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2016年北京市高考数学试卷(理科)
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2016年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.已知集合A={x||x|<2},集合B={-1, 0, 1, 2, 3},则A∩B=(    )A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{-1, 0, 1}D.{-1, 0, 1, 2}2.若x,y满足2x-y≤0x+y≤3x≥0 ,则2x+y的最大值为(    )A.0B.3C.4D.53.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为(    )A.1B.2C.3D.44.设a→,b→是向量,则“|a→|=|b→|”是“|a→+b→|=|a→-b→|”的(    )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知x,y∈R,且x>y>0,则(    )A.1x-1y>0B.sinx-siny>0C.(12)x-(12)y<0D.lnx+lny>0试卷第9页,总9页, 6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(    )A.16B.13C.12D.17.将函数y=sin2x-π3图象上的点Pπ4,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则(    )A.t=12,s的最小值为π6B.t=32,s的最小值为π6C.t=12,s的最小值为π3D.t=32,s的最小值为π38.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(    )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.)9.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=________.10.在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________.(用数字作答)11.在极坐标系中,直线ρcosθ-3ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=________.12.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=________.14.设函数f(x)=x3-3x,x≤a-2x,x>a.①若a=0,则f(x)的最大值为________;②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是________.三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)15.在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.试卷第9页,总9页, (1)求∠B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.16.A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时):A班6    6.5    7    7.5    8B班6     7    8     9     10    11    12C班3    4.5   6    7.5     9    10.5    12    13.5(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)17.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求证:PD⊥平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM // 平面PCD?若存在,求AMAP的值,若不存在,说明理由.18.设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A(a, 0),B(0, b),O(0, 0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|⋅|BM|为定值.20.设数列A:a1,a2,…,aN (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有aka1,则G(A)≠⌀;(3)证明:若数列A满足an-an-1≤1(n=2, 3,⋯,N),则G(A)的元素个数不小于aN-a1.试卷第9页,总9页, 参考答案与试题解析2016年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.C2.C3.B4.D5.C6.A7.A8.B二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.-110.6011.212.613.214.2,(-∞, -1)三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.解:(1)∵在△ABC中,a2+c2=b2+2ac,∴a2+c2-b2=2ac,∴cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22,∴B=π4.(2)由(1)得:C=3π4-A,∴2cosA+cosC=2cosA+cos(3π4-A)=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=sin(A+π4).∵A∈(0, 3π4),∴A+π4∈(π4, π),故当A+π4=π2时,sin(A+π4)取最大值1,即2cosA+cosC的最大值为1.试卷第9页,总9页, 16.解:(1)由题意得:三个班共抽取20个学生,其中C班抽取8个,故抽样比K=20100=15,故C班有学生8÷15=40人.(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,共有5×8=40种情况,而且这些情况是等可能发生的,当甲锻炼时间为6时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况;当甲锻炼时间为6.5时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;当甲锻炼时间为7时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;当甲锻炼时间为7.5时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;当甲锻炼时间为8时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况;故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=2+3+3+3+440=38.(3)根据表中数据易知μ0=7×5+9×7+8.25×820=8.2,μ1=164+7+9+8.2523≈8.18,所以μ0>μ1.17.(1)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,且AB⊥AD,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又PD⊥PA,且PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB;(2)解:取AD中点为O,连结CO,PO,∵CD=AC=5,∴CO⊥AD.∵PA=PD,∴PO⊥AD.以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:则P(0, 0, 1),B(1, 1, 0),D(0, -1, 0),C(2, 0, 0),则PB→=(1,1,-1),PD→=(0,-1,-1),PC→=(2,0,-1),CD→=(-2,-1,0).设n→=(x0,y0,1)为平面PCD的法向量,则由n→⋅PD→=0,n→⋅PC→=0,得-y0-1=0,2x0-1=0,∴n→=(12,-1,1).设PB与平面PCD的夹角为θ,试卷第9页,总9页, 则sinθ=|cos|=|n→⋅PB→|n→||PB→||=|12-1-114+1+1×3|=33;(3)解:假设存在M点使得BM // 平面PCD,设AMAP=λ,M(0, y1, z1),由(2)知,A(0, 1, 0),P(0, 0, 1),AP→=(0,-1,1),B(1, 1, 0),AM→=(0,y1-1,z1),则有AM→=λAP→,可得M(0, 1-λ, λ),∴BM→=(-1,-λ,λ).∵BM // 平面PCD,n→=(12,-1,1)为平面PCD的法向量,∴BM→⋅n→=0,即-12+λ+λ=0,解得λ=14.综上,存在点M,即当AMAP=14时,M点即为所求.18.解:(1)∵y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4,∴当x=2时,y=2(e-1)+4=2e+2,即f(2)=2e+2,同时f'(2)=e-1,∵f(x)=xea-x+bx,∴f'(x)=ea-x-xea-x+b,则f(2)=2ea-2+2b=2e+2f'(2)=ea-2-2ea-2+b=e-1,即a=2,b=e.试卷第9页,总9页, (2)∵a=2,b=e,∴f(x)=xe2-x+ex,∴f'(x)=e2-x-xe2-x+e=(1-x)e2-x+e,f″(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=(x-2)e2-x,由f″(x)>0得x>2,由f″(x)<0得x<2,即当x=2时,f'(x)取得极小值f'(2)=(1-2)e2-2+e=e-1>0,∴f'(x)>0恒成立,即函数f(x)是增函数,即f(x)的单调增区间是(-∞, +∞).19.(1)解:由题意可得e=ca=32,又△OAB的面积为1,可得12ab=1,且a2-b2=c2,解得a=2,b=1,c=3,可得椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明:设P(2cosθ, sinθ),(0≤θ<2π),直线PA:y=sinθ2cosθ-2(x-2),令x=0,可得y=-sinθcosθ-1,则|BM|=|sinθ+cosθ-11-cosθ|,直线PB:y=sinθ-12cosθx+1,令y=0,可得x=-2cosθsinθ-1,则|AN|=|2sinθ+2cosθ-21-sinθ|.即有|AN|⋅|BM|=|2sinθ+2cosθ-21-sinθ|⋅|sinθ+cosθ-11-cosθ|=2|2+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ1+sinθcosθ-sinθ-cosθ|=4.则|AN|⋅|BM|为定值4.20.(1)解:根据题干可得,a1=-2,a2=2,a3=-1,a4=1,a5=3,a1a3不满足条件,3不满足条件,a2>a4不满足条件,4不满足条件,a1,a2,a3,a4,均小于a5,因此5满足条件,因此G(A)={2, 5}.(2)证明:因为存在an>a1,设数列A中第一个大于a1的项为ak,则ak>a1≥ai,其中2≤i≤k-1,所以k∈G(A),G(A)≠⌀.(3)证明:设A数列的所有“G时刻”为i1a1≥ai(i=2, 3, ..., i1-1),则ai1-ai≤ai1-ai1-1≤1.对于第二个“G时刻”试卷第9页,总9页, i1,有ai2>ai1≥ai(i=2, 3, ..., i1-1),则ai2-ai1≤ai2-ai2-1≤1.类似的ai3-ai2≤1,…,aik-aik-1≤1.于是,k≥(aik-aik-1)+(aik-1-aik-2)+...+(ai2-ai1)+(ai1-a1)=aik-a1.对于aN,若N∈G(A),则aik=aN.若N∉G(A),则aN≤aik,否则由(2)知aik,aik+1,...,aN,中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾.从而k≥aik-a1≥aN-a1.试卷第9页,总9页
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