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高中数学-直线与直线的位置关系专题
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高中数学-直线与直线的位置关系专题导学目标:1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.1.两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.(1)两直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔____________________________________________________________________.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0),l1∥l2⇔____________________________________________________________________.(2)两直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1·k2=____.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=____.2.两条直线的交点两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程的________;反之,如果这两个二元一次方程只有一个公共 解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________,因此,l1、l2是否有交点,就看l1、l2构成的方程组是否有________.3.有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离P1P2=__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=_______________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线,求l1、l2间距离的方法:①求一条直线上一点到另一条直线的距离;②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离d=_______________.自我检测1.(济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y-3<0表示的平面区域内,则实数a的值为________.2.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过的定点的坐标为________.3.已知直线l1:ax+by+c=0,直线l2:mx+ny+p=0,则=-1是直线l1⊥l2的______________条件.4.(上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是________.5.已知2x+y+5=0,则的最小值是________.探究点一 两直线的平行与垂直例1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y +a2-1=0,(1)试判断l1与l2是否平行;(2)l1⊥l2时,求a的值.变式迁移1 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0.求满足以下条件的a、b的值:(1)l1⊥l2且l1过点(-3,-1);(2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等.探究点二 直线的交点坐标例2 已知直线l1:4x+7y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x+3my-4=0.当m为何值时,三条直线不能构成三角形. 变式迁移2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的坐标为(1,2),求BC边所在直线的方程.探究点三 距离问题例3 已知点P(2,-1).求:(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程. 转化与化归思想例 (14分)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.【答题模板】解 (1)设A′(x,y),再由已知解得∴A′.[4分](2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.设对称点M′(a,b),则得M′.[8分]设直线m与直线l的交点为N,则由得N(4,3).又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.[10分](3)方法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A(-1,-2)的对称点M′,N′均在直线l′上,易得M′(-3,-5),N′(-6,-7),再由两点式可得l′的方程为2x-3y-9=0.[14分]方法二 ∵l∥l′,∴设l′的方程为2x-3y+C=0(C≠1),∵点A(-1,-2)到两直线l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得=,解得C=-9(C=1舍去),∴l′的方程为2x-3y-9=0.[14分]方法三 设P(x,y)为l′上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y),∵点P′在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.[14分]【突破思维障碍】点关于直线对称是轴对称中最基本的,要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称.【易错点剖析】(1)点关于线对称,不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题.(2)线关于线对称,不能转化为点关于线的对称问题;线关于点的对称,不能转化为点关于点的对称问题.1.在两条直线的位置关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形,有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时,不要忘记考虑斜率不存在的情形,利用一般式则可避免分类讨论.2.运用公式d=求两平行直线间的距离时,一定要把x、y项系数化为相等的系数.3.对称思想是高考热点,主要分为中心对称和轴对称两种,关键要把握对称问题的本质,必要情况下可与函数的对称轴建立联系.(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分)1.若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y -1=0互相垂直,则a的值是________.2.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2)、B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=________.3.(南通模拟)P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为________________.4.(浙江)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=________.5.设直线l经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线l的距离最大时,直线l的方程为______________.6.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________.7.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a、b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________和________.8.平行四边形两相邻边方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对角线交点(3,3),则另两边的方程为__________________________________________________和_____________.二、解答题(共42分)9.(14分)(1)已知点P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),求过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程.(2)过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程. 10.