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人教A版高中数学必修二:《3.2.1 直线的点斜式方程》教案
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3.2.1直线的点斜式方程(一)教学目标1.知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程;(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2.过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程,学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3.情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题.(二)教学重点、难点:(1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程.(2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.(三)教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.在直角坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件?学生回顾,并回答.然后教师指出,直线的方程,就是直线上任意一点的坐标(x,y)满足的关系式.使学生在已有知识和经验的基础上,探索新知.概念形成2.直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k.设点P(x,y)是直线l上的任意一点,请建立x,y与k,x0,y0之间的关系.学生根据斜率公式,可以得到,当x≠x0时,,即y–y0=k(x–x0)(1)培养学生自主探索的能力,并体会直线的方程,就是直线上任意一点的坐标(x,,老师对基础薄弱的学生给予关注、引导,使每个学生都能推导出这个方程.y)满足的关系式,从而掌握根据条件求直线方程的方法.3.(1)过点P0(x0,y0),斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程(1)吗?学生验证,教师引导.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.(2)坐标满足方程(1)的点都在经过P0(x0,y0),斜率为k的直线l上吗?学生验证,教师引导.然后教师指出方程(1)由直线上一定点及其斜率确定,所以叫做直线的点斜式方程,简称点斜式(pointslopeform).使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.概念深化4.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?学生分组互相讨论,然后说明理由.使学生理解直线的点斜式方程的适用范围.5.(1)x轴所在直线的方程是什么?Y轴所在直线的方程是什么?(2)经过点P0(x0,y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么?(3)经过点P0(x0,y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么?教师引导学生通过画图分析,求得问题的解决.进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围,掌握特殊直线方程的表示形式.应用举例,6.例1.直线l经过点P0(–2,3),且倾斜角=45°.求直线l的点斜式方程,并画出直线l.教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件?题目那些条件已经直接给予,那些条件还有待已去求.在坐标平面内,要画一条直线可以怎样去画.xy6421–1–20P0P1例1解析:直线l经过点P0(–2,3),斜率k=tan45°=1代入点斜式方程得y–3=x+2画图时,只需再找出直线l上的另一点P1(x1,y1),例如,取x1=–1,y1=4,得P1的坐标为(–1,4),过P0,P1的直线即为所求,如右图.学生会运用点斜式方程解决问题,清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件:(1)一个定点;(2)有斜率.同时掌握已知直线方程画直线的方法.概念深化7.已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),求直线l的方程.学生独立求出直线l的方程:y=kx+b(2)再此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程(2)由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内涵.引入斜截式方程,让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程,是点斜式方程的一种特殊情形.8.观察方程y=kx+b,它的形式具有什么特点?学生讨论,教师及时给予评价.深入理解和掌握斜截式方程的特点?9.直线y=kx+b在x轴上的截距是什么?学生思考回答,教师评价.使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.方法探究10.你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+学生思考、讨论,教师评价.归纳概括.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.,b?一次函数中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数y=2x–1,y=3x,y=–x+3图象的特点吗?应用举例11.例2已知直线l1:y=k1+b1,l2:y2=k2x+b2.试讨论:(1)l1∥l2的条件是什么?(2)l1⊥l2的条件是什么?教师引导学生分析:用斜率判断两条直线平行、垂直结论.思考(1)l1∥l2时,k1,k2;b1,b2有何关系?(2)l1⊥l2时,k1,k2;b1,b2有何关系?在此由学生得出结论;l1∥l2k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2k1k2=–1.例2解析:(1)若l1∥l2,则k1=k2,此时l1、l2与y轴的交点不同,即b1=b2;反之,k1=k2,且b1=b2时,l1∥l2.于是我们得到,对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=kx+b2l1∥l2k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2k1k2=–1.掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行,或相互垂直;进一步理解斜截式方程中k,b的几何意义.12.课堂练习第100页练习第1,2,3,4题.学生独立完成,教师检查反馈.巩固本节课所学过的知识.归纳13.小结教师引导学生概括:(1)本节课我们学过哪些知识点;(2)直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么?(3)求一条直线的方程,要知道多少个条件?使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识,了解知识的来龙去脉.课后作业见习案3.2的第一课时学生课后独立完成.巩固深化备选例题例1求倾斜角是直线的倾斜角的,,且分别满足下列条件的直线方程是.(1)经过点;(2)在y轴上的截距是–5.【解析】∵直线的斜率,∴其倾斜角=120°由题意,得所求直线的倾斜角.故所求直线的斜率.(1)∵所求直线经过点,斜率为,∴所求直线方程是,即.(2)∵所求直线的斜率是,在y轴上的截距为–5,∴所求直线的方程为,即【点评】(1)由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的,故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1,2),倾斜角为90°的直线方程为x–1=0.(2)截距和距离是两不同的概念,y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标,x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x=0或y=0求对应截距.例2直线l过点P(–2,3)且与x轴,y轴分别交于A、B两点,若P恰为线段AB的中点,求直线l的方程.【解析】设直线l的斜率为k,∵直线l过点(–2,3),∴直线l的方程为y–3=k[x–(–2)],令x=0,得y=2k+3;令y=0得.∴A、B两点的坐标分别为A,B(0,2k+3).,∵AB的中点为(–2,3)∴∴直线l的方程为,即直线l的方程为3x–2y+12=0.
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