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湖北省武汉市第二中学2022届高三上学期8月底模拟数学试题 Word版含答案
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湖北省武汉市第二重点中学2022届高三上学期8月底模拟数学试题考试时间:2021年8月22日上午7:30-9:30试卷满分:150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.B.C.D.2.复数(为虚数单位)的虚部是()A.B.C.D.3.已知且都不为0(),则“”是“关于的不等式与同解”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在流行病学中,基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于时,每个感染者平均会感染一个以上的人,从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本传染数持续低于时,疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为,个感染者在每个传染期会接触到个新人,这人中有个人接种过疫苗(称为接种率),那么个感染者新的传染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过,该地疫苗的接种率至少为()A.B.C.D.5.过正方体顶点作平面,使平面,和的中点分别为和,则直线与平面所成角的正弦值为  A.B.C.D.6.已知在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,点O 为其外接圆的圆心.已知,则角A的最大值为()A.B.C.D.7.如图所示,已知和分别是双曲线的左、右焦点,圆与双曲线位于轴上方的图像从左到右依次交于、两点,如果,则的余弦值为()。A.B.C.D.8.若,则()A.B.C.D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况,对某校高一学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩,其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀.则下列说明正确的是()参考数据:随机变量,则,,.A.该校学生体育成绩的方差为10B.该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩的及格率不到85%D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当10.已知数列的前项和是,则下列结论正确的是()A.若数列为等差数列,则数列为等差数列B.若数列为等差数列,则数列为等差数列C.若数列和均为等差数列,则 D.若数列和均为等差数列,则数列是常数数列11.已知函数与函数有相同的对称中心,则下列结论正确的是()A.若方程在上有两个不同的实数根,则取值范围是B.将函数的图象向右平移个单位,会与函数的图象重合C.函数的所有零点的集合为D.若函数在上单调递减,则,12.在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello),这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收人世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶,得到圆锥其中为顶点,为底面圆心),母线长为6米,是母线的靠近点的三等分点.从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带,若灯光带的最小长度为米.下面说法正确的是()A.圆锥的侧面积为平方米B.过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米C.圆锥的外接球表面积为平方米D.棱长为米的正四面体在圆锥内可以任意转动 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设,且,若能被13整除,则。14.已知关于的不等式的解集为,则的最小值为________________.15.某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的,,,四人,欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职,现进入最后一个环节:,,,四人每人有1票,必须投给除自己以外的一个人,并且每个人投给其他任何一人的概率相同,则最终仅一人获得最高得票的概率为  .16.在平面直角坐标系中,定义、两点间的直角距离为,如图,是圆当时的一段弧,是与轴的交点,将依次以原点为中心逆时针旋转五次,得到由六段圆弧构成的曲线.则_______.若点为曲线上任一点,则的最大值为________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路,道路的平面图如图所示(单位:),已知曲线为函数,的图像,且最高点为,折线段为固定线路,其中,,折线段为可变线路,但为保证驾驶安全,限定。(1)求、、的值;(2)若,试用表示折线段道路的长,并求折线段道路长度的最大值。 18.已知数列满足,数列满足。(1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式;(2)数列满足,求数列的前项和。19.如图,平面,,,,四边形的对角线交于点M,N为棱上一点,且平面.(1)求的值:(2)求二面角的余弦值. 20.某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况(评价结果仅有“好评”、“差评”),从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查,部分数据如下表所示(单位:人):好评差评合计男性68108女性60合计216(1)请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”?(2)若将频率视为概率,从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人,用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数,求X的分布列;(3)在抽出的216人中,从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,从给出“差评”的观众中抽取人.现从这人中,随机抽出2人,用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数.若随机变量Y的数学期望不小于1,求m的最大值.参考公式:,其中.参考数据:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 21.已知椭圆的左、右顶点分别为,,为原点.以为对角线的正方形的顶点,在上.(1)求的离心率;(2)当时,过作与轴不重合的直线与交于,两点,直线,的斜率分别为,,试判断是否为定值?若是,求出定值,并加以证明;若不是,请说明理由.22.已知函数.(1)判断函数的零点个数;(2)求证:有两个极值点,且. 武汉二中2022届新高三暑期模拟考试数学参考答案1-8DABCAAAC9.BC10.BCD11.BD12.AD13.114.15.16.,17.【解析】(1)由已知,且有,即,由,得,2分又∵最高点为,∴,解得,∴4分(2)∵点的横坐标为3,代入函数解析式得,∴,5分在中,设,则,由正弦定理,有,∴,,7分∴,9分∴当且仅当时,折线段最长,最长为千米。10分18.【解析】(1)∵当时,,1分又∵,∴数列是首项为,公比为的等比数列,3分∴,∴();5分(2)∵,∴,6分当时,当时,7分 ∴,当时符合,∴,9分∴,10分∴。12分19.(1)因为,且,所以,从而,因为平面,平面,平面平面,所以,所以.(2)以点A为坐标原点、方向为y轴正方向、方向为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,由(1)知,解得,所以,,设平面法向量为,则,,令,得,平面的法向量为,所以,由图可知二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为. 20.解:(1)填写列联表如下:好评差评合计男性4068108女性6048108合计100116216所以,所以有99%的把握认为“观影评价与性别有关”.(2)从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为,且各次抽取之间相互独立,所以,所以,,,.故X的分布列为X0123P(3)从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人,女性6人.则Y的可能取值为0,1,2.所以,,.所以,即,即,解得,又,所以m的最大值为2. 21.解法一:(1)以为对角线的正方形的顶点坐标分别为,,.因为,在椭圆上,所以,所以,所以,所以椭圆的离心率;(2)当时,,所以椭圆的方程为.为定值,理由如下:①当直线的斜率不存在时,的方程为,则,,所以,,所以.②当直线的斜率存在时,设的方程为,,设,,不妨设,且.由可得,,,.要证,只要证明:,只要证:,只要证:,只要证:,因为,,即证,因为,,所以.所以成立,综上所述:.解法二:(1)同解法一; (2)当时,,所以椭圆的方程为.设的方程为,,设,,不妨设.由可得,,,.所以,即..综上所述:.22.(1)定义域为.当时,令,得,令,得,故在上单调递增,在上单调递减.∴至多有两个零点.∵,∴,∴,∴在上有一个零点.,所以在上导数大于零,函数递增,在上导数小于零,函数递减,,所以,即,从而,又∵,∴在上有一个零点.综上,函数有两个零点. (2)的定义域为.由(1)知有两个零点,设为,且,且.又∵在上单调递增,在上单调递减.∴当,或时,;当时,.∴在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,故为的两个极值点.,同理.欲证,即证.∵,∴∴,令,即证,即证.记,∴在上单调递增,故,
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