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2005年上海市高考数学试卷(文科)
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2005年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(共12小题,每空4分,满分48分))1.函数f(x)=log4(x+1)的反函数f-1(x)=________.2.方程4x+2x-2=0的解是________.3.若x,y满足条件x+y≤3y≤2x,则z=3x+4y的最大值是________.4.直角坐标平面xOy中,若定点A(1, 2)与动点P(x, y)满足OP→⋅OA→=4,则点P的轨迹方程是________.5.函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=________.6.若cosα=17,α∈(0,π2),则cos(α+π3)=________.7.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是________.8.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是________.(结果用分数表示)9.直线y=12x关于直线x=1对称的直线方程是________.10.在△ABC中,若A=120∘,AB=5,BC=7,则AC=________.11.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0, 2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k的取值范围是________.12.有两个相同的直三棱柱,高为2a,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是________.二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分))13.若函数f(x)=12x+1,则该函数在(-∞, +∞)上是()A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值14.已知集合M={x||x-1|≤2,x∈R},P={x|5x+1≥1,x∈Z},则M∩P等于()A.{x|01”是条件乙“a>a”的()试卷第5页,总6页 A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件16.用n个不同的实数a1,a2,…,an可得到n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵,对第i行ai1,ai2,…,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3++(-1)nnain,i=1,2,3,…,n!,例如:用1,2,3可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,b1+b2+...+b6=-12+2×12-3×12=-24,那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+...+b120等于()A.-3600B.1800C.-1080D.-720三、解答题(共6小题,满分86分))17.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2,B1D与平面ABCD所成角的大小为60∘,求异面直线B1D与MN所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18.在复数范围内解方程|z|2+(z+z)i=3-i2+i(i为虚数单位).19.已知函数f(x)=kx+b的图象与x,y轴分别相交于点A、B,AB→=2i→+2j→(i→,j→分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6.(1)求k,b的值;(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数g(x)+1f(x)的最小值.20.假设某市2004年新建住房面积400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米,那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价层的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?试卷第5页,总6页 21.如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点. A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程;(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,4为半径作圆M,点P(m, 0)是x轴上的一个动点,试讨论直线AP与圆M的位置关系.22.对定义域是Df.Dg的函数y=f(x).y=g(x),规定:函数h(x)=f(x)g(x),x∈Dfx∈Dgf(x),x∈Dfx∉Dgg(x),x∉Dfx∈Dg .(1)若函数f(x)=1x-1,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0, π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.试卷第5页,总6页 参考答案与试题解析2005年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(共12小题,每空4分,满分48分)1.4x-12.03.114.x+2y-4=05.π6.-11147.x280+y220=18.379.x+2y-2=010.311.(1, 3)12.0g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0,得-20,则g(x)+1f(x)≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立∴g(x)+1f(x)的最小值是-3.20.解:(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10,∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400⋅(1.08)n-1,由题意可知an>0.85bn,有250+(n-1)⋅50>400⋅(1.08)n-1⋅0.85,由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6,到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21.解:(1)抛物线的准线为x=-p2,于是4+p2=5,p=2,由此可知抛物线方程为y2=4x.(2)∵点A的坐标为(4, 4),由题意得B(0, 8),M(0, 4),又∵F(1, 0),∴kFA=43又MN⊥FA,∴kMN=-34,则直线FA的方程为y=43(x-2),直线MN的方程为y=-34x+4试卷第5页,总6页 联立方程组,解得x=165y=85,∴点N的坐标为(165,85)(3)由题意得,圆M的圆心坐标为(0, 4),半径为4.当m=8时,直线AP的方程为x=8,此时,直线AP与圆M相离当m≠8时,直线AP的方程为y=88-m(x-m),即为8x-(8-m)y-8m=0,所以圆心M(0, 4)到直线AP的距离d=|32+4m|64+(m-8)2,令d>4,解得m>2;令d=4,解得m=2;令d<4,解得m<2综上所述,当m>2时,直线AP与圆a+b>c相离;当m=2时,直线AP与圆a+b>c相切;当m<2时,直线AP与圆a+b>c相交.22.h(x)=x2x-1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞)1,x=1 .当x≠1时,h(x)=x2x-1=x-1+1x-1+2,若x>1时,则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立若x<1时,则h(x)≤0,其中等号当x=0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞, 0]∪{1}∪[4, +∞)令f(x)=sin2x+cos2x,α=π4则g(x)=f(x+α)=sin2(x+π4)+cos2(x+π4)=cos2x-sin2x,于是h(x)=f(x)⋅f(x+α)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+2sin2x,α=π2,g(x)=f(x+α)=1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,于是h(x)=f(x)⋅f(x+α)=(1+2sin2x)(1-2sin2x)=cos4x.试卷第5页,总6页
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