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2008年北京市高考数学试卷(理科)
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2008年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x<3},B={x|x<-1或x≥4},那么集合A∩B等于()A.{x|-13}C.{x|-2≤x<-1}D.{x|-1≤x<3}2.若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin2π5,则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a3.“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2, 0)的距离小1,则点P的轨迹为(    )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.若实数x,y满足x-y+1≥0x+y≥0x≤0 则z=3x+2y的最小值是()A.0B.1C.3D.96.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于()A.-165B.-33C.-30D.-217.过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们之间的夹角为()A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘8.如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是(    )A.B.C.D.二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分))9.已知(a-i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=________.10.已知向量a→与b→的夹角为120∘,且|a→|=|b→|=4,那么b→⋅(2a→+b→)的值为________.试卷第7页,总7页, 11.若(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32,则n=________,其展开式中的常数项为________(用数字作答).12.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0, 4),(2, 0),(6, 4),则f(f(0))=________;lim△x→0f(1+△x)-f(1)△x=________.(用数字作答)13.已知函数f(x)=x2-cosx,对于[-π2, π2]上的任意x1,x2,有如下条件:①x1>x2;②x12>x22;③|x1|>x2.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________.14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk, yk)处,其中x1=1,y1=1,当k≥2时,xk=xk-1+1-5[T(k-15)-T(k-25)]yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25)T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案,第6棵树种植点的坐标应为________;第2009棵树种植点的坐标应为________.三、解答题(共6小题,满分80分))15.已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间[0, 2π3]上的取值范围.16.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90∘,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的大小;(3)求点C到平面APB的距离.17.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(3)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.18.已知函数f(x)=2x-b(x-1)2,求导函数f'(x),并确定f(x)的单调区间.试卷第7页,总7页, 19.已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0, 1)时,求直线AC的方程;(2)当∠ABC=60∘时,求菱形ABCD面积的最大值.20.对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1,T1将数列A变换成数列T1(A):n,a1-1,a2-1,…,an-1;对于每项均是非负整数的数列B:b1,b2,…,bm,定义变换T2,T2将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T2(B);又定义S(B)=2(b1+2b2+...+mbm)+b12+b22+...+bm2.设A0是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0, 1, 2,…).(1)如果数列A0为5,3,2,写出数列A1,A2;(2)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A))=S(A);(3)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(Ak).试卷第7页,总7页, 参考答案与试题解析2008年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.B二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.-110.011.5,1012.2,-213.②14.(1, 2),(4, 402)三、解答题(共6小题,满分80分)15.解:(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin(2ωx-π6)+12.∵函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,∴2π2ω=π,解得ω=1.(2)由(2)得f(x)=sin(2x-π6)+12.∵0≤x≤2π3,∴-π6≤2x-π6≤7π6,∴-12≤sin(2x-π6)≤1.∴0≤sin(2x-π6)+12≤32,即f(x)的取值范围为[0,32].16.解:(1)取AB中点D,连接PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴试卷第7页,总7页, AB⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥AB.(2)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≅△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC.又∠ACB=90∘,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC.取AP中点E.连接BE,CE.∵AB=BP,∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影,∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中,BC=2,BE=32AB=6,CE=2cos∠BEC=33.∴二面角B-AP-C的大小arccos33.(3)由(1)知AB⊥平面PCD,∴平面APB⊥平面PCD.过C作CH⊥PD,垂足为H.∵平面APB∩平面PCD=PD,∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离.由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,∴PC⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC,∴PC⊥CD.在Rt△PCD中,CD=12AB=2,PD=32PB=6,∴PC=PD2-CD2=2.∴CH=PC⋅CDPD=233.∴点C到平面APB的距离为233.17.解:(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,总事件数是从5个人中选2个作为一组,同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44.满足条件的事件数是A33,试卷第7页,总7页, 那么P(EA)=A33C52A44=140,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,满足条件的事件数是A44,那么P(E)=A44C52A44=110,∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=910.(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务,则P(ξ=2)=C52A33C53A44=14.∴P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=34,ξ的分布列是 ξ 1 2 P 34 1418.解:f'(x)=2(x-1)2-(2x-b)⋅2(x-1)(x-1)4=-2x+2b-2(x-1)3=-2[x-(b-1)](x-1)3.令f'(x)=0,得x=b-1.当b-1<1,即b<2时,f'(x)的变化情况如下表:x(-∞, b-1)b-1(b-1, 1)(1, +∞)f'(x)-0+-当b-1>1,即b>2时,f'(x)的变化情况如下表:x(-∞, 1)(1, b-1)b-1(b-1, +∞)f'(x)-+0-所以,当b<2时,函数f(x)在(-∞, b-1)上单调递减,在(b-1, 1)上单调递增,在(1, +∞)上单调递减.当b>2时,函数f(x)在(-∞, 1)上单调递减,在(1, b-1)上单调递增,在(b-1, +∞)上单调递减.当b-1=1,即b=2时,f'(x)=-2(x-1)2,所以函数f(x)在(-∞, 1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递减.19.解:(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A,C在椭圆上,所以△=-12n2+64>0,解得-433
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