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2021中考数学压轴题专题训练04和长度有关的最值(附解析)
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和长度有关的最值1.如图,一只螳螂在树干的点处,发现它的正上方点处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是就绕到虫子后面吃掉它,已知树干的半径为,,两点的距离为,求螳螂爬行的最短距离(π取3).【解析】解:将圆柱形树干的侧面如图所示展开,根据两点之间线段最短,可得AB即为螳螂爬行的最短距离AF=2π×10≈60cm,BF=45cm∴cm答:螳螂爬行的最短距离为75cm.2.如图,在△中,,的平分线交于;若,点为边上的动点,求长度的最小值.【解析】解:由点P是AC上的动点,要使DP的长度最小,根据点到直线垂线段最短,,∴DP⊥AC,如图所示:∵AD平分∠BAC,∠ABC=90°,∴BD=DP,∵BD=3,∴DP=3,即DP的最小值为3.3.如图,是边长为的等边三角形,点为下方的一动点,.(1)若,求的长;(2)求点到的最大距离;(3)当线段的长度最大时,求四边形的面积.【解析】是等边三角形,又,;取的中点,连接:∠ACB=90°,AB=2,又点为下方的一动点,当时,点到的距离最大为连接为等边三角形,.根据三角形三边关系即共线时,最大,的最大长度为此时,四边形的面积为.,4.已知抛物线与轴交于点,且.(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;(2)若,均在该抛物线上,且,求点横坐标的取值范围;(3)点为抛物线在直线下方图象上的一动点,当面积最大时,求点的坐标.【解析】解:(1)把代入,即,解得:,故抛物线的表达式为:,=则顶点.(2)由(1)知抛物线的对称轴,所以点关于对称点在抛物线上,∵∴的取值范围为(3)令y=0,即=0,解得x1=1,x2=3,∴C(3,0)将点、的坐标代入一次函数表达式:得解得:∴直线的表达式为:,过点作轴的平行线交于点,设点,则点,∴则,∵,故有最大值,此时,,故点.5.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型:直线同旁有两个定点A、B,在直线上存在点P,使得PA十PB的值最小.解法:如图1,作点A关于直线的对称点A',连接A'B,则A'B与直线的交点即为P,且PA+PB的最小值为A'B.请利用上述模型解决下列问题;(1)如图2,ΔABC中,∠C=90°,E是AB的中点,P是BC边上的一动点,作出点P,使得PA+PE的值最小;(2)如图3,∠AOB=30°,M、N分别为OA、OB上一动点,若OP=5,求ΔPMN的周长的最小值.【解析】(1)作点A关于直线BC的对称点,连接,交BC于P,如图所示,点P即为所求;(2)作点P关于直线OA的对称点,作点这P关于直线OB的对称点,连接,分别交OA、OB于M、N,如图:,根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为,由轴对称的性质得:∠FOA=∠AOP,∠POB=∠GOB,OP=OF,OP=OG,∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30,OP=5,∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2,OF=OG=5,∴△FOG为边长为5的等边三角形,,答:ΔPMN的周长的最小值为.6.如图,在平面直角坐标系中,、、,连接,点是轴上任意一点,连接,求的最小值.【解析】解:如图,过点作的垂线,垂足为点,与轴交于点.,∵、、,∴,.∴为等腰直角三角形.∴.∴.∵,∴此时的值最小,最小值为的长.∵,,∴.∴的最小值为.7.如图1,在平面直角坐标系中有长方形OABC,点,将长方形OABC沿AC折叠,使得点B落在点D处,CD边交x轴于点E,.,(1)求点D的坐标;(2)如图2,在直线AC以及y轴上是否分别存在点M,N,使得△EMN的周长最小?