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2019年北京市高考数学试卷(文科)
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2019年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。)1.已知集合=ݔݔ=,൏െݔെȁݔ൏,则=()A.ȁB.C.ȁD.2.已知复数=㈮,则A.B.C.D.3.下列函数中,在区间晦上单调递增的是()ȁݔA.=ݔlog=.C=.BݔD.ݔ4.执行如图所示的程序框图,输出的值为()A.B.C.D.ݔ5.已知双曲线ȁ=晦的离心率是,则=()A.B.C.D.6.设函数ݔ”是”晦=s”则,)数常为s(ݔnissݔsoc=ݔ为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足ȁlg,其中星等为的星的亮度为=.已知太阳的星等是ȁ͸,天狼星的星等是ȁ͸,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.晦晦͸B.晦͸C.lg晦͸D.晦ȁ晦͸试卷第1页,总8页 8.如图,,是半径为的圆周上的定点,为圆周上的动点,是锐角,大小为,图中阴影区域的面积的最大值为()A.cosB.sinC.cosD.sin二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。)9.已知向量ȁ,s,且s,则=________.ݔ10.若ݔȁ则ȁ足满,ݔ的最小值为________,最大值为________.ݔȁ晦11.设抛物线=ݔ的焦点为,准线为,则以为圆心,且与相切的圆的方程为________.12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为,那么该几何体的体积为________.13.已知,是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:①;②;③.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:________.14.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为晦元/盒、元/盒、晦元/盒、晦元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到晦元,顾客就少付ݔ元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的晦%.①当ݔ=晦时,顾客一次购买草莓和西瓜各盒,需要支付________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则ݔ的最大值为________.试卷第2页,总8页 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。)15.在中,=,sȁ㠮=,cosȁ.Ⅰ求s,㠮的值;Ⅱ求sin的值.16.设൏是等差数列,ȁ晦,且晦,,成等比数列.求൏的通项公式;记൏的前项和为,求的最小值.17.改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月,两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的晦晦晦名学生中随机抽取了晦晦人,发现样本中,两种支付方式都不使用的有人,样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下:不大于晦晦晦元大于晦晦晦元仅使用人人仅使用人人Ⅰ估计该校学生中上个月,两种支付方式都使用的人数;Ⅱ从样本仅使用的学生中随机抽取人,求该学生上个月支付金额大于晦晦晦元的概率;Ⅲ已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用的学生中随机抽查人,发现他本月的支付金额大于晦晦晦元.结合Ⅱ的结果,能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于晦晦晦元的人数有变化?