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2021中考数学压轴题专题训练09动态几何(附解析)
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动态几何1.在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C出发向B运动,几秒后四边形ABQP是平行四边形?【解析】解:设t秒后,四边形APQB为平行四边形,则AP=t,QC=2t,BQ=6﹣2t,∵AD∥BC所以AP∥BQ,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,知:AP=BQ即可,即:t=6﹣2t,∴t=2,当t=2时,AP=BQ=2<BC<AD,符合,综上所述,2秒后四边形ABQP是平行四边形.2.如图,点是矩形中边上一点,沿折叠为,点落在上. (1)求证:;(2)若,求的值;(3)设,是否存在的值,使与相似?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)证明:∵四边形是矩形,∴,∵沿折叠为,∴,∴,又∵,∴.∴;(2)解:在中,,∴设,,,∵沿折叠为,∴,,,,又∵, ∴,∴,;(3)存在,时,与相似理由:当时,.∵,,∴,∴,∵,∴;②当时,,∵,∴,这与相矛盾,∴不成立.综上所述,时,与相似. 3.如图,在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线:()经过点和轴上的点,,.(1)求该抛物线的表达式;(2)联结,求;(3)将抛物线向上平移得到抛物线,抛物线与轴分别交于点(点在点的左侧),如果与相似,求所有符合条件的抛物线的表达式.【解析】解:(1)过作轴,垂足为,∵,∴∵∴,.∵,∴.在中,,∴.∴∵抛物线:经过点, ∴可得:,解得:∴这条抛物线的表达式为;(2)过作轴,垂足为,∵=∴顶点是,得设直线AM为y=kx+b,把,代入得,解得∴直线为 令y=0,解得x=∴直线与轴的交点为∴(3)∵、,∴在中,,∴.∴.由抛物线的轴对称性得:,∴.∵,∴∴.∴当与相似时,有:或即或,∴或.∴或 设向上平移后的抛物线为:,当时,,∴抛物线为:当时,,∴抛物线为:.综上:抛物线为:或.4.定义:既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”,如图1,在中,,,点、分别在边、上,,连接、,点、、分别为、、的中点,且连接、.观察猜想(1)线段与“等垂线段”(填“是”或“不是”)猜想论证(2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置,连接,,试判断与是否为“等垂线段”,并说明理由.拓展延伸(3)把绕点在平面内自由旋转,若,,请直接写出与的积的最大值. 【解析】(1)是;∵,∴DB=EC,∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB∴DE∥BC∴∠EDC=∠DCB∵点、、分别为、、的中点∴PM∥EC,PN∥BD,∴,∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°∴线段与是“等垂线段”;(2)由旋转知∵,∴≌()∴,利用三角形的中位线得,, ∴由中位线定理可得,∴,∵∴∵∴∴∴与为“等垂线段”;(3)与的积的最大值为49;由(1)(2)知,∴最大时,与的积最大∴点在的延长线上,如图所示:∴ ∴∴.5.数轴上点A表示的有理数为20,点B表示的有理数为-10,点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动,到达点B后立即返回,返回过程中的速度是每秒2个单位长度,运动至点A停止,设运动时间为t(单位:秒).(1)当t=5时,点P表示的有理数为.(2)在点P往左运动的过程中,点P表示的有理数为(用含t的代数式表示).(3)当点P与原点距离5个单位长度时,t的值为.【解析】(1)由题意得:,点P从点A运动到点B所需时间为(秒),点P从点B返回,运动到点A所需时间为(秒),则当时,,因此,点P表示的有理数为,故答案为:;(2)在点P往左运动的过程中,,则点P表示的有理数为,故答案为:;(3)由题意,分以下两种情况:①当点P从点A运动到点B,即时,由(2)可知,点P表示的有理数为, 则,即或,解得或,均符合题设;②当点P从点B返回,运动到点A,即时,,点P表示的有理数为,则,即或,解得或,均符合题设;综上,当点P与原点距离5个单位长度时,的值为或5或或时,故答案为:或5或或.6.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,若点P从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动,设运动时间为t(t>0)秒.(1)AC=  cm;(2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上,求此时t的值;(3)在运动过程中,当t为何值时,△ACP为等腰三角形.【解析】(1)由题意根据勾股定理可得:(cm), 故答案为6;(2)如图,点P恰好在∠ABC的角平分线上,过P作PD⊥AB于点D,则可设PC=xcm,此时BP=(8-x)cm,DP=PC=xcm,AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm,∴在RT△BDP中,,即,解之可得:x=3,∴BP=8-3=5cm,∴P运动的路程为:AB+BP=10+5=15cm,∴t=s;(3)可以对△ACP的腰作出讨论得到三种情况如下:①如图,AP=AC=6cm,此时t=s;②如图,PA=PC,此时过P作PD⊥AC于点D,则AD=3,PD=4,∴AP=5, 此时t=s;③如图,PC=AC=6cm,则BP=8-6=2cm,则P运动的路程为AB+BP=10+2=12cm,此时t=s,综上所述,在运动过程中,当t为2.5s或3s或6s时,△ACP为等腰三角形.7.