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2010年北京市高考数学试卷(文科)
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2010年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.(北京卷理1)集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2<9},则P∩M=()A.{1, 2}B.{0, 1, 2}C.{x|0≤x<3}D.{x|0≤x≤3}2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i3.从{1, 2, 3, 4, 5}中随机选取一个数为a,从{1, 2, 3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是()A.45B.35C.25D.154.若a→,b→是非零向量,且a→⊥b→,|a→|≠|b→|,则函数f(x)=(xa→+b→)⋅(xb→-a→)是(    )A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数5.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为(   ) A.B.C.D.6.给定函数①y=x12,②y=log12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0, 1)上单调递减的函数序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④试卷第7页,总7页, 7.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为()A.2sinα-2cosα+2B.sinα-3cosα+3C.3sinα-3cosα+1D.2sinα-cosα+18.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上.点Q是CD的中点,动点P在棱AD上,若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥P-EFQ的体积()A.与x,y都有关B.与x,y都无关C.与x有关,与y无关D.与y有关,与x无关二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分))9.已知函数y=log2x,x≥22-x,x<2,如图表示的是给定x的值,求其对应的函数值y的程序框图,①处应填写________;②处应填写________.试卷第7页,总7页, 10.在△ABC中,若b=1,c=3,∠C=2π3,则a=________.11.若点p(m, 3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点p在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=________.12.从某小学随机抽取100名同学,将他们身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120, 130),[130, 140),[140, 150]内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140, 150]内的学生中选取的人数应为________.13.已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________.14.(北京卷理14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x, y)的轨迹方程是y=f(x),则f(x)的最小正周期为________;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为________说明:“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.三、解答题(共6小题,满分70分))15.已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求f(π3)的值;(2)求f(x)的最大值和最小值.16.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}的前n项和公式.试卷第7页,总7页, 17.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF // AC,AB=2,CE=EF=1.(1)求证:AF // 平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.18.设定函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(I)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;(II)若f(x)在(-∞, +∞)无极值点,求a的取值范围.19.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率是63,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;(3)设Q(x, y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.20.已知集合Sn={X|X=(x1, x2, ..., xn), xi∈{0, 1}, i=1, 2, ..., n}(n≥2)对于A=(a1, a2,…an,),B=(b1, b2,…bn,)∈Sn,定义A与B的差为A-B=(|a1-b1|, |a2-b2|,…,|an-bn|);A与B之间的距离为d(A,B)=i=1n|ai-bi|.(1)当n=5时,设A=(0, 1, 0, 0, 1),B=(1, 1, 1, 0, 0),求d(A, B);(2)证明:∀A,B,C∈Sn,有A-B∈Sn,且d(A-C, B-C)=d(A, B);(3)证明:∀A,B,C∈Sn,d(A, B),d(A, C),d(B, C)三个数中至少有一个是偶数.试卷第7页,总7页, 参考答案与试题解析2010年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.B2.C3.D4.A5.C6.B7.A8.C二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.x<2,y=log2x10.111.-312.0.030,313.(4, 0),(-4, 0),y=±3x14.4,π+1三、解答题(共6小题,满分70分)15.解:(1)f(π3)=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94;(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3(cosx-23)2-73,x∈R,因为cosx∈[-1, 1],所以当cosx=-1时,f(x)取最大值6;当cosx=23时,取最小值-73.16.解:(1)设等差数列{an}的公差d.因为a3=-6,a6=0,所以a1+2d=-6,a1+5d=0,解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.(2)设等比数列{bn}的公比为q,因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即q=3,所以{bn}的前n项和公式为Sn=b1(1-qn)1-q=4(1-3n).17.证明:(1)设AC于BD交于点G.因为EF // AG,且EF=1,AG=12AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF // EG,因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE试卷第7页,总7页, ,所以AF // 平面BDE.(2)连接FG.因为EF // CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.18.解:由得f'(x)=ax2+2bx+c因为f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以a+2b+c-9=016a+8b+c-36=0(*)(I)当a=3时,又由(*)式得2b+c-6=08b+c+12=0解得b=-3,c=12又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0,故f(x)=x3-3x2+12x.(II)由于a>0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-∞, +∞)内无极值点”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞, +∞)内恒成立”.由(*)式得2b=9-5a,c=4a.又△=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)解a>0△=9(a-1)(a-9)≤0得a∈[1, 9]即a的取值范围[1, 9]19.解:(1)因为ca=63,且c=2,所以a=3,b=a2-c2=1所以椭圆C的方程为x23+y2=1(2)由题意知p(0, t)(-1
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