如果存在,求出△EMN周长的最小值;如果不存在,请说明理由;(3)点P为y轴上一动点,作直线AP交直线CD于点Q,是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形?如果存在,请求出∠OAP的度数;如果不存在,请说明理由.【解析】解:(1)∵四边形AOCB是矩形,∴OC=AB=4,∵∠OAC=30°∴AC=2CO=8,AO=CO=4,∠CAB=60°,∵长方形OABC沿AC折叠,使得点B落在点D处,∴AD=AB=4,∠CAD=60°,∴∠DAO=30°,如图1,过点D作DF⊥AO于F,,∵DF⊥AO,∠DAO=30°,∴DF=AD=2,AF=DF=2,∴OF=AO﹣AF=2,∴点D坐标(2,﹣2);(2)如图2,过点E作y轴的对称点G,过点E作AC的对称点H,连接GH交y轴于点N,与AC交于M,即△EMN的周长最小值为GH,∵∠OAD=30°,AD=4,∠ADC=90°∴AE=,∴OE=,∵点G,点E关于y轴对称,点E,点H关于AC对称,∴点G(﹣,0),点H(,4)∴GH=,∴△EMN的周长最小值为8;,(3)存在点P使得△CPQ为等腰三角形,∵∠ACB=∠ACD=30°,∴∠OCE=30°,①若CP=CQ,如图3,∵CP=CQ,∠OCE=30°,∴∠CPQ=75°,∴∠OAP=90°﹣∠CPQ=15°,②若PQ=CQ时,如图4,∵CQ=PQ,∴∠QPC=∠PCQ=30°,,∴∠OAP=90°﹣∠CPQ=60°;③若CP=PQ,如图5,∴∠PCQ=∠PQC=30°,∴∠OPA=60°,且∠OCA=60°,∴不存在这样的点P,综上,满足条件的点P存在,并且∠OAP=15º或60º.8.如图1,直线分别与坐标轴交于点和点,点的坐标是.点是直线上的一个动点,以为边在一侧作正方(、、、四点始终为逆时针顺序)(1)求直线的解析式;(2)当正方形的一个顶点恰好落在轴上时(点除外),求出对应的点的坐标;(3)如图2,,且的两边分别交边和于、两点,连接,在点运动的过程中,当的周长最小时,直接写出对应的点的坐标和周长的最小值.,【解析】(1)设直线解析式为,,两点在直线上,,,∴的解析式:(2)正方形顶点落于轴上,且点横坐标为2,点纵坐标为2,将,代入中,得.∴;当点在轴上时,同法可得;(3)将向左旋转得到,,,,,三点一线,,,在和中,,,,周长,在点运动的过程中,的周长存在最小值.即让最短即可,点到直线最短距离为垂线段长度,即即可,直线的斜率,设直线解析式为,直线经过点,代入点坐标得,直线解析式为,直线与的交点为(,),故点时,周长有最小值为8.9.如图,在矩形ABCD中,AB=2,E为BC上一点,且BE=1,∠AED=90°,将AED绕点E顺时针旋转得到,A′E交AD于P,D′E交CD于Q,连接PQ,当点Q与点C重合时,AED停止转动.(1)求线段AD的长;,(2)当点P与点A不重合时,试判断PQ与的位置关系,并说明理由;(3)求出从开始到停止,线段PQ的中点M所经过的路径长.【解析】解:(1)∵AB=2,BE=1,∠B=90°,∴AE===,∵∠AED=90°,∴∠EAD+∠ADE=90°,∵矩形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∴∠BAE=∠ADE,∴△ABE∽△DEA,∴,∴,∴AD=5;(2)PQ∥A′D′,理由如下:∵,∠AED=90°,∴==2,∵AD=BC=5,∴EC=BC﹣BE=5﹣1=4,过点E作EF⊥AD于点F,则∠FEC=90°,∵∠A'ED'=∠AED=90°,∴∠PEF=∠CEQ,∵∠C=∠PFE=90°,∴△PEF∽△QEC,∴,∵,∴,∴PQ∥A′D′;(3)连接EM,作MN⊥AE于N,,由(2)知PQ∥A′D′,∴∠EPQ=∠A′=∠EAP,又∵△PEQ为直角三角形,M为PQ中点,∴PM=ME,∴∠EPQ=∠PEM,∵∠EPF=∠EAP+∠AEA′,∠NEM=∠PEM+∠AEA′∴∠EPF=∠NEM,又∵∠PFE=∠ENM﹣90°,∴△PEF∽△EMN,∴=为定值,又∵EF=AB=2,∴MN为定值,即M的轨迹为平行于AE的线段,∵M初始位置为AD中点,停止位置为DE中点,∴M的轨迹为△ADE的中位线,∴线段PQ的中点M所经过的路径长==.10.如图1,点C是线段上一点,将绕点C顺时针旋转90°得到,将绕点C旋转,使点B,的对应点D落在上,连,,并延长交于点F.(1)求证:;(2)连接,猜想,,存在的等量关系,并证明你猜想的结论.