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2019年全国I卷理科数学
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2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则=A.B.C.D.2.设复数z满足,z在复平面内对应的点为(x,y),则A.B.C.D.3.已知,则A.B.C.D.4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm11,5.函数f(x)=在的图像大致为A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.B.C.D.7.已知非零向量a,b满足,且b,则a与b的夹角为A.B.C.D.8.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入A.A=B.A=C.A=D.A=11,9.记为等差数列的前n项和.已知,则A.B.C.D.10.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为A.B.C.D.11.关于函数有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,)单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点处的切线方程为____________.14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S5=____________.15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若,,则C的离心率为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。11,17.(12分)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设.(1)求A;(2)若,求sinC.18.(12分)如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A−MA1−N的正弦值.19.(12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若,求|AB|.20.(12分)已知函数,为的导数.证明:(1)在区间存在唯一极大值点;(2)有且仅有2个零点.21.(12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效11,进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,其中,,.假设,.(i)证明:为等比数列;(ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1);(2).11,2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题13.y=3x14.15.0.1816.2三、解答题17.解:(1)由已知得,故由正弦定理得.由余弦定理得.因为,所以.(2)由(1)知,由题设及正弦定理得,即,可得.由于,所以,故.18.解:(1)连结B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.11,由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz,则,A1(2,0,4),,,,,,.设为平面A1MA的法向量,则,所以可取.设为平面A1MN的法向量,则所以可取.于是,11,所以二面角的正弦值为.19.解:设直线.(1)由题设得,故,由题设可得.由,可得,则.从而,得.所以的方程为.(2)由可得.由,可得.所以.从而,故.代入的方程得.故.20.解:(1)设,则,.当时,单调递减,而,可得在有唯一零点,设为.则当时,;当时,.11,所以在单调递增,在单调递减,故在存在唯一极大值点,即在存在唯一极大值点.(2)的定义域为.(i)当时,由(1)知,在单调递增,而,所以当时,,故在单调递减,又,从而是在的唯一零点.(ii)当时,由(1)知,在单调递增,在单调递减,而,,所以存在,使得,且当时,;当时,.故在单调递增,在单调递减.又,,所以当时,.从而,在没有零点.(iii)当时,,所以在单调递减.而,,所以在有唯一零点.(iv)当时,,所以<0,从而在没有零点.综上,有且仅有2个零点.21.解:X的所有可能取值为.11,所以的分布列为(2)(i)由(1)得.因此,故,即.又因为,所以为公比为4,首项为的等比数列.(ii)由(i)可得.由于,故,所以表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.22.解:(1)因为,且,所以C的直角坐标方程为.的直角坐标方程为.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,).11,C上的点到的距离为.当时,取得最小值7,故C上的点到距离的最小值为.23.解:(1)因为,又,故有.所以.(2)因为为正数且,故有=24.所以.11
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