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2017年北京市高考数学试卷(文科)
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2017年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题.)1.已知全集i,集合iሼሼȁ或ሼ‸⸶,则i()A.ȁ䁢B.ȁ䁢ȁ䁢䁡C.ȁ䁢D.ȁ䁢ȁ䁢䁡2.若复数ͳȁെ䁡െ在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A.ȁ䁢ͳB.ȁ䁢ȁͳC.ͳ䁢䁡D.ȁͳ䁢䁡3.执行如图所示的程序框图,输出的值为()A.B.C.D.ሼ䁢4.若实数ሼ,满足ሼ䁡䁢则ሼ䁡的最大值为()ሼ䁢A.ͳB.C.D.ሼሼͳ5.已知函数ሼiȁ,则ሼ()A.是偶函数,且在上是增函数B.是奇函数,且在上是增函数C.是偶函数,且在上是减函数D.是奇函数,且在上是减函数6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.B.C.D.ͳ试卷第1页,总7页 7.设,为非零向量,则“存在负数,使得i"是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为ͳ,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为ͳ.则下列各数中与最接近的是(参考数据::ᦙ䁪)()A.ͳB.ͳC.ͳD.ͳ二、填空题.)9.在平面直角坐标系ሼ晦中,角与角均以晦ሼ为始边,它们的终边关于轴对ͳ称.若sini,则sini________.10.若双曲线ሼȁiͳ‸的离心率为,则实数i________.11.已知ሼ,,且ሼ䁡iͳ,则ሼ䁡的取值范围是________.12.已知点在圆ሼ䁡iͳ上,点的坐标为ȁ䁢,晦为原点,则晦的最大值为________.13.能够说明“设,,是任意实数.若‸‸,则䁡‸”是假命题的一组整数,,的值依次为________.14.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:െ男学生人数多于女学生人数;െെ女学生人数多于教师人数;െെെ教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为䁪,则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.三、解答题.)15.已知等差数列⸶和等比数列⸶满足ͳiͳiͳ,䁡䁪iͳ,䁪i.ͳ求⸶的通项公式;求和:ͳ䁡䁡䁡䁡ȁͳ.16.已知函数ሼicosሼȁȁsinሼcosሼ.ͳ求ሼ的最小正周期;ͳ求证:当ሼȁ䁢时,ሼȁ.䁪䁪17.某大学艺术专业䁪名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了ͳ名学生,记录他们的分数,将数据分成组:,,,䁪,,,,并整理得到如下频率分布直方图:试卷第2页,总7页 ͳ从总体的䁪名学生中随机抽取一人,估计其分数小于的概率;已知样本中小于䁪的学生有人,试估计总体中分数在区间䁪,内的人数;已知样本中有一半男生的分数不小于,且样本中分数不小于的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.18.如图,在三棱锥-Ro中,⊥R,⊥Ro,R⊥Ro,iRiRoi,为线段o的中点,为线段o上一点.