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2016年北京市高考数学试卷(文科)
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2016年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.已知集合ꚠݦꚠ,܇梨ܡܡ汰ɩݦɩܡȁ或ㄠ㘲܇,则ꚠ()A.ݦ.B܇㘲ܡܡ汰ɩݦɩܡ梨或ㄠ㘲܇C.ݦ.D܇ȁܡܡ汰ɩݦɩܡ汰或ㄠ㘲܇㈠汰〮2.复数ꚠ汰㈠〮A.〮B.㈠〮C.㈠〮D.㈠〮3.执行如图所示的程序框图,输出的值为()A.B.C.汰D.ȁ4.下列函数中,在区间㈠数上为减函数的是()㈠A.ꚠB.ꚠcosC.ꚠln㈠D.ꚠ汰㈠5.圆㈠汰㈠汰ꚠ汰的圆心到直线ꚠ㈠ȁ的距离为()A.B.汰C.汰D.汰汰6.从甲、乙等㘲名学生中随机选出汰人,则甲被选中的概率为()汰A.B.C.D.㘲㘲汰㘲汰㘲7.已知汰数㘲,梨数.若点数在线段上,则汰㈠的最大值为()A.㈠B.ȁC.D.8.某学校运动会的立定跳远和ȁ秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序汰ȁ梨㘲号立定跳ᦙᦙ汰ᦙ汰ᦙᦙᦙᦙ梨ᦙ汰ᦙᦙ远(单位:米)ȁ秒ȁ㘲ȁ汰㈠㘲试卷第1页,总7页 跳绳(单位:次)在这名学生中,进入立定跳远决赛的有人,同时进入立定跳远决赛和ȁ秒跳绳决赛的有人,则()A.汰号学生进入ȁ秒跳绳决赛B.㘲号学生进入ȁ秒跳绳决赛C.号学生进入ȁ秒跳绳决赛D.号学生进入ȁ秒跳绳决赛二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分))9.已知向量ꚠ数ȁ,ꚠȁ数,则与夹角的大小为________.10.函数ꚠ汰的最大值为________.㈠11.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为________.汰汰12.已知双曲线㈠ꚠㄠ数ㄠ的一条渐近线为汰㈠ꚠ,一个焦点为汰汰㘲数,则ꚠ________,ꚠ________.汰13.在䁨中,ꚠ,ꚠȁ,则ꚠ________.ȁ14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出种商品,第二天售出ȁ种商品,第三天售出种商品;前两天都售出的商品有ȁ种,后两天都售出的商品有梨种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种;②这三天售出的商品最少有________种.三、解答题(共6小题,满分80分))15.已知ݦ,列数差等是܇ݦ܇是等比数列,且汰ꚠȁ,ȁꚠ,ꚠ,梨ꚠ梨.求ݦ܇的通项公式;汰设ꚠ㈠,求数列ݦ܇的前项和.16.已知函数ꚠ汰sincos㈠cos汰ㄠ的最小正周期为.求的值;汰求的单调递增区间.试卷第2页,总7页 17.某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过立方米的部分按梨元/立方米收费,超出立方米的部分按元/立方米收费,从该市随机调查了位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:(1)如果为整数,那么根据此次调查,为使查以上居民在该月的用水价格为梨元/立方米,至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当ꚠȁ时,估计该市居民该月的人均水费.18.如图,在四棱锥㈠䁨区中,䁨平面䁨区,区䁨,区䁨䁨.求证:区䁨平面䁨;汰求证:平面平面䁨;ȁ设点为的中点,在棱上是否存在点,使得平面䁨?说明理由.汰汰19.已知椭圆䁨㈠ꚠ过点汰数,数两点.汰汰求椭圆䁨的方程及离心率;汰设为第三象限内一点且在椭圆䁨上,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值.20.