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人教A版高中数学必修一:《2.1.2指数函数及其性质》教案(2)
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2.1.2指数函数及其性质(二)(一)教学目标1.知识与技能:(1)理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质.(2)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;2.过程与方法:展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质.3.情感、态度与价值观(1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.(2)培养学生观察问题,分析问题的能力.(二)教学重点、难点1.教学重点:指数函数的概念和性质及其应用.2.教学难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用.(三)教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,利用多媒体教学,使学生通过观察图象,总结出指数函数的性质,调动学生参与课堂教学的主动性和积极性.从而培养学生的观察能力,概括能力.(四)教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R.2.指数函数的图象生:复习回顾师:总结完善复习旧知,为新课作铺垫.,问题:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.形成概念图象特征>10<<1向轴正负方向无限延伸图象关于原点和轴不对称函数图象都在轴上方函数图象都过定点(0,1)自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1师:引导学生观察指数函数的图象,归纳出图象的特征.生:从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象,归纳出图象的特征.师:帮助学生完善.通过分析图象,得到图象特征,为进一步得到指数函数的性质作准备.概念深化函数性质>10<<1函数的定义域为R非奇非偶函数函数的值域为R+=1增函数减函数>0,>1>0,<1生:从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质.师:帮助学生完善.获得指数函数的性质.,<0,<1<0,>1问题:指数函数(>0且≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.师:画出几个提出问题.生:画出几个底数不同的指数函数图象,得到指数函数(>0且≠1),当底数越大时,在第一象限的函数图象越高.(底大图高)明确底数是确定指数函数的要素.应用举例例1求下列函数的定义域、值域(1)(2)课堂练习(P642)例2(P62例7)比较下列各题中的个值的大小(1)1.72.5与1.73例1分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象.解:(1)由得所以函数定义域为.由得,所以函数值域为.(2)由得所以函数定义域为.由得,所以函数值域为.例2解法1掌握指数函数的应用.,(2)与(3)1.70.3与0.93.1课堂练习:1.已知:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出的图象,在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点,显然,图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以.解法2:用计算器直接计算:所以,解法3:由函数的单调性考虑因为指数函数在R上是增函数,且2.5<3,所以,仿照以上方法可以解决第(2)小题.注:在第(3)小题中,可以用解法1,解法2解决,但解法3不适合.由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小.练习答案,按大小顺序排列;2.比较(>0且≠0).例3(P63例8)截止到1999年底,我们人口哟13亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?1.;2.当时,则.当时,则.分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:1999年底人口约为13亿经过1年人口约为13(1+1%)亿经过2年人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2亿经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过年人口约为13(1+1%)亿经过20年人口约为13(1+1%)20亿解:设今后人口年平均增长率为1%,经过年后,我国人口数为亿,则,当=20时,答:经过20年后,我国人口数最多为16亿.小结:类似上面此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间后总量,>0且≠1)的函数称为指数型函数.归纳总结本节课研究了指数函数性质及其应用,关键是要记住>1或0<<1时的图象,在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用,形如(a>0且≠1).学生先自回顾反思,教师点评完善.形成知识体系.课后作业作业:2.1第五课时习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1求下列函数的定义域与值域(1);(2);(3);【分析】由于指数函数且的定义域是,所以函数(且)与函数的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.【解析】(1)令得,定义域为且.,∴的值域为且.(2)定义域为.≥0,≥故的值域为≥.(3)定义域为.且.故的值域为.【小结】求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.例2用函数单调性定义证明a>1时,y=ax是增函数.【解析】设x1,x2∈R且x1<x2,并令x2=x1+h(h>0,h∈R),则有,∵a>1,h>0,∴,∴,即故y=ax(a>1)为R上的增函数,同理可证0<a<1时,y=ax是R上的减函数.
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