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2004年北京市春季高考数学试卷(理科)
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2004年北京市春季高考数学试卷(理科)一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分))1.在函数y=sin2x,y=sinx,y=cosx,y=tgx2中,最小正周期为π的函数是()A.y=sin2xB.y=sinxC.y=cosxD.y=tgx22.当230,则下列不等关系中必定成立的是()A.tanθ2cotθ2C.sinθ2cosθ27.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,ca-db>0(其中a、b、c、d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.38.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm,把它们重叠在一起组成一个新的长方体,在这些长方体中,最长对角线的长度是()A.77cmB.72cmC.55cmD.102cm9.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是()A.C61C942B.C61C992C.C1003-C943D.P1003-P94310.期中考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么M:N为()A.4041B.1C.4140D.2二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分))11.若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数,则f-1(x)的值域为________.12.sin(α+30∘)-sin(α-30∘)cosα的值为________.试卷第5页,总6页 13.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2003年产生的垃圾量为a吨.由此预测,该区下一年的垃圾量为________吨,2008年的垃圾量为________吨.14.若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,则m、n满足的关系式为________;以(m, n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆x27+y23=1的公共点有________个.三、解答题(共6小题,满分84分))15.当0x-2这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集:2x-1≥0x-2<0(1)或2x-1≥0x-2≥02x-1>(x-2)2(2)解不等式组(1)得解集{x|12≤x<2}解不等式组(2)得解集{x|2≤x<5}所以原不等式的解集为:{x|12≤x<5}16.解:∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac.又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,∴∠A=60∘.在△ABC中,由正弦定理得sinB=bsinAa,∵b2=ac,∠A=60∘,∴bsinBc=b2sin60∘ac=sin60∘=32.17.(1)证明:如图1∵底面ABCD是正方形;∴BC⊥DC;∵SD⊥底面ABCD;∴试卷第5页,总6页 DC是SC在平面ABCD上的射影由三垂线定理得BC⊥SC(2)解:∵SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形,∴可以把四棱锥S-ABCD补形为长方体A1B1C1S-ABCD,如图2面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角,∵SC⊥BC,BC // A1S∴SC⊥A1S又SD⊥A1S,∴∠CSD为所求二面角的平面角在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=2在Rt△SDC中,由勾股定理得SD=1,∴∠CSD=45∘即面ASD与面BSC所成的二面角为45∘18.解:(1)由点A(2, 8)在抛物线y2=2px上,有82=2p⋅2解得p=16所以抛物线方程为y2=32x,焦点F的坐标为(8, 0)(2)如图,由F(8, 0)是△ABC的重心,M是BC的中点,AM是BC上的中线,由重心的性质可得AFFM=2;设点M的坐标为(x0, y0),则2+2x01+2=8,8+2y01+2=0解得x0=11,y0=-4所以点M的坐标为(11, -4)(3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所成直线的方程为y+4=k(x-11)(k≠0)由y+4=k(x-11)y2=32x消x得ky2-32y-32(11k+4)=0试卷第5页,总6页 所以y1+y2=32k由(2)的结论得y1+y22=-4解得k=-4因此BC所在直线的方程为y+4=-4(x-11)即4x+y-40=0.19.设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则x0=100+60-510.02=550因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.当0
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