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2021中考数学压轴题专题训练12二次函数的综合(附解析)
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二次函数的综合1.如图,直线过轴上一点,且与抛物线相交于,两点,点的坐标为.(1)求直线的表达式及抛物线的表达式.(2)求点的坐标.(3)点在直线上,点在抛物线上,若,直接写出的取值范围.(4)若抛物线上有一点(在第一象限内),使得,直接写出点的坐标.【解析】解:(1)设直线的解析式为,把,代入得,解得所以直线的解析式为;把代入得,所以抛物线解析式为;(2)解方程组得或,,所以(3)观察图象,当抛物线在直线的下方时,满足,即(4)设,,,解得或(舍去),.2.已知抛物线的图象与轴相交于点和点,与轴交于点,图象的对称轴为直线.连接,有一动点在线段上运动,过点作轴的垂线,交抛物线于点,交轴于点.设点的横坐标为.(1)求的长度;(2)连接、,当的面积最大时,求点的坐标;(3)当为何值时,与相似.【解析】(1)∵对称轴,∴,,∴当时,,解得,,即,,∴.(2)经过点和的直线关系式为,∴点的坐标为.在抛物线上的点的坐标为,∴,∴,当时,的最大值是,∴点的坐标为,即,(3)连,情况一:如图,当时,,当时,,解得,,∴点的横坐标为-2,即点的横坐标为-2,∴,情况二:∵点和,∴,即.如图,当时,,,即为等腰直角三角形,过点作,即点为等腰的中线,∴,,∴,即,解得,(舍去)综述所述,当或-2时,与相似.,3.如图,在平面直角坐标系中,己知二次函数的图像与y轴交于点B(0,4),与x轴交于点A(-1,0)和点D.(1)求二次函数的解析式;(2)求抛物线的顶点和点D的坐标;(3)在抛物线上是否存在点P,使得△BOP的面积等于?如果存在,请求出点P的坐标?如果不存在,请说明理由.【解析】解:(1)把点A(-1,0)和点B(0,4)代入二次函数中得:解得:所以二次函数的解析式为:;(2)根据(1)得点D的坐标为(3,0),=,,∴顶点坐标为(1,);(3)存在这样的点P,设P的坐标为P(x,y),到y轴的距离为∣x∣∵S△BOP=•BO•∣x∣∴=×4•∣x∣解得:∣x∣=所以x=±把x=代入中得:即:y=,把x=-代入中得:即:y=-∴满足条件的点P有两个,坐标分别为P1(,)、P2().4.已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D为OC中点,点P在抛物线上.(1)直接写出A、B、C、D坐标;(2)点P在第四象限,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,PE交BC、BD于G、H,是否存在这样的点P,使PG=GH=HE?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.(3)若直线y=x+t与抛物线y=x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点,直接写出t的取值范围.,【解析】解:(1)在y=x2﹣2x﹣3中,当x=0时,y=﹣3;当y=0时,x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),∵D为OC的中点,∴D(0,﹣);(2)存在,理由如下:设直线BC的解析式为y=kx﹣3,将点B(3,0)代入y=kx﹣3,解得k=1,∴直线BC的解析式为y=x﹣3,设直线BD的解析式为y=mx﹣,将点B(3,0)代入y=mx﹣,解得m=,∴直线BD的解析式为y=x﹣,,设点P的坐标为(x,x2﹣2x﹣3),则E(x,0),H(x,x﹣),G(x,x﹣3),∴EH=﹣x+,HG=x﹣﹣(x﹣3)=﹣x+,GP=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,当EH=HG=GP时,﹣x+=﹣x2+3x,解得x1=,x2=3(舍去),∴点P的坐标为(,﹣);(3)当直线y=x+t经过点B时,将点B(3,0)代入y=x+t,得,t=﹣1,当直线y=x+t与抛物线y=x2﹣2x﹣3只有一个交点时,方程x+t=x2﹣2x﹣3只有一个解,即x2﹣x﹣3﹣t=0,△=()2﹣4(﹣3﹣t)=0,解得t=﹣,∴由图2可以看出,当直线y=x+t与抛物线y=x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时,t的取值范围为:﹣<t<﹣1时.,5.