设函数ꚠȁ㈠汰㈠㈠.求曲线ꚠ在点(数)处的切线方程;汰设ꚠꚠ梨,若函数有三个不同零点,求的取值范围;ȁ求证:汰㈠ȁㄠ是有三个不同零点的必要而不充分条件.试卷第3页,总7页 参考答案与试题解析2016年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.C8.B二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.10.汰ȁ11.汰12.,汰13.14.,汰三、解答题(共6小题,满分80分)15.解:ݦ,列数差等的为差公是܇ݦ܇是公比为的等比数列,ȁ由汰ꚠȁ,ȁꚠ,可得ꚠꚠȁ,汰ꚠ㈠汰ꚠȁȁ㈠汰ꚠȁ㈠,汰即有ꚠꚠ,梨ꚠ梨ꚠ汰,梨㈠则ꚠꚠ汰,ȁ则ꚠ㈠㈠ꚠ㈠汰㈠ꚠ汰㈠;汰ꚠ㈠ꚠ汰㈠㈠ȁ㈠,则数列ݦ܇的前项和为㈠ȁ㈠ᦙᦙᦙ㈠汰㈠㈠㈠ȁ㈠㈠ᦙᦙᦙ㈠ȁ㈠㈠ȁꚠ汰㈠汰㈠ȁ汰ȁ㈠ꚠ㈠.汰16.解:ꚠ汰sincos㈠cos汰ꚠsin汰㈠cos汰汰汰ꚠ汰sin汰㈠cos汰汰汰试卷第4页,总7页 ꚠ汰sin汰㈠.梨汰由ꚠꚠ,得ꚠ.汰汰由得,ꚠ汰sin汰㈠.梨再由㈠㈠汰洠汰㈠㈠汰洠,洠,汰梨汰ȁ得㈠㈠洠㈠洠,洠,ȁ∴的单调递增区间为㈠㈠洠数㈠洠洠.17.解:(1)由频率分布直方图得:用水量在ᦙ㘲数的频率为ᦙ,用水量在数ᦙ㘲的频率为ᦙ㘲,用水量在ᦙ㘲数汰的频率为ᦙ汰,用水量在汰数汰ᦙ㘲的频率为ᦙ汰㘲,用水量在汰ᦙ㘲数ȁ的频率为ᦙ㘲,用水量在ȁ数ȁᦙ㘲的频率为ᦙ㘲,用水量在ȁᦙ㘲数梨的频率为ᦙ㘲,用水量在梨数梨ᦙ㘲的频率为ᦙ㘲,∵用水量小于等于ȁ立方米的频率为㘲查,∴为使查以上居民在该用的用水价为梨元/立方米,∴至少定为ȁ立方米.(2)当ꚠȁ时,该市居民的人均水费为:ᦙ㈠ᦙ㘲ᦙ㘲㈠ᦙ汰汰㈠ᦙ汰㘲汰ᦙ㘲㈠ᦙ㘲ȁ梨㈠ᦙ㘲ȁ梨㈠ᦙ㘲ᦙ㘲㈠ᦙ㘲ȁ梨㈠ᦙ㘲㈠ᦙ㘲ȁ梨㈠ᦙ㘲ᦙ㘲ꚠᦙ㘲,∴当ꚠȁ时,估计该市居民该月的人均水费为ᦙ㘲元.18.证明:∵䁨平面䁨区,区䁨平面䁨区,∴䁨区䁨,∵区䁨䁨,䁨䁨ꚠ䁨,∴区䁨平面䁨;汰证明:∵区䁨,区䁨䁨,∴䁨,∵䁨平面䁨区,平面䁨区,∴䁨,∵䁨䁨ꚠ䁨,∴平面䁨,∵平面,∴平面平面䁨;ȁ在棱上存在中点,使得平面䁨.试卷第5页,总7页 ∵点为的中点,∴,∵平面䁨,平面䁨,∴平面䁨.汰汰19.解:∵椭圆䁨㈠ꚠ过点汰数,数两点,汰汰∴ꚠ汰,ꚠ,则ꚠ汰㈠汰ꚠ梨㈠ꚠȁ,汰汰ȁ∴椭圆䁨的方程为㈠ꚠ,离心率为ꚠ.梨汰汰证明:如图.设数,则汰㈠梨汰ꚠ梨.由题知洠ꚠ,所在直线方程为ꚠ㈠汰,㈠汰㈠汰汰取ꚠ,得ꚠ㈠.㈠汰㈠㈠洠ꚠ,所在直线方程为ꚠ㈠,取ꚠ,得ꚠ㈠.㈠汰∴ɩɩꚠ汰㈠ꚠ汰㈠,ɩɩꚠ㈠ꚠ㈠,㈠㈠汰∴ꚠɩɩɩɩ四边形汰汰ꚠ汰㈠㈠汰㈠㈠汰汰㈠梨㈠梨汰㈠梨㈠㈠梨ꚠ汰㈠汰㈠㈠汰梨㈠汰㈠㈠汰ꚠꚠ梨ꚠ汰.汰㈠汰㈠㈠汰汰即四边形的面积为定值汰.20.解:函数ꚠȁ㈠汰㈠㈠的导数为ꚠȁ汰㈠汰㈠,可得ꚠ在点(数)处的切线斜率为洠ꚠꚠ,切点为数,可得切线的方程为ꚠ㈠.(2)设ꚠꚠ梨,即有ꚠȁ㈠梨汰㈠梨㈠,由ꚠ,可得㈠ꚠȁ㈠梨汰㈠梨,由ꚠȁ㈠梨汰㈠梨的导数ꚠȁ汰㈠㈠梨ꚠ㈠汰ȁ㈠汰,汰当ㄠ㈠或ܡ㈠汰时,ㄠ,递增;ȁ试卷第6页,总7页 汰当㈠汰ܡܡ㈠时,ܡ,递减.ȁ即有在ꚠ㈠汰处取得极大值,且为;汰ȁ汰在ꚠ㈠处取得极小值,且为㈠.ȁ汰ȁ汰由函数有三个不同零点,可得㈠ܡ㈠ܡ,汰ȁ汰解得ܡܡ,汰ȁ汰则的取值范围是数.汰ȁ证明:若有三个不同零点,令ꚠ,可得的图象与轴有三个不同的交点.即有有ȁ个单调区间,即为导数ꚠȁ汰㈠汰㈠的图象与轴有两个交点,可得ㄠ,即梨汰㈠汰ㄠ,即为汰㈠ȁㄠ;若汰㈠ȁㄠ,即有导数ꚠȁ汰㈠汰㈠的图象与轴有两个交点,当ꚠ,ꚠꚠ梨时,满足汰㈠ȁㄠ,即有ꚠ㈠汰汰,图象与轴交于数,㈠汰数,则的零点为汰个.故汰㈠ȁㄠ是有三个不同零点的必要而不充分条件.试卷第7页,总7页
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