已知,在平面直角坐标系中,AB⊥x轴于点B,A(a,b)满足=0,平移线段AB使点A与原点重合,点B的对应点为点C.OA∥CB.(1)填空:a=_______,b=_______,点C的坐标为_______;(2)如图1,点P(x,y)在线段BC上,求x,y满足的关系式;(3)如图2,点E是OB一动点,以OB为边作∠BOG=∠AOB交BC于点G,连CE交OG于点F,当点E在OB上运动时,的值是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出其值.【解析】解:(1)∵, ∴∴由平移得:且C在y轴负半轴上,故答案为:;(2)如图,过点分别作⊥x轴于点M,⊥y轴于点N,连接.∵AB⊥x轴于点B,且点A,,C三点的坐标分别为:∴OB=,OC=,∴,而∴满足的关系式为: (3)的值不变,值为2.理由如下:∵线段OC是由线段AB平移得到,∴,∴∠AOB=∠OBC,又∵∠BOG=∠AOB,∴∠BOG=∠OBC,根据三角形外角性质,可得∠OGC=2∠OBC,∠OFC=∠FCG+∠OGC,∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC=2(∠FCG+∠OBC)=2∠OEC,∴;所以:的值不变,值为2. 8.综合实践初步探究:如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E.(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系为;解决问题:(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?若成立,请给于证明;若不成立,线段OD、OE与OC之间的数量关系为;拓展应用:(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时,请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系,并说明理由; 【解析】:(1)∵OM是∠AOB的角平分线,∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°,∵CD⊥OA,∴∠ODC=90°,∴∠OCD=60°,∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°,在Rt△OCD中,OD=OC•cos30°=OC,同理:OE=OC,∴OD+OE=OC;(2)(1)中结论仍然成立,理由:过点C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G,∴∠OFC=∠OGC=90°,∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°,同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC,∴OF+OG=OC,∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平分线OM上一点,∴CF=CG,∵∠DCE=120°,∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG,∴△CFD≌△CGE,∴DF=EG,∴OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE, ∴OD+OE=OC;(3)(1)中结论不成立,结论为:OE-OD=OC,理由:过点C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G,∴∠OFC=∠OGC=90°,∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°,同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC,∴OF+OG=OC,∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平分线OM上一点,∴CF=CG,∵∠DCE=120°,∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG,∴△CFD≌△CGE,∴DF=EG,∴OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,∴OE-OD=OC.(4)由(1)可得OD+OE=OC,CD+CE=OC∴OD+OE+CD+CE=(+1)OC, 故四边形CDOE的周长为(+1)OC.9.是等边三角形,点在上,点,分别在射线,上,且.(1)如图1,当点是的中点时,则________;(2)如图2,点在上运动(不与点,重合).①判断的大小是否发生改变,并说明理由;②点关于射线的对称点为点,连接,,.依题意补全图形,判断四边形的形状,并证明你的结论.【解析】(1)∵点D是等边△ABC的边BC的中点,∴∠DAB=∠DAC=∠BAC=30°,∵DA=DE,∴∠AED=∠BAD=30°,∴∠ADE=180°−∠BAD−∠AED=120°,同理:∠ADF=120°,∴∠EDF=360°−∠ADE−∠ADF=120°, 故答案为:120;(2)①不发生改变,理由如下:∵是等边三角形,∴.∵.∴点,,在以为圆,长为半径的圆上,∴.②补全图形如下:四边形为平行四边形,证明如下:由①知,,∵,,∴.在和中,,∴.∴. ∵点和点关于射线对称,∴,.∴,且.∴四边形为平行四边形.10.