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2019年北京市高考数学试卷(理科)
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2019年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。)1.已知复数=㜵㐮,则A.B.C.D.2.执行如图所示的程序框图,输出的值为()A.B.C.D.㜵൅3.已知直线的参数方程为(൅为参数),则点到直线的距离是㜵൅()A.B.C.D.4.已知椭圆㜵的离心率为,则()A.=B.=C.=D.=5.若,满足댳,且댳,则㜵的最大值为A.댳B.C.D.6.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足댳lg,其中星等为的星的亮度为=.已知太阳的星等是댳͸,天狼星的星等是댳͸,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.͸B.͸C.lg͸D.댳͸7.设点,,不共线,则“与的夹角为锐角”是“㜵”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线㜵㜵就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线恰好经过个整点(即横、纵坐标均为整数的点);试卷第1页,总9页 ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过;③曲线所围成的“心形”区域的面积小于.其中,所有正确结论的序号是()A.①B.②C.①②D.①②③二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。)9.函数=sin的最小正周期是________.10.设等差数列的前项和为,若=댳,=댳,则=________,的最小值为________.11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为,那么该几何体的体积为________.12.已知,是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:①;②;③.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:________.13.设函数=㜵댳(为常数).若为奇函数,则=________;若是上的增函数,则的取值范围是________.14.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为元/盒、元/盒、元/盒、元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到元,顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的䋟.①当=时,顾客一次购买草莓和西瓜各盒,需要支付________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则的最大值为________.试卷第2页,总9页 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。)15.在中,=,댳㠮=,cos댳.Ⅰ求,㠮的值;Ⅱ求sin댳的值.16.如图,在四棱锥댳쳌中,平面쳌,쳌쳌,쳌,=쳌=쳌=,=.为쳌的中点,点在上,且.Ⅰ求证:쳌平面쳌;Ⅱ求二面角댳댳的余弦值;Ⅲ设点在上,且.判断直线是否在平面内,说明理由.17.改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月,两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了人,发现样本中,两种支付方式都不使用的有人,样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下:大于仅使用人人人仅使用人人人Ⅰ从全校学生中随机抽取人,估计该学生上个月,两种支付方式都使用的概率;Ⅱ从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人,以表示这人中上个月支付金额大于元的人数,求的分布列和数学期望;Ⅲ已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用的学生中,随机抽查人,发现他们本月的支付金额都大于元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化?说明理由.18.已知抛物线댳ʹ经过点댳.求抛物线的方程及其准线方程;设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点,,直线댳分别交直线,于点和点.