已知:如图,抛物线与坐标轴分别交于点,,,点是线段上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点,使的值最小,求出点M的坐标;(3)当点运动到什么位置时,的面积最大?【解析】解:(1)把,代入抛物线得:,解得:,∴抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3;(2)由题意可得:抛物线的对称轴为直线,点,要使的值最小,对称轴直线x=-1与线段AB的交点即为所求点M,,设直线AB的解析式为:,把点A和点B的坐标代入,解得:,∴直线AB:y=x+3,∴M(-1,2);(3)连接OP,如图所示:设P(t,-t2-2t+3),其中t<0,-t2-2t+3>0,由(1)(2)可得:OA=3,OB=3,△PAO的高为点P到y轴的距离,△PBO的高为点P到x轴的距离,∴=0.5×3×(-t)+0.5×3×(-t2-2t+3)-0.5×3×3=-0.5(t+0.5)2+3.375;∵,即抛物线的开口向下,∴当t=-0.5时,S最大,此时,点P(-0.5,3.75).6.如图,二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A(-1,0)和点B(0,2),图象的对称轴交x轴于点C,一次函数的图象经过点B,C,与二次函数图象的另一个交点为点D.,(1)求二次函数的解析式和一次函数的解析式;(2)求点D的坐标;(3)结合图象,请直接写出时,x的取值范围:_____.【解析】解:(1)将点和点代入,得:,解得:,二次函数的解析式为.二次函数的对称轴为直线,,一次函数的图象经过点、,,解得,一次函数的解析式为.,(2)联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得:,解之得或,点D的坐标为,,(3)由图象可知,当或时,有.7.平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A,B两点,点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(1,0),与y轴交于点C,点D为顶点.(1)求抛物线的解析式和tan∠DAC;(2)点E是直线AC下方的抛物线上一点,且S△ACE=2S△ACD,求点E的坐标;(3)如图2,若点P是线段AC上的一个动点,∠DPQ=∠DAC,DP⊥DQ,则点P在线段AC上运动时,D点不变,Q点随之运动.求当点P从点A运动到点C时,点Q运动的路径长.【解析】解:(1)将A(﹣3,0),B(1,0)分别代入抛物线y=ax2+bx+3可得:,解得;∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3,,∴D(﹣1,4),C(0,3);∴AC=,DC=;∴tan∠DAC=.(2)如图1所示,过E作EF//x轴交AC于点F,设点E(m,﹣m2﹣2m+3),直线AC的表达式为y=kx+n,将A(﹣3,0),C(0,3)分别代入y=kx+n可得:,解得,∴直线AC表达式为y=x+3,∴F(﹣m2﹣2m,﹣m2﹣2m+3),∴EF=m+m2+2m=m2+3m,∴S△ACE=(xC﹣xA)EF,∵S△ACD=AC•CD=3,∴S△ACE=(xC﹣xA)EF=2S△ACD=6,∴(m2+3m)=6,解得m1=1,m2=﹣4(舍),∴E(1,0).,(3)如图2所示当点P与点A重合时,∵∠ADQ=∠DCA=90°,∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC,∴∠DAC=∠QDC,又∵∠DCA=∠DCQ=90°,∴△ADC∽△DQC,∴,∴,,当点P与点C重合时,∴∠Q'DC=∠ACD=90°,∴DQ'∥CQ,∵∠DAC=∠Q'P'D,∠Q'DP'=∠ACD=90°,∴△ADC∽△P'Q'D,∴,∴,∴DQ'=CQ,∴四边形DQ'QC是平行四边形,∴QQ'=CD=.8.