如图,数轴上,点A表示的数为,点B表示的数为,点C表示的数为9,点D表示的数为13,在点B和点C处各折一下,得到条“折线数轴”,我们称点A和点D在数上相距20个长度单位,动点P从点A出发,沿着“折线数轴”的正方向运动,同时,动点Q从点D出发,沿着“折线数轴”的负方向运动,它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒,“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半,“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍.设运动的时间为t秒,问:(1)动点P从点A运动至D点需要时间为________秒;(2)P、Q两点到原点O的距离相同时,求出动点P在数轴上所对应的数;(3)当Q点到达终点A后,立即调头加速去追P,“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒,当点Q追上点P时,直接写出它们在数轴上对应的数.【解析】(1)点A表示的数为,点B表示的数为,点C表示的数为9,点D表示的数为13,,动点P从点A运动到点D所需时间为(秒),故答案为:15;(2)由题意,分以下六种情况: ①当点P在AB,点Q在CD时,点P表示的数为,点Q表示的数为,点P、Q到原点的距离相同,,此方程无解;②当点P在AB,点Q在CO时,点P表示的数为,点Q表示的数为,点P、Q到原点的距离相同,,解得,此时点P表示的数为3,不在AB上,不符题设,舍去;③当点P在BO,点Q在CO时,点P表示的数为,点Q表示的数为,点P、Q到原点的距离相同,,解得,此时点P表示的数为,不在BO上,不符题设,舍去;④当点P、Q相遇时,点P、Q均在BC上, 点P表示的数为,点Q表示的数为,点P、Q到原点的距离相同,,解得,此时点P表示的数为,点Q表示的数为,均符合题设;⑤当点P在OC,点Q在OB时,点P表示的数为,点Q表示的数为,点P、Q到原点的距离相同,,解得,此时点P表示的数为,点Q表示的数为,均符合题设;⑥当点P在OC,点Q在BA时,点P表示的数为,点Q表示的数为,点P、Q到原点的距离相同,,解得,此时点Q表示的数为0,不在BA上,不符题设,舍去; 综上,点P表示的数为或;(3)点Q到达点A所需时间为(秒),此时点P到达的点是,点P到达点C所需时间为(秒),此时点Q到达的点是,点Q在CD上追上点P,此时点P表示的数为,点Q表示的数为,,解得,此时点P表示的数为18,点Q表示的数为18.11.如图,在矩形中,,,点为对角线的中点,点从点出发,沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动,当点与点不重合时,过点作于点,以为边向右作正方形,设正方形与重叠部分图形的面积为(平方单位),点运动的时间为(秒).(1)求点落在上时的值.(2)直接写出点在正方形内部时的取值范围.(3)当点在折线上运动时,求与之间的函数关系式.(4)直接写出直线平分面积时的值.【解析】(1)如图1所示, 由题意可知,当点落在上时,因为四边形是正方形,所以,又因为在矩形中,,,所以,在和中,因为,,所以,则,所以,解得,所以当点落在上时的值为.故答案为:.(2)①如图2,点刚落在正方形上.因为点是矩形对角线的中点, 所以在矩形的一条对称轴上,所以,所以,解得.②如图3,点和点重合,此时点运动的距离为,因为,,所以,所以,所以此时.综上所述,当点在正方形内部时,的取值位于上述两个临界位置之间,即的取值范围为.故答案为:.(3)①由(1)可知,当时,正方形和的重叠部分即为正方形,所以此时. ②当时,点在上,设与交于点,与交于点,此时正方形和的重叠部分为五边形,此时.同(1),可知,,因为,,,所以,,所以,,所以,,所以,,所以,,所以,所以,整理得. ③当时,点在上,设与交于点,则.因为,,所以,所以,同(1),,所以,所以,所以,,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,整理得.综上所述,当时,;当时,;当时,. 故答案为:(4)设直线与交于点,因为直线平分的面积,∴.①如图7,点在上,过点作于点,则,所以,因为,,,所以,解得.②如图8,点在上,连接. 因为、分别是、的中点,所以是的一条中位线,所以,所以,又因为,所以,所以,所以,因为,,(由(3)②知),,所以,解得.③如图9,在上,设与交于点,连接,交于. 同②,,且,所以,所以,又因为,所以,所以,又因为(同②),所以,所以,因为,所以,所以,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以,又因为,所以,解得.综上所述,当直线平分的面积时,的值为或或.故答案为:或或.12.在中,,,,点是射线上的动点,连接,将沿着翻折得到,设, (1)如图1,当点在上时,求的值.(2)如图2,连接,,当时,求的面积.(3)在点的运动过程中,当是等腰三角形时,求的值.【解析】(1)在中,,,,∴由勾股定理得:BC=10,由折叠性质得:P=AP=x,C=AC=6,则PB=8-x,B=4,在RtΔBP中,由勾股定理得:42+x2=(8-x)2,解得:;(2)当时,由折叠性质得:AC=C=4,∠CAB=∠CP=90º,∴=,∵=90º,=90º,∴,∵=90º,=90º,∴,∴, ∴=4,则,且=,由,∠CAB=90º,可求得,,,,;(3)①当时,若在线段上,如图1,过作H⊥AB于H,过C作CD⊥H延长线于D,则四边形ACDH是矩形,又是等腰三角形,∴,,,,∵=90º,=90º,∴,又=90º,∴,∴,得,解得, 若在延长线上时,如图2,过作AB的平行线,交AC延长线与D,过P作PH垂直平行线于H,则四边形APHD是矩形,同上方法,易求得D=4,,∴PH=AD=,同理可证得,∴,得,解得,②当时,如图3,由折叠性质得:CP垂直平分A,则,∠AQP=90º,又AC=6,,∵∠AQP=∠CAB=90º,∴由同角的余角相等得:∠ACQ=∠QAP,∴, ∴,即,解得:;③当时,如图4,则、重合,,综上所述或或或.
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