求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.19.已知函数댳㜵.Ⅰ求曲线=的斜率为的切线方程;试卷第3页,总9页 Ⅱ当댳时,求证:댳;Ⅲ设=댳㜵,记在区间댳上的最大值为.当最小时,求的值.20.已知数列,从中选取第㐮项、第㐮项、…、第㐮项㐮㐮͸͸͸㐮,若㐮㐮㐮,则称新数列㐮,㐮,…,㐮为的长度为的递增子列.规定:数列的任意一项都是的长度为的递增子列.Ⅰ写出数列,,,,,,的一个长度为的递增子列;Ⅱ已知数列的长度为ʹ的递增子列的末项的最小值为,长度为的递增子列的末项的最小值为.若ʹ,求证:;Ⅲ设无穷数列的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为댳,且长度为末项为댳的递增子列恰有댳个=,…,求数列的通项公式.试卷第4页,总9页 参考答案与试题解析2019年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.D2.B3.D4.B5.C6.A7.C8.C二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。9.10.,댳11.12.若,,则(或若,,则)13.댳,댳14.,三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.(1)∵=,댳㠮=,cos댳.∴由余弦定理,得=㜵㠮댳㠮cos㜵댳댳댳댳,∴=,∴㠮=댳=;(2)在中,∵cos댳,∴sin,㠮由正弦定理有:,sinsin㠮sin∴sin,∵㠮,∴,∴为锐角,∴cos,∴sin댳=sincos댳cossin댳댳.试卷第5页,总9页 16.证明:Ⅰ∵平面쳌,∴쳌,∵쳌쳌,쳌=,∴쳌平面쳌.(2)以为原点,在平面쳌内过作쳌的平行线为轴,쳌为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,,,,댳,,,平面的法向量,设平面的法向量,㜵则,取=,得댳,㜵㜵设二面角댳댳的平面角为,则cos.∴二面角댳댳的余弦值为.Ⅲ直线在平面内,理由如下:∵点在上,且.∴댳,∴댳,∵平面的法向量댳,댳댳,故直线在平面内.17.(1)由题意得:从全校所有学生中随机抽取的人中,,两种支付方式都不使用的有人,仅使用的有人,仅使用的有人,试卷第6页,总9页 ∴,两种支付方式都使用的人数有:댳댳댳=,∴从全校学生中随机抽取人,估计该学生上个月,两种支付方式都使用的概率ʹ͸(2)从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人,以表示这人中上个月支付金额大于元的人数,则的可能取值为,,,样本仅使用的学生有人,其中支付金额在的有人,超过元的有人,样本仅使用的学生有人,其中支付金额在的有人,超过元的有人,=,=㜵,=,∴的分布列为:数学期望㜵㜵Ⅲ不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化,理由如下:从样本仅使用的学生有人,其中人月支付金额不大于元,有人月支付金额大于元,随机抽查人,发现他们本月的支付金额都大于元的概率为ʹ,虽然概率较小,但发生的可能性为.故不能认为认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化.18.解:抛物线댳ʹ经过点댳.可得ʹ,即ʹ,可得抛物线的方程为댳,准线方程为;证明:抛物线댳的焦点为댳,设直线方程为댳,联立抛物线方程,可得㜵댳,设,,可得㜵댳,댳,直线的方程为,即댳,直线的方程为,即댳,可得댳,댳,试卷第7页,总9页 댳可得的中点的横坐标为㜵,댳即有为直径的圆心为댳,㜵半径为댳㜵,可得圆的方程为댳㜵㜵㜵,化为댳㜵㜵,由,可得或댳.则以为直径的圆经过轴上的两个定点,댳.19.(1)댳㜵,由=得댳=,得.又=,,∴=和댳댳,即=和=댳;(2)证明:欲证댳,只需证댳댳,令=댳댳,댳,则댳댳,可知在댳为正,在为负,在为正,∴在댳递增,在递减,在递增,又댳=댳,=,댳댳,=,∴댳,∴댳;Ⅲ由Ⅱ可得,=댳㜵=댳댳=댳∵在댳上,댳,令൅=,൅=൅댳,则问题转化为当൅댳时,൅的最大值的问题了,试卷第8页,总9页 ①当댳时,===댳,此时댳,当=댳时,取得最小值;②当댳时,=댳=댳댳=㜵,∵㜵,∴=㜵,也是=댳时,最小为.综上,当取最小值时的值为댳.20.0,,,(6)00证明:考虑长度为的递增子列的前ʹ项可以组成长度为ʹ的一个递增子列,∴该数列的第ʹ项,∴.000考虑댳与这一组数在数列中的位置.若中有,在在댳之后,则必然在长度为㜵,且末项为的递增子列,这与长度为的递增子列末项的最小值为댳矛盾,∴必在댳之前.继续考虑末项为㜵的长度为㜵的递增子列.∵对于数列댳,,由于在댳之前,∴研究递增子列时,不可同时取与댳,∵对于至的所有整数,研究长度为㜵的递增子列时,第项是与二选,第项是与二选,……,第项是댳与二选,故递增子列最多有个.由题意,这组数列对全部存在于原数列中,并且全在㜵之前.∴,,,,,,……,是唯一构造.即=댳,=,.댳试卷第9页,总9页
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