已知,点,抛物线经过点,且与直线交于点,与轴交于点(异于原点).(1)填空:用含的代数式表示______;(2)若是直角三角形,求的值;(3)点是抛物线的顶点,连接与交于点,当点是三等分点时,求的值.【解析】(1)∵抛物线经过点B(1,1),∴1=−+b,∴b=1+,故答案为:;(2)∵,∴抛物线的解析式为:,令,则,解得,.∵点异于原点,∴点的坐标为.∴,∵,Q(a+1,0)∴,OQ2=,,∵是直角三角形,∴,即∴.(3)如图,∵=−(x−)2+,∴点M(,),,设直线OM的解析式为y=kx,把M(,)代入得k==∴直线OM的解析式为y=x,当y=1时,x=,∴点N(,1),∵与直线AB交于点P,∴1=−x2+(1+)x,∴x1=1,x2=a,∴点P(a,1),∵点N是BP三等分点,∴BN=2PN,∴1−=2(−a),解得:a=1或.9.如图,在坐标系中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2).抛物线的图象过C点,交y轴于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上是否存在点P使得△BPC的周长最小,若存在,请求出点P坐标,若不存在,请说明理由;,(3)直线BC解析式为,若平移该抛物线的对称轴所在直线l,当l移动到何处时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?【解析】(1)解:(1)如图1所示,过点C作CD⊥x轴于点D,则∠CAD+∠ACD=90°.∵∠AOB=90°∵∠OBA+∠OAB=90°,∵∠BAC=90°∴∠OAB+∠CAD=90°,∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD.在△AOB与△CDA中,∵,∴△AOB≌△CDA(ASA).∴CD=OA=1,AD=OB=2.∴OD=OA+AD=3.,∴C(3,1).∵点C(3,1)在抛物线yx2+bx﹣2上,∴1=×9+3b﹣2,解得:b=∴抛物线的解析式为:;(2)把x=0代入,得y=-2,∴点E坐标为(0,-2),∵B(0,2),∴点B,E关于x轴对称,连接EC交x轴于点P,则BP+PC最小即△BPC的周长最小.设直线CE解析式为,把点E(0,-2),C(3,1)代入解析式,得,解得,∴直线EC的解析式为y=x-2,,令y=0,解得x=2,∴P点坐标为(2,0);,(3)如图2,设直线AC解析式为,把点A(1,0),C(3,1)代入解析式,得,解得,∴直线EC的解析式为,.如图设直线l与BC、AC分别交于点E、F,在△CEF中,EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x.由题意得:S△CEF=S△ABC,即EF•h=S△ABC.∴,整理得:(3﹣x)=3.解得x=3﹣或x=3+(不合题意,舍去).∴当直线l解析式为x=3﹣时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分.,10.把函数的图象绕点旋转180°,得到新函数的图象,我们称是关于点的相关函数,是图象的对称轴与轴交点坐标为.(1)若,时,的相关函数为______;(2)的值为______(用含的代数式表示);(3)若,当时,函数的最大值为,最小值为,且,求的解析式.【解析】(1)∵,,∴函数为:的顶点坐标为(1,-4),∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(-1,4),∴的相关函数为,即,故答案为:;(2):,顶点坐标为(,),顶点(,)围绕点P(,0)旋转180°的对称点为(,),∴的相关函数为:,∴函数的对称轴为:,,故答案为:;,(3)时,:,,对称轴为直线,①当时,∴时,有最小值,时,有最大值,则,整理得:,无解;②当时,时,有最大值,时,有最小值,(舍去);③当时,时,有最大值,时,有最小值,,解得:(舍去)或,故:,故的解析式为.,11.