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2000年上海市高考数学试卷(理科)
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2000年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题满分为48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.)1.已知OA→=(-1,2),OB→=(3,m),若OA→⊥AB→,则m=________.2.函数y=log22x-13-x的定义域为________.3.圆锥曲线x=4secθ+1y=3tanθ的焦点坐标是________.4.计算:limn→∞(nn+2)n=________.5.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图象经过点P(5, 2),则b的值是________.6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%,若GDP与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍,至少需________年.(按:1999年本市常住人口总数约1300)7.命题A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥,命题A的等价题B可以是:底面为正三角形,且________的三棱锥是正三棱锥.8.设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0, 1]上的图象为如图所示的线段AB,则在区间[1, 2]上f(x)=________.9.在二项式(x-1)11的展开式中,系数最小的项的系数为________(结果用数值表示)10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2、3,现在从中任取三面,它们的颜色和号码均不相同的概率为________.11.在极坐标系中,若过点A(3, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点,则|AB|=________.12.在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式:a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n(n<19)成立,类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式________成立.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.)13.复数z=-3(cosπ5-isinπ5)(i是虚数单位)的三角形式是()试卷第7页,总7页, A.3[cos(-π5)+isin(-π5)]B.3(cosπ5+isinπ5)C.3(cos4π5)+isin4π5)D.3(cos6π5-isin6π5)14.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题:(1)若a // α,b // α,则a // b.(2)若a // α,a // β,则α // β.(3)若a // γ,β // γ,则a // β.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.315.集合S={y|y=3x, x∈R},T={y|y=x2-1, x∈R},则S∩T是()A.SB.TC.⌀D.有限集16.下列命题中正确的命题是()A.若点P(a, 2a)(a≠0)为角a终边上一点,则sina=255B.同时满足sina=12,cosa=32的角a有且只有一个C.当|a|<1时,tan(arcsina)的值恒正D.三角方程tan(x+π3)=3的解集为{x|x=kπ, k∈Z}三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.)17.已知椭圆C的焦点分别为F1(-22, 0)和F2(22, 0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求:线段AB的中点坐标.18.如图所示四面体ABCD中,AB、BC、BD两两互相垂直,且AB=BC=2,E是AC中点,异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos1010,求四面体ABCD的体积.19.已知函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1, +∞),(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1, +∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.试卷第7页,总7页, 20.根据指令(r, θ)(r≥0, -180∘<θ≤180∘),机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针方向旋转θ,θ为负时,按顺时针方向旋转-θ),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4, 4).(2)机器人在完成该指令后,发现在点(17, 0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位).21.在XOY平面上有一点列P1(a1, b1),P2(a2, b2),…,Pn(an, bn),…,对每个自然数n,点P,位于函数y=2000(a10)n(00),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=z0⋅z,|w|=2|z|.(1)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式;(2)将(x、y)作为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q,当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.试卷第7页,总7页, 参考答案与试题解析2000年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(本大题满分为48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.42.(12, 3)3.(-4, 0),(6, 0)4.e-25.16.97.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…8.x9.-46210.11411.2312.b1⋅b2•…•bn=b1⋅b2•…•b17-n(n<17)二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.13.C14.A15.A16.D三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17.解:设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1,由题意a=3,c=22,b=a2-c2=1.∴椭圆C的方程为x29+y2=1.联立方程组y=x+2x29+y2=1,消y得10x2+36x+27=0,因为该二次方程的判别式△>0,所以直线与椭圆有两个不同的交点,设A(x1, y1),B(x2, y2),则x1+x2=-185,故线段AB的中点坐标为(-95, 15).18.解:以BC、BA、BD为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,…由题意得A(0, 2, 0),C(2, 0, 0),E(1, 1, 0)设D点的坐标为(0, 0, z)(z>0),则BE→=(1,1,0),AD→=(0,-2,z)…∴试卷第7页,总7页, AD→⋅BE→=2⋅4+z2cosθ=-2,∵AD与BE所成的角的大小为arccos1010,可得cos2θ=24+z2=110,∴代入上式,解之得z=4,即BD的长度是4,…因此,三棱锥D-ABC的体积VD-ABC=13S△ABC⋅BD=16AB⋅BC⋅BD=16×2×2×4=83,即四面体ABCD的体积是83,…19.解:(1)因为f(x)=x+12x+2,f(x)在[1, +∞)上为增函数,所以f(x)在[1, +∞)上的最小值为f(1)=72.…(2)问题等价于f(x)=x2+2x+a>0,在[1, +∞)上恒成立.即a>-(x+1)2+1在[1, +∞)上恒成立. 令g(x)=-(x+1)2+1,则g(x)在[1, +∞)上递减,当x=1时,g(x)max=-3,所以a>-3,即实数a的取值范围是(-3, +∞).…20.解:(1)由题意,r=42,θ=45∘,得指令为(42,45∘),…(2)设机器人最快在点P(x, 0)处截住小球…则因为小球速度是机器人速度的2倍,所以在相同时间内有|17-x|=2(x-4)2+(0-4)2,…即3x2+2x-161=0得x=-233或x=7∵要求机器人最快地去截住小球,即小球滚动距离最短,∴x=7故机器人最快可在点P(7, 0)处截住小球,…所给的指令为(5, -98.13∘)…试卷第7页,总7页, 21.解:(1)由题意,∵点Pn,点(n, 0)与点(n+1.0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形,∴点Pn(an, bn)在两点(n, 0)与(n+1, 0)连线的中垂线上,∴an=n+12,∴bn=2000(a10)n+12,…(2)∵函数y=2000(a10)n(0bn+1>bn+2,则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2bn+1bn,即(a10)2+(a10)-1>0…解得a<-5(1+5)或a>5(5-1)∴5(5-1)0,得m=3,…因此由x'+y'i=(1-3i)⋅(x+yi)=x+3y+(3x-y)i,得关系式x'=x+3yy'=3x-y…(2)设点P(x, y)在直线y=x+1上,则其经变换后的点Q(x', y')满足x'=(1+3)x+3y'=(3x-1)x-1,…消去x,得y'=(2-3)x'-23+2,故点Q的轨迹方程为y=(2-3)x-23+2…③假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,∴所求直线可设为y=kx+b(k≠0),…[解法一]∵该直线上的任一点P(x, y),其经变换后得到的点Q(x+3y,3x-y)仍在该直线上,∴3x-y=k(x+3y)+b,即-(3k+1)y=(k-3)x+b,当b≠0时,方程组-(3k+1)=1k-3=k无解,故这样的直线不存在.                                            …当b=0时,由-(3k+1)1=k-3k,得3k2+2k-3=0,解得k=33或k=-3,故这样的直线存在,其方程为y=33x或y=-3x,…[解法二]取直线上一点P(-bk,0),其经变换后的点Q(-bk,-3bk)仍在该直线上,∴-3bk=k(-bk)+b,得b=0,…故所求直线为y=kx,取直线上一点P(0, k),其经变换后得到的点Q(1+3k,3-k)试卷第7页,总7页, 仍在该直线上.∴3-k=k(1+3k),…即3k2+2k-3=0,得k=33或k=-3,故这样的直线存在,其方程为y=33x或y=-3x,…试卷第7页,总7页
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