说明理由.18.如图,在四棱锥ȁ�中,平面�,底面�为菱形,为�的中点.Ⅰ求证:�平面;Ⅱ若=晦,求证:平面平面;Ⅲ棱上是否存在点,使得平面?说明理由.ݔ19.已知椭圆的右焦点为晦,且经过点晦.sⅠ求椭圆的方程;Ⅱ设为原点,直线=ݔ与椭圆交于两个不同点、,直线与ݔ与线直,点于交轴ݔ轴交于点.若=,求证:直线经过定点.试卷第3页,总8页 20.已知函数ݔݔȁݔݔ.Ⅰ求曲线=ݔ的斜率为的切线方程;Ⅱ当ݔݔȁݔ:证求,时ȁݔ;Ⅲ设ݔ记,ݔȁݔ=ݔ在区间ȁ上的最大值为.当最小时,求的值.试卷第4页,总8页 参考答案与试题解析2019年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.C2.D3.A4.B5.D6.C7.A8.B二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。9.10.ȁ,11.ݔȁ=12.晦13.若,,则(或若,,则)14.晦,三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.(1)∵=,sȁ㠮=,cosȁ.∴由余弦定理,得s=㠮ȁ㠮cossȁȁsȁȁ,∴s=,∴㠮=sȁ=;(2)在中,∵cosȁ,∴sin,s由正弦定理有:,sinsinsin∴sin,s∴sin=sinȁ=sin.16.解:∵൏是等差数列,ȁ晦,且晦,,成等比数列.∴晦,∴ȁȁ,解得,∴ȁȁ晦ȁȁ.试卷第5页,总8页 由ȁ晦,,得:ȁȁ晦ȁȁȁ,∴或时,取最小值ȁ晦.17.(1)由题意得:从全校所有的晦晦晦名学生中随机抽取的晦晦人中,,两种支付方式都不使用的有人,仅使用的有晦人,仅使用的有人,∴,两种支付方式都使用的人数有:晦晦ȁȁ晦ȁ=晦,晦∴估计该校学生中上个月,两种支付方式都使用的人数为:晦晦晦晦晦人.晦晦(2)从样本仅使用的学生有人,其中不大于晦晦晦元的有人,大于晦晦晦元的有人,从中随机抽取人,基本事件总数=,该学生上个月支付金额大于晦晦晦元包含的基本事件个数=,∴该学生上个月支付金额大于晦晦晦元的概率.Ⅲ不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于晦晦晦元的人数有变化,理由如下:上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用的学生中随机抽查人,发现他本月的支付金额大于晦晦晦元的概率为,虽然概率较小,但发生的可能性为.故不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于晦晦晦元的人数有变化.18.证明:Ⅰ∵四棱锥ȁ�中,平面�,底面�为菱形,∴�,�,∵=,∴�平面.(2)∵在四棱锥ȁ�中,平面�,底面�为菱形,为�的中点,=晦,∴,,∵=,∴平面,∵平面,∴平面平面.Ⅲ棱上是存在中点,使得平面.理由如下:取中点,连结,,∵在四棱锥ȁ�中,平面�,底面�为菱形,为�的中点,∴,,∵=,=,∴平面平面,试卷第6页,总8页 ∵平面,∴平面.ݔ19.(1)椭圆的右焦点为晦,且经过点晦.s可得s=㠮=,s㠮,ݔ则椭圆方程为=;(2)证明:=ݔݔ得可,立联=ݔ程方圆椭与ݔȁ=晦,设ݔ,ݔ,ȁ=ȁȁ晦,ݔݔ,ȁݔݔ,ȁݔݔ的方程为ݔ得可,晦=令,ݔ,即晦;ݔȁȁȁݔݔ的方程为ݔ,令=晦,可得.即晦.ݔȁȁȁȁ=ȁ=ݔݔȁݔݔȁȁ=ȁȁȁ,ݔݔ=,即为=,ȁȁ即有ȁ=ȁ,由,解得=晦,满足晦,即有直线方程为=ݔ,恒过原点晦晦.20.(1)ሺݔȁݔݔ,由ሺݔݔ得=ݔȁ=晦,得ݔ晦ݔ.又晦=晦,,∴=ݔȁ和ݔȁ,即=ݔ=和ݔȁ;(2)证明:欲证ݔݔȁݔ,只需证ȁݔȁݔ晦,令ݔ,ݔȁݔݔȁݔ=ݔȁ,试卷第7页,总8页 则ሺݔݔݔȁݔݔȁ,可知ሺݔ在ȁ晦为正,在晦为负,在为正,∴ݔ在ȁ晦递增,在晦递减,在递增,又ȁ=ȁ,晦=晦,ȁȁ,=晦,∴ȁݔ晦,∴ݔݔȁݔ;Ⅲ由Ⅱ可得,ݔȁݔ=ݔ=ݔȁݔȁ=ݔȁ∵在ȁ上,ȁݔ晦,令=ݔ,=ȁ,则问题转化为当ȁ晦时,的最大值的问题了,①当ȁ时,=晦==ȁ,此时ȁ,当=ȁ时,取得最小值;②当ȁ时,=ȁ=ȁȁ=,∵,∴=,也是=ȁ时,最小为.综上,当取最小值时的值为ȁ.试卷第8页,总8页
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