(14分)已知△ABC的一个顶点A(-1,-4),内角∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为:l1:y+1=0,l2:x+y+1=0.求边BC所在直线的方程.11.(14分)已知直线方程(a-2)y=(3a-1)x-1.(1)无论a为何实数,该直线是否总经过第一象限?(2)为使直线不经过第二象限,求实数a的取值范围. 参考答案1.(1)k1=k2且b1≠b2 =≠ (2)-1 0 2.公共解 交点 唯一解 3.(1) (2) (3)②自我检测1.-3 2.(0,2) 3.充分不必要 4.3或5 5.课堂活动区例1 解题导引 运用直线的斜截式y=kx+b讨论两直线位置关系时,要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.即若l1∥l2,则或两直线斜率均不存在,若l1⊥l2,则k1k2=-1或k1、k2一个为0,另一个不存在.若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2的必要条件是A1B2-A2B1=0,而l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论,常依据上述结论去解题.解 (1)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不平行;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不平行;当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),l1∥l2⇔ 解得a=-1,综上可知,a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.方法二 由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0.由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0, ∴l1∥l2⇔⇔∴a=-1,故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.(2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不垂直;当a≠1且a≠0时,l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由·=-1⇒a=.方法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0⇒a=.变式迁移1 解 (1)由已知可得l2的斜率必存在,且k2=1-a.若k2=0,则a=1.由l1⊥l2,l1的斜率不存在,∴b=0.又l1过(-3,-1),∴-3a+b+4=0,∴b=3a-4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即k2≠0.若k2≠0,即k1=,k2=1-a.由l1⊥l2,得k1k2=(1-a)=-1.由l1过(-3,-1),得-3a+b+4=0,解之得a=2,b=2.(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴l1的斜率存在,∴k1=k2,即=1-a.又原点到两直线的距离相等,且l1∥l2,∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.解之得或∴a、b的值为2和-2或和2. 例2 解题导引 ①转化思想的运用⇐⇐⇐⇐②分类讨论思想的运用本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类,分类应注意按同一标准,不重不漏.解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时,不能围成三角形.①三条直线共点时,由得(m2≠),即l2与l3的交点为,代入l1的方程得4×+7×-4=0,解得m=,或m=2.②当l1∥l2时,4=7m,∴m=;当l1∥l3时,4×3m=7×2,∴m=;当l2∥l3时,3m2=2,即m=±.∴m取集合中的元素时,三条直线不能构成三角形.变式迁移2 解 可以判断A不在所给的两条高所在的直线上,则可设AB,AC边上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,则可求得AB,AC边所在直线的方程分别为 y-2=-(x-1),y-2=x-1,即3x+2y-7=0,x-y+1=0.由,得B(7,-7),由,得C(-2,-1),所以BC边所在直线的方程为2x+3y+7=0.例3 解题导引 已知直线过定点求方程,首先想到的是求斜率或设方程的斜截式,但不要忘记斜率不存在的直线是否满足题意.若满足,可先把它求出,然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.第(3)问是判断存在性问题,通常的解决方法是先假设判断对象存在,令其满足应符合的条件,若有解,则存在,并求得;若无解,则不存在,判断无解的过程就是结论的理由.如法二.解 (1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl=-=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O 距离最大的直线,最大距离为=.(3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.变式迁移3 解 方法一 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长AB=|-4+9|=5,符合题意.当直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立,由 解得A.由解得B.由两点间的距离公式,得2+2=25,解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知,直线l的方程为x=3或y=1.方法二 因为两平行线间的距离d==,如图,直线l被两平行线截得的线段长为5,设直线l与两平行线的夹角为θ,则sinθ=,所以θ=45°.因为两平行线的斜率是-1,故所求直线的斜率不存在或为0.又因为直线l过点P(3,1),所以直线l的方程为x=3或y=1. 课后练习区1.2或0 2.-2 3.(1,2)或(2,-1)4.1解析 ∵直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,∴×(-)=-1,∴m=1.5.3x-2y+5=0解析 当l与过两点的直线垂直时,(2,-1)与直线l的距离最大,因此所求直线的方程为y-1=-·(x+1),即3x-2y+5=0.6.①⑤解析 如图,由两平行线间距离可得d==,故m与两平行线的夹角都是30°,而两平行线的倾斜角为45°,则m的倾斜角为75°或15°,故①⑤正确.7. 解析 ∵d=,d2=[(a+b)2-4ab]=(1-4c),又0≤c≤,∴d2∈.∴≤d≤.8.x+y-13=0 3x-y-16=0解析 设另两边方程为:x+y+C1=0和3x-y+C2=0. 由得交点A(-,)∵对角线交点坐标为(3,3).则所求两直线的交点坐标为(,),代入方程得C1=-13,C2=-16.9.解 (1)设所求直线为l,由于l过点A且与点P1,P2距离相等,所以有两种情况,①当P1,P2在l同侧时,有l∥P1P2,此时可求得l的方程为y-2=(x+1),即x+3y-5=0;(5分)②当P1,P2在l异侧时,l必过P1P2的中点(-1,4),此时l的方程为x=-1.(7分)∴所求直线的方程为x+3y-5=0或x=-1.(8分)(2)设点A(x,y)在l1上,由题意知∴点B(6-x,-y),解方程组(10分)得 ∴k==8.∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.(14分)10.解 设点A(-1,-4)关于直线y+1=0的对称点A′(x1,y1),则x1=-1,y1=2×(-1)-(-4)=2,即A′(-1,2)在直线BC上.(6分)再设A(-1,-4)关于l2:x+y+1=0的对称点为A″(x2,y2),则有:解得:即A″(3,0)也在直线BC上.(12分) 由直线方程的两点式得:=.所以x+2y-3=0即为△ABC的边BC所在的直线方程.(14分)11.解 (1)令a=2,得直线l1:x=,令a=0,得直线l2:x-2y+1=0.∵l1与l2的交点A(,),(3分)且当x=,y=时,(a-2)y=(3a-1)x-1对任意a∈R恒成立.∴直线l:(a-2)y=(3a-1)x-1恒过定点A.∵点A(,)在第一象限,∴该直线总过第一象限.(7分)(2)设O为原点,由(1)知直线(a-2)y=(3a-1)x-1过定点A(,),且kAO==3.(10分)当a=2时,直线x=不过第二象限,(11分)当a≠2时,直线y=x-要想不过第二象限,需满足≥kAO,即≥3,解得a>2.综上可知,当a∈[2,+∞)时,直线(a-2)y=(3a-1)x-1不过第二象限.(14分)
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