ͳ求证:R;求证:平面R⊥平面o;当//平面R时,求三棱锥ȁRo的体积.19.已知椭圆o的两个顶点分别为ȁ䁢,R䁢,焦点在ሼ轴上,离心率为.ͳ求椭圆o的方程;点为ሼ轴上一点,过作ሼ轴的垂线交椭圆o于不同的两点,,过作的垂线交R于点,求证:R与R的面积之比为䁪:.20.已知函数ሼiሼᦙ䁡ሼȁሼ.ͳ求曲线iሼ在点䁢处的切线方程;求函数ሼ在区间䁢上的最大值和最小值.试卷第3页,总7页 参考答案与试题解析2017年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题.1.C2.B3.C4.D5.B6.D7.A8.D二、填空题.ͳ9.10.ͳ11.䁢ͳ12.13.ȁͳ,ȁ,ȁ14.,ͳ三、解答题.15.解:ͳ设等差数列⸶的公差为.因为䁡䁪iͳ,所以ͳ䁡䁪iͳ.解得i.所以iȁͳ;设等比数列⸶的公比为.因为䁪i,所以i,ͳͳ解得i.所以iȁiȁͳ.ȁͳͳȁͳȁͳ从而ͳ䁡䁡䁡䁡ȁͳiͳ䁡䁡䁡䁡i.16.ͳ解:ሼicosሼȁȁsinሼcosሼisinሼ䁡cosሼȁsinሼͳisinሼ䁡cosሼ试卷第4页,总7页 isinሼ䁡.∴ii.证明:由ͳ易知ሼ单调递增,则ȁ䁡۶,۶䁡䁡ሼ۶,解得ሼ在ȁ䁡۶۶䁡䁢۶上单调递增,ͳͳ在䁡۶۶䁡䁢۶上单调递减,ͳͳ又ሼȁ䁢,䁪䁪故ሼ在ȁ䁢上单调递增,在䁢上单调递减,䁪ͳͳ䁪ͳͳ故ሼminiȁiȁ,即ሼȁ.䁪17.解:ͳ根据直方图分数小于的概率为ͳȁͳᦙ䁪䁡ͳᦙiᦙ䁪.根据直方图知分数在,的人数为ͳͳᦙͳ䁡ᦙ䁡ᦙ䁪䁡ᦙi(人),分数小于䁪的学生有人,所以样本中分数在区间䁪,内的人数为ͳȁȁi(人),所以总体中分数在区间䁪,内的人数估计为䁪i(人).ͳ因为样本中分数不少于的男女生人数相等,ͳ所以其中男生有ͳͳȁᦙ䁪i(人),女生有人.因为样本中有一本男生的分数不小于,所以样本中分数少于的男生有人,女生有ͳȁȁȁiͳ(人).由于抽样方式为分层抽样,所以总体中男生与女生人数之比为䁡͵䁡ͳi͵.18.ͳ证明:由R,Ro,R平面Ro,Ro平面Ro,且RRoiR,可得平面Ro,由R平面Ro,可得R.证明:由RiRo,为线段o的中点,可得Ro,由平面Ro,平面o,试卷第5页,总7页 可得平面o平面Ro,又平面o平面Roio,R平面Ro,且Ro,即有R平面o,R平面R,可得平面R平面o.解:由由由平面R,平面o,且平面o平面Ri,可得由由,又为o的中点,ͳ可得为o的中点,且iiͳ,由平面Ro,可得平面Ro,ͳͳͳ可得RoiRoiiͳ,则三棱锥ȁRo的体积为:ͳͳͳRoiͳͳi.19.解:ͳ∵焦点在ሼ轴上,离心率为,∴i,ii,∴i,∴iȁiͳ,ሼ∴䁡iͳ.䁪设ሼ䁢,ሼ䁢,ሼ䁢ȁ,直线的方程是iሼ䁡,ሼ䁡∵,ሼ䁡∴۶iȁ,ሼ䁡直线的方程是iȁሼȁሼ,ȁ直线R的方程是iሼȁ,ሼȁ直线R与直线联立得ሼ䁡iȁሼȁሼ,ȁiሼȁ,ሼȁ试卷第6页,总7页 ሼ䁡整理为:ሼȁሼiሼȁ,ሼȁ即ሼȁ䁪ሼȁሼiሼȁ,䁪ȁሼ即ሼȁ䁪ሼȁሼi䁪ሼȁ,䁪ሼ䁡解得ሼi,䁪ሼ䁪带入求得iȁͳȁiȁ,䁪∴i,䁪R䁪∴ii.R20.解:ͳ因为ሼiሼᦙ䁡ሼȁሼ,所以ሼiሼᦙ䁡ሼȁ䁡െሼȁͳ,i.又因为iͳ,所以曲线iሼ在点䁢处的切线方程为iͳ.设ሼiሼᦙ䁡ሼȁ䁡െሼȁͳ,则ሼiሼᦙ䁡ሼȁ䁡െሼȁ䁡െሼȁᦙ䁡ሼiȁሼ䁡െሼ.当ሼ䁢时,ሼ,所以ሼ在区间䁢上单调递减,所以对任意ሼ䁢,有ሼi,即ሼ,所以函数ሼ在区间䁢上单调递减.因此ሼ在区间䁢上的最大值为iͳ,最小值为iȁ.试卷第7页,总7页
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