅个单位,得到hsinh끨t䁕t൅,∴函数=끨䁕hsinh끨t䁕t൅,令끨䁕=,得t,或t끨䁕.൅hh∴相邻两个零点之间的距离为或.若最小,则和都是零点,此时在区间䁪t,䁪ht,…,䁪t끨䁕分别恰有,,…,ht൅个零点,所以在区间䁪൅t是恰有h个零点,从而在区间끨൅t䁪至少有一个零点,∴൅.另一方面,在区间䁪൅tt恰有个零点,൅h൅h因此的最小值为൅t.22.(1)解:䁨൅的左焦点为끨䁪䁕,写出的直线方程可以是以下形式:或끨t䁕,其中.(2)证明:因为直线=与䁨h有公共点,t൅所以方程组有实数解,因此=t൅,得㐠൅.t൅若原点是“䁨൅䁨h型点”,则存在过原点的直线与䁨൅、䁨h都有公共点.考虑过原点与䁨h有公共点的直线=或=끨㐠൅䁕.显然直线=与䁨൅无公共点.hh如果直线为=끨㐠൅䁕,则由方程组hh,得h,矛盾.൅൅hh所以直线=끨㐠൅䁕与䁨൅也无公共点.因此原点不是“䁨൅䁨h型点”.hh൅(3)证明:记圆‸t,取圆‸内的一点,设有经过的直线与䁨൅,䁨hh都有公共点,显然不与轴垂直,故可设=t.若൅,由于圆‸夹在两组平行线=൅与=൅之间,因此圆‸也夹在直线=൅与=൅之间,从而过且以为斜率的直线与䁨h无公共点,矛盾,所以㐠൅.因为与䁨൅由公共点,试卷第6页,总7页 t所以方程组hh有实数解,൅h得끨൅hh䁕hhhh=.因为㐠൅,所以൅hh,因此=끨䁕h끨൅hh䁕끨hhh䁕=끨ht൅hh䁕,即hhh൅.因为圆‸的圆心끨䁪䁕到直线的距离,൅thhh൅൅thhhh所以,从而㐠h൅,得൅,与㐠൅矛盾.൅thhhhh൅因此,圆t内的点不是“䁨൅䁨h型点”.h23.(1)解:h=끨൅䁕=끨h䁕=hhttht=h=h,=끨h䁕=끨h䁕=hhttht=h끨t䁕끨th䁕=൅t.tt䁪(2)证明:由已知可得끨䁕tt䁪䁪当时,t൅=t㐠;当时,t൅=htth끨䁕tt=;当时,t൅=h㐠h끨䁕=.∴对任意,;t൅(3)解:假设存在൅,使得൅,h,…,,…成等差数列.由(2)及㐠,得t൅,即为无穷递增数列.又为等差数列,所以存在正数,当㐠时,,从而t൅=끨䁕=tt,由于为等差数列,因此公差=t.①当൅时,则h=끨൅䁕=൅,又h=൅t=൅tt,故൅=൅tt,即൅=,从而h=,当h时,由于为递增数列,故h=㐠,∴t൅=끨䁕=tt,而h=൅tt,故当൅=时,为无穷等差数列,符合要求;②若൅,则h=끨൅䁕=൅tt,又h=൅t=൅tt,∴൅tt=൅tt,得൅=,应舍去;③若൅,则由൅得到t൅=끨䁕=tt,从而为无穷等差数列,符合要求.综上可知:൅的取值范围为䁪䁪t䁕.试卷第7页,总7页
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