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1997年上海市高考数学试卷(理科)
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1997年上海市高考数学试卷(理科)一、解答题(共10小题,满分100分))1.(1)化简(aa+b-a2a2+2ab+b2)÷(aa+b-a2a2-b2);1.(2)计算12lg25+lg2-lg0.1-log29×log32;1.(3)-1=i,验算i是否方程2x4+3x3-3x2+3x-5=0的解;1.(4)求证:sin(π4+θ)sin(π4-θ)+cos(π4+θ)cos(π4-θ)=2cos2θ.2.在△ABC中,∠C的平分线交AB于D,过D作BC的平分线交AC于E,已知BC=a,AC=b,求DE的长.3.已知圆A的直径为23,圆B的直径为4-23,圆C的直径为2,圆A与圆B外切,圆A又与圆C外切∠A=60∘,求BC及∠C.4.正六棱锥V-ABCDEF的高为2cm,底面边长为2cm.(1)按1:1画出它的三视图;(2)求其侧面积;(3)求它的侧棱和底面的夹角.5.解不等式16-x2≥0x2-x-6>0并在数轴上把它的解表示出来.6.已知两定点A(-4, 0)、B(4, 0),一动点P(x, y)与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为-14,求点P的轨迹方程,并把它化为标准方程,指出是什么曲线.7.等腰梯形的周长为60,底角为60∘,问这梯形各边长为多少时,面积最大?8.当k为何值时,方程组x-y-2=0(1)kx-y-2k-10=0(2)有两组相同的解,并求出它的解.9.如图所示,半圆O的直径为2,A为半圆直径的延长线上的一点,且OA=2,B为半圆上任一点,以AB为边作等边△ABC,问B在什么地方时,四边形OACB的面积最大?试卷第5页,总5页 并求出这个面积的最大值.10.已知曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3相交于点P(0, 3)、Q(3, 6)两点.(1)分别求出曲线在交点的切线的斜率;(2)求出曲线与直线所围成的图形的面积.试卷第5页,总5页 参考答案与试题解析1997年上海市高考数学试卷(理科)一、解答题(共10小题,满分100分)1.解:(1)原式=aa+b(1-aa+b)aa+b(1-aa-b)=b-aa+b.(2)12lg25+lg2-lg0.1-log29×log32=lg5+lg2+12-2log23×log32=-12(3)令x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0,所以i是所给方程的一个解.(4)证:左边=sin(π4+θ)cos(π4-θ)+cos(π4+θ)sin(π4-θ)sin(π4-θ)cos(π4-θ)=sinπ2sin(π4-θ)cos(π4-θ)=112cos2θ=2cos2θ=右边.2.解:∵DE // BC,∴∠1=∠3.又∠1=∠2,∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC,∴DEBC=AEAC,DEa=b-DEb,b⋅DE=ab-a⋅DE,故DE=aba+b.3.解:由已知条件可知,AC=1+3,AB=2,∠CAB=60∘根据余弦定理,可得BC=(1+3)2+4-2cos60∘(1+3)⋅2=6.由正弦定理,则sinC=AB⋅sinABC=22,∴∠C=45∘.4.解:(1)按1:1画出正六棱锥V-ABCDEF的三视图,如右图示:(2)斜高为22+(32×2)2=7(cm),故侧面积=6×12×2×7=67(cm2)试卷第5页,总5页 (3)侧棱长为72+12=22,侧棱与底面的夹角的正弦值为222=22故侧棱和底面的夹角45∘.5.解:解不等式得-4≤x≤4x>3或x<-2即-4≤x<-2或3
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