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2019年全国I卷文科数学
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2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学:一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,则=A.2B.C.D.12.已知集合,则A.B.C.D.3.已知,则A.B.C.D.4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是9,A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为A.B.C.D.6.某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生7.tan255°=A.-2-B.-2+C.2-D.2+8.已知非零向量a,b满足=2,且(a-b)b,则a与b的夹角为A.B.C.D.9.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入A.A=B.A=C.A=D.A=9,10.双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为A.2sin40°B.2cos40°C.D.11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=A.6B.5C.4D.312.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点处的切线方程为___________.14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S4=___________.15.函数的最小值为___________.16.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。17.(12分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?9,附:.P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.19.(12分)如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.20.(12分)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.21.(12分)已知点A,B关于坐标原点O对称,│AB│=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;9,(2)是否存在定点P,使得当A运动时,│MA│-│MP│为定值?并说明理由.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.23.[选修4−5:不等式选讲](10分)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1);(2).9,2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.D8.B9.A10.D11.A12.B二、填空题13.y=3x14.15.−416.三、解答题17.解:(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2).由于,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.解:(1)设的公差为d.由得.由a3=4得.于是.因此的通项公式为.(2)由(1)得,故.由知,故等价于,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是.9,19.解:(1)连结.因为M,E分别为的中点,所以,且.又因为N为的中点,所以.由题设知,可得,故,因此四边形MNDE为平行四边形,.又平面,所以MN∥平面.(2)过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得,,所以DE⊥平面,故DE⊥CH.从而CH⊥平面,故CH的长即为C到平面的距离,由已知可得CE=1,C1C=4,所以,故.从而点C到平面的距离为.20.解:(1)设,则.当时,;当时,,所以在单调递增,在单调递减.9,又,故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.(2)由题设知,可得a≤0.由(1)知,在只有一个零点,设为,且当时,;当时,,所以在单调递增,在单调递减.又,所以,当时,.又当时,ax≤0,故.因此,a的取值范围是.21.解:(1)因为过点,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上,且关于坐标原点O对称,所以M在直线上,故可设.因为与直线x+2=0相切,所以的半径为.由已知得,又,故可得,解得或.故的半径或.(2)存在定点,使得为定值.理由如下:设,由已知得的半径为.由于,故可得,化简得M的轨迹方程为.因为曲线是以点为焦点,以直线为准线的抛物线,所以.因为,所以存在满足条件的定点P.22.解:(1)因为,且,所以C的直角坐标方程为.9,的直角坐标方程为.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,).C上的点到的距离为.当时,取得最小值7,故C上的点到距离的最小值为.23.解:(1)因为,又,故有.所以.(2)因为为正数且,故有=24.所以.9
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