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2009年北京市高考数学试卷(理科)
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2009年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.在复平面内,复数=ሺͳ对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量ሺ量,ሺ量,ͳሺ,,如果,那么()A.且与同向B.且与反向C.且与同向D.且与反向ͳ䁌3.为了得到函数lg的图象,只需把函数lg的图象上所有的点()A.向左平移䁌个单位长度,再向上平移个单位长度B.向右平移䁌个单位长度,再向上平移个单位长度C.向左平移䁌个单位长度,再向下平移个单位长度D.向右平移䁌个单位长度,再向下平移个单位长度4.若正四棱柱ܤܥܤܥ的底面边长为,ܤ与底面ܤܥ成角,则到底面ܤܥ的距离为()䁌A.B.C.D.䁌䁌5.“ͳሺ”是“cos”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.若ሺͳͳ(,为有理数),则ͳሺA.B.C.D.7.用到这个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.䁌B.䁌C.䁌D.8.点在直线ǣ上,若存在过的直线交抛物线于,ܤ两点,且ܤ,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是()A.直线上的所有点都是“点”B.直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”D.直线上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”试卷第1页,总8页 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分))lim9.________.ͳ10.若实数,满足则的最小值为________.11.设ሺ是偶函数,若曲线ሺ在点(量ሺ)处的切线的斜率为,则该曲线在(量ሺ)处的切线的斜率为________.12.椭圆ͳ的焦点为、,点在椭圆上,若,则________,的大小为________.晦13.若函数ሺ则不等式ሺ的解集为________.䁌ሺ䁌14.满足:,,,则________;䁌________.三、解答题(共6小题,满分80分))15.在ܤ中,角,ܤ,的对边分别为量量量ܤ,cos,䁌.䁌(1)求sin的值;(2)求ܤ的面积.16.如图,在三棱锥ܤ中,底面ܤ,ܤ,ܤ,ܤ,点ܥ、分别在棱ܤ、上,且ܥܤ.(1)求证:ܤ平面;(2)当ܥ为ܤ的中点时,求ܥ与平面所成的角的正弦值;(3)是否存在点使得二面角ܥ为直二面角?并说明理由.17.某学生在上学路上要经过个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是min.䁌(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.试卷第2页,总8页 18.设函数ሺሺ.(1)求曲线ሺ在点(量ሺ)处的切线方程;(2)求函数ሺ的单调区间;(3)若函数ሺ在区间ሺ量内单调递增,求的取值范围.䁌19.已知双曲线ǣሺ量的离心率为䁌,右准线方程为䁌(1)求双曲线的方程;(2)设直线是圆ǣͳ上动点ሺ量ሺ处的切线,与双曲线交于不同的两点,ܤ,证明ܤ的大小为定值.20.已知数集量量量ሺ晦晦量具有性质;对任意的,ሺ,与两数中至少有一个属于.(1)分别判断数集量䁌量与量量䁌量是否具有性质,并说明理由;ͳͳͳ(2)证明:,且ͳͳͳ;(3)证明:当时,,,䁌,,成等比数列.试卷第3页,总8页 参考答案与试题解析2009年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.B2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.A二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.10.11.12.,13.䁌量14.,三、解答题(共6小题,满分80分)15.解:(1)∵、ܤ、为ܤ的内角,且ܤ,cos,䁌∴为锐角,䁌则sincos∴䁌䁌䁌ͳ䁌∴sinsinሺcosͳsin;䁌䁌䁌ͳ䁌(2)由(1)知sin,sin,又∵ܤ,䁌,䁌∴在ܤ中,由正弦定理,得sin∴,sinܤ䁌ͳ䁌䁌ͳ䁌∴ܤ的面积sin䁌.16.(1)证明:∵底面ܤ,∴ܤ.试卷第4页,总8页 又ܤ,∴ܤ,∴ܤ平面.(2)解:∵ܥ为ܤ的中点,ܥܤ,∴ܥܤ.又由(1)知,ܤ平面,∴ܥ平面,垂足为点,∴ܥ是ܥ与平面所成的角.∵底面ܤ,∴ܤ.又ܤ,∴ܤ为等腰直角三角形,∴ܥܤ.在ܤ中,ܤ,∴ܤܤ,ܥܤ∴在ܥ中,sinܥ,ܥܥ即ܥ与平面所成角的正弦值为.(3)解:∵ܥܤ,又由(1)知,ܤ平面,∴ܥ平面.又∵平面,平面ܤ,∴ܥ,ܥ,∴为二面角ܥ的平面角.∵底面ܤ,∴,∴,∴在棱上存在一点,使得.这时,,故存在点使得二面角ܥ是直二面角.17.解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件,∵事件等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,∴事件的概率为ሺሺሺ䁌䁌䁌(2)由题意可得可能取的值为,,,,(单位:min)事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”ሺ量量量䁌量,ሺሺሺ量量量䁌量,∴ሺ䁌䁌∴即的分布列是试卷第5页,总8页 䁌䁌∴的期望是ͳͳͳͳ䁌18.解:(1)̵ሺሺͳ,̵ሺ,ሺ,曲线ሺ在点(量ሺ)处的切线方程为;(2)由̵ሺሺͳ,得ሺ,若,则当ሺ量时,̵ሺ晦,函数ሺ单调递减,当(量ͳ,)时,̵ሺ,函数ሺ单调递增,若晦,则当ሺ量时,̵ሺ,函数ሺ单调递增,当(量ͳ,)时,̵ሺ晦,函数ሺ单调递减;(3)由(2)知,若,则当且仅当,即时,函数ሺሺ量内单调递增,若晦,则当且仅当,即时,函数ሺሺ量内单调递增,综上可知,函数ሺሺ量内单调递增时,的取值范围是量ሺ量.䁌19.解:(1)由题意,䁌,䁌解得,䁌,,∴所求双曲的方程.(2)设ሺ䁪量ሺ䁪在ͳ上,䁪圆在点ሺ䁪量处的切线方程为ሺ䁪,化简得䁪ͳ.以及䁪ͳ得䁪ͳሺ䁌䁪䁪ͳ䁪,∵切与双曲线交于不同的两点、ܤ,且晦䁪晦,䁌䁪,且䁪ሺ䁌䁪ሺ䁪,设、ܤ两点的坐标分别ሺ量,ሺ量,试卷第6页,总8页 䁪䁪ͳ䁌䁪,䁌䁪.∵cosܤܤ,且ܤͳͳሺሺͳ䁪ሺͳͳ䁪䁪䁪䁪䁪ሺ䁪ͳͳ䁌䁪䁪䁌䁪䁌䁪䁪䁪.䁌䁪䁌䁪∴ܤ的大小为.20.解:(1)由于䁌与均不属于数集,䁌,,∴该数集不具有性质.䁌由于,䁌,,䁌,,,,,,都属于数集,,䁌,,䁌䁌∴该数集具有性质.(2)∵量量量具有性质,∴与中至少有一个属于,由于晦晦晦,∴故.从而,.∵晦晦,,∴ሺ量䁌量,…,,故ሺ量䁌量,…,.由具有性质可知ሺ量䁌量,…,.又∵晦晦晦晦,∴,,…,,从而ͳͳͳͳͳͳͳ,ͳͳͳ∴且ͳͳͳ;(3)由(2)知,当时,有,䁌,即䁌,䁌∵晦晦晦,∴䁌,∴䁌,由具有性质可知.䁌䁌由䁌,得,䁌䁌䁌且晦,∴,䁌试卷第7页,总8页 䁌∴,䁌即,,䁌,,是首项为,公比为等比数列.试卷第8页,总8页
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