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2002年上海市春季高考数学试卷
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2002年上海市春季高考数学试卷一、填空题(4′×12=48′))1.函数y=13-2x-x2的定义域为________.2.若椭圆的两个焦点坐标为F1(-1, 0),F2(5, 0),长轴的长为10,则椭圆的方程为________.3.若全集I=R,f(x)、g(x)均为x的二次函数,P={x|f(x)<0},Q={x|g(x)≥0},则不等式组f(x)<0g(x)<0的解集可用P、Q表示为________.4.f(x)是定义在实数R上的奇函数,若x≥0时,f(x)=log3(1+x),则f(-2)=________.5.若在(5x-1x)n的展开式中,第4项是常数项,则n=________.6.已知f(x)=1-x1+x,α∈(π2, π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为________.7.六位身高全不相同的同学拍照留念,摄影师要求前后两排各三人,则后排每人均比前排同学高的概率是________.8.设曲线C1和C2的方程分别为F1(x, y)=0和F2(x, y)=0,则点P(a, b)∉C1∩C2的一个充分条件为________.9.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值是2,则ω=________.10.如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对.11.如图所示,客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发,以速度v沿直线匀速航行,将货物送达客轮.已知AB=BC=50海里,若两船同时起航出发,则两船相遇之处距C点________海里.(结果精确到小数点后1位)12.若从点O所作的两条射线OM,ON上分别有点M1,M2与点N1,N2,则三角形面积之比为:S△OM1N1S△OM2N2=OM1OM2⋅ON1ON2.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP,OQ和OR上分别有点P1,P2与点Q1,Q2和R1,R2,则类似的结论为:________.二、选择题(4′×4=16′))13.若a→、b→、c→为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是()试卷第5页,总6页 A.(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)B.(a→+b→)⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→C.m(a→+b→)=ma→+mb→D.(a→⋅b→)c→=a→(b→⋅c→)14.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是(    )A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形15.设a>0,a≠1,则函数y=logax的反函数和函数y=loga1x的反函数的图象关于()A.x轴对称B.y轴对称C.y=x对称D.原点对称16.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前项的和,且S5S8,则下列结论错误的是(    )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值三、解答题(12′+12′+14′+14′+16′+18′=86′))17.已知z、ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,ω=z2+i,且|ω|=52,求ω.18.F1,F2为双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦点,过 F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,若∠PF1F2=30∘,求双曲线的渐近线方程.19.如图,三棱柱OAB-O1A1B1,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60∘,∠AOB=90∘,且OB=OO1=2,OA=3,求(1)二面角O1-AB-O的大小;(2)异面直线A1B与AO1所成角的大小.(上述结果用反三角函数值表示)20.已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1).(1)证明:函数f(x)在(-1, +∞)上为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负根.21.某公司全年的纯利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到n排序,第1位职工得试卷第5页,总6页 奖金bn元,然后将余额除以n发给第2位职工,按此方案将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额,试求a2、a3,并用k、n和b表示ak(不必证明);(2)证明:ak>ak+1(k=1, 2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;(3)发展基金与n和b有关,记为Pn(b).对常数b,当n变化时,求limn→∞Pn(b)(可用公式limn→∞(1-1n)n=1e).22.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的范围;(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+12a2+1对称,求b的最小值.试卷第5页,总6页 参考答案与试题解析2002年上海市春季高考数学试卷一、填空题(4′×12=48′)1.(-3.1)2.(x-2)225+y216=13.P∩CIQ4.-15.186.2sinα7.1208.F1(a, b)≠0或F2(a, b)≠0或P∉C1等9.3410.311.40.812.VO-P1Q1R1VO-P2Q2R2=OP1OP2⋅OQ1OQ2⋅OR1OR2二、选择题(4′×4=16′)13.D14.B15.B16.C三、解答题(12′+12′+14′+14′+16′+18′=86′)17.解:设z=m+ni(m, n∈R),因为(1+3i)z=(1+3i)(m+ni)=m-3n+(3m+n)i为纯虚数,所以m-3n=0①,ω=z2+i=m+ni2+i=(2m+n)+(2n-m)i5,由|ω|=52,得(2m+n)225+(2n-m)225=(52)2,即m2+n2=250②由①②解得m=15n=5或m=-15n=-5,代入ω=(2m+n)+(2n-m)i5可得,ω=±(7-i).18.解:在Rt△PF2F1中,设|PF1|=d1,|PF2|=d2,∵∠PF1F2=30∘∴d1=2d2d1-d2=2a∴d2=2a∵|F2F1|=2c∴tan30∘=2a2c∴ac=33,即a2a2+b2=13∴(ba)2=2∴ba=2∴试卷第5页,总6页 双曲线的渐近线方程为y=±2x19.解:(1)如图,以OA、OB为x轴、y轴,建立如图所示空间直角坐标系可得0(0, 0, 0),A(3, 0, 0)、B(0, 2, 0)、01(0, 1, 3)∴AB→=(-3,2,0),AO1→=(-3,1,3)设m→=(x, y, z)是平面ABO1的一个法向量则m→⋅AO1→=-3x+y+3z=0˙,取x=23得y=3,z=3∴m→=(23, 3, 3)又∵n→=(0, 0, 1)是平面AOB的一个法向量,∴cos=|m|→⋅|n|→˙=312+9+3×1=24因此,二面角O1-AB-O的大小为arccos24;(2)由(1)得A1(3, 1, 3),A1B→=(-3, 1, -3)∵AO1→=(-3,1,3)∴cos=|A1B|→⋅|AO1|→˙=3+1-37⋅7=17因此,异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos17.20.证明:(1)由于函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1)=ax+1-3x+1,而函数y=ax(a>1)和函数y=-3x+1 在(-1, +∞)上都为增函数,故函数f(x)在(-1, +∞)上为增函数.(2)假设f(x)=0有负数根为x=x0,且x0<0,则有f(x0)=0,故有ax0+1=3x0+1 ①.由于函数y=ax+1在R试卷第5页,总6页 上是增函数,且a0+1=2,∴ax0+1<2.由于函数y=3x+1 在(-1, +∞)上是减函数,当x0∈(-1, 0)时,30+1=3,∴3x0+1>3,∴①根本不可能成立,故①矛盾.由于函数y=3x+1在(-∞, -1)上是减函数,当x0∈(-∞, -1)时,3x0+1<0,而,ax0+1>1,∴①根本不可能成立,故①矛盾.综上可得,①根本不可能成立,故假设不成立,故f(x)=0没有负数根.21.(1)解:a1=bn,a2=1n(1-1n)⋅b,a3=1n(1-1n)2⋅b,…,ak=1n(1-1n)k-1⋅b.(2)证明:ak-ak+1=1n2(1-1n)k-1⋅b>0,此奖金分配方案体现了按劳分配的原则.(3)解:设fk(b)表示发给第k位职工后所剩余额,则f1(b)=(1-1n)⋅b,f2(b)=(1-1n)2⋅b,…,fk(b)=(1-1n)k⋅b,得Pn(b)=fn(b)=(1-1n)n⋅b,故limn→∞Pn(b)=be.22.解:(1)∵a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,f(x)=x⇒x2-2x-3=0⇒x=-1,x=3∴函数f(x)的不动点为-1和3;(2)即f(x)=ax2+(b+1)x+b-1=x有两个不等实根,转化为ax2+bx+b-1=0有两个不等实根,须有判别式大于0恒成立即b2-4a(b-1)>0⇒△=(-4a)2-4×4a<0⇒0
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