(3)如图2,延长到,使,将线段沿直线上下平移,平移后的线段记为,若,当的值最小时,请直接写出的值.【解析】(1)证明:∵CA=CE,CD=CB,∴∴∵(对顶角相等)∴∴(2),,存在的等量关系为:过点C作于点M,作于点N,∵∴四边形CMFN为矩形∵,,CA=CE∴∴CM=CN,AM=EN∴四边形CMFN为正方形∴∵AM=EN∴∴(3)由题意可知,且∵∴,且∴四边形为平行四边形∴当的值最小时,即的值最小,∴点G在上运动时,根据将军饮马模型(或轴对称的性质),若使,应作B关于的对称点,连接,则过作于点H∴∴∴设∴,∴∴.11.如图1,平面直角坐标系中,菱形的边长为4,,对角线与的交点恰好在轴上,点是中点,直线交于.(1)点的坐标为__________;,(2)如图1,在轴上有一动点,连接.请求出的最小值及相应的点的坐标;(3)如图2,若点是直线上的一点,那么在直线上是否存在一点,使得以、、、为顶.点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】解:(1)如图1中,四边形是菱形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,直线的解析式为,直线的解析式为,,直线的解析式为,由,解得,.故答案为.(2)如图中,过点作射线,使得,点点作于,过点作于.,,,,直线的解析式为,,直线的解析式为,由,解得,,,,在中,,,,,,的最小值为,此时点的坐标为.(3)如图2中,过点作交于,连接,.是等边三角形,,,,,,,,四边形是平行四边形,当点与重合时,四边形是平行四边形,此时,根据对称性可知,当点与关于点对称时,四边形是平行四边形,此时,,综上所述,满足条件的点的坐标为或,.12.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y,轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;(3)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上是否存在点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,若没有,说明理由;若有,求出点P,Q的坐标.【解析】解:(1)∵点A(﹣1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx﹣5上,∴,解得,∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5,(2)设H(t,t2﹣4t﹣5),∵CE∥x轴,∴点E的纵坐标为﹣5,∵E在抛物线上,∴x2﹣4x﹣5=﹣5,,∴x=0(舍)或x=4,∴E(4,﹣5),∴CE=4,设直线BC的解析式为y=kx+c将B(5,0),C(0,﹣5)代入,得解得:∴直线BC的解析式为y=x﹣5,∴F(t,t﹣5),∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣)2+,∵CE∥x轴,HF∥y轴,∴CE⊥HF,∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2(t﹣)2+,∵-2<0∴当t=时,S四边形CHEF最大,最大值为∴H(,﹣);(3)如图2,四边形PQKM的周长=PM+PQ+QK+KM(其中KM为定值),∵K为抛物线的顶点,y=x2-4x-5=(x-2)2-9∴K(2,﹣9),∴K关于y轴的对称点K′(﹣2,﹣9),∵M(4,m)在抛物线上,∴m=16-16-5=-5∴M(4,﹣5),∴点M关于x轴的对称点M′(4,5),连接K′M′,分别交x轴于点P,交y轴于点Q∴此时PM=PM′,QK=QK′∴此时四边形PQKM的周长=PM+PQ+QK+KM=PM′+PQ+QK′+KM=M′K′+KM,根据两点之间线段最短,此时四边形PQKM的周长最小设直线K′M′的解析式为y=ex+d将K′、M′的坐标代入,得,解得:∴直线K′M′的解析式为y=,当y=0时,解得x=;当x=0时,解得y=,∴P(,0),Q(0,﹣).
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