已知函数,(为常数).(1)当时,①求此函数图象与轴交点坐标.②当函数的值随的增大而增大时,自变量的取值范围为________.(2)若已知函数经过点(1,5),求的值,并直接写出当时函数的取值范围.(3)要使已知函数的取值范围内同时含有和这四个值,直接写出的取值范围.【解析】(1)当时,①∵,∴把x=0代入得.∴此函数图象与y轴交点坐标为(0,3).②当x≤时,配方得∵a=-1<0,对称轴为直线x=-1,∴当x≤-1,y随x的增大而增大,符合题意,当x>时,,配方得,∵a=1>0,对称轴为直线x=1,∴当x≥1时,y随x的增大而增大,符合题意,,综上所述:当函数的值随的增大而增大时,自变量的取值范围为x≤或x≥1;(2)当k≥1时,把(1,5)代入,得,解得无实根.当k<1时,把(1,5)代入,得,解得(不合题意,舍去),.∴.∴当x=-2时,将x=-2代入得:y=-4,当-2<x≤0时,配方得∵a=1>0,对称轴为直线x=2,∴当-2<x≤0时,8≤y<20,综上所述:当-2≤x≤0时,y的取值范围为或8≤y<20.(3)由题意可知,当k≤0时,函数图像如图所示,,则的最大值2k≥-2即可,解得k≥-1,∴-1≤k≤0,当0<k<2时,的最大值2k<4则当x>k时,的最小值<4即可,将x=k,y=4代入得解得(舍去),∴0<k<,当k≥2时,的最大值2k≥4,,如图,此时在左边的图像上的最大值不小于4,符合题意,∴k≥2,综上所述:≤k<或k≥2.12.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于E,点D在第一象限,且在抛物线的对称轴上,DE=OC,DM=.(1)求抛物线的对称轴方程;(2)若DA=DC,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,点P是抛物线对称轴上的一个动点,若在直线BM上只存在一个点Q,使∠PQC=45°,求点P的坐标.【解析】(1)∵OC=c,DE=OC=c,点D在抛物线对称轴上,∴点D纵坐标为c,,∵点M是抛物线顶点,∴点M的纵坐标为,则DM=c﹣(c﹣b2)=,;解得b=(舍去),或b=﹣,抛物线的对称轴为直线x=﹣==5;(2)由(1)可知抛物线的表达式为y=x2﹣x+c,令y=x2﹣x+c=0,设A、B两点横坐标为xA、xB,则xA+xB=10,xAxB=4c,则AB===,在Rt中,AE=AB,DE=c,AD=DC=5,由勾股定理得:AD2=DE2+AE2,,25=c2+25﹣4c,化简得:,解得c=4,故抛物线的表达式为y=x2﹣x+4;(3)如图,连接PQ、PC、QC,作的外接圆K,连接KP、KC,过点K作y轴的垂线,交y轴于点F,交抛物线的对称轴于点N,,设点K的坐标为(m,n),点P(5,t),∵∠PQC=45°,故∠PKC=90°,且PK=CK=QK,∵∠FKC+∠NKP=90°,∠NKP+∠NPK=90°,∴∠FKC=∠NPK,∴Rt≌Rt(AAS),∴CF=NK,PN=MK,∴4﹣n=5﹣m,t﹣n=m,∴n=m﹣1,t=2m﹣1,故点K的坐标为(m,m﹣1),点P的坐标为(5,2m﹣1).由抛物线的表达式知,顶点M的坐标为(5,﹣),点B的坐标为(8,0),由点B、M的坐标得,直线MB的表达式为y=x﹣6,设点Q的坐标为(r,r﹣6),由KC2=KQ2得,m2+(m﹣1﹣4)2=(m﹣r)2+(m﹣1﹣r+6)2,整理得:r2﹣(m+)r+20m=0,关于r的一元二次方程,∵直线BM上只存在一个点Q,r的解只有一个,,∴△=(m+)2﹣4××20m=0,解得m=5或,点P坐标(5,t),t=2m﹣1,当m=5时,t=9;当m=时,t=;故点P的坐标为(5,9)或(5,).
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