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2021中考数学压轴题专题训练03圆(附解析)
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圆1.【解析】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,又∵OC为半径,∴AE=ED;(2)解:连接CD,OD,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=30°,∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°,∵OC∥BD,∴∠OCB=∠CBD=30°,∴∠COD=2∠CBD=60°,∠ABD=60°,∴∠AOD=120°,∵AB=6,∴BD=3,AD=3,∵OA=OB,AE=ED,∴OE=BD=,∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD==.2.【解析】(1)和是所对圆周角,;AB是圆的直径,, 在中,,,,,,AE是⊙O的切线.(2)如图:AB是圆的直径,DC平分∠ACB,,,,,是直角三角形;,,.3.【解析】(1)证明,.∵平分,, ,.,,∴是的切线;(2)证明:连接NE,∵为的直径,∴.,.,,,.4.【解析】解:(1)连接DN,ON ∵⊙O的半径为,∴CD=5∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴BD=CD=AD=5,∴AB=10,∴BC==8∵CD为直径∴∠CND=90°,且BD=CD∴BN=NC=4(2)∵∠ACB=90°,D为斜边的中点,∴CD=DA=DB=AB,∴∠BCD=∠B,∵OC=ON,∴∠BCD=∠ONC,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB,∵NE⊥AB,∴ON⊥NE,∴NE为⊙O的切线. 5.如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,AB=8cm,∠BAC=30°,点D是弦AC上的一点.(1)若OD⊥AC,求OD长;(2)若CD=2OD,判断形状,并说明理由.【解析】解:(1)AB为⊙O的直径,AB=8cm,∠BAC=30°,OD⊥AC,,(2)是等腰三角形.理由如下:如图,过作于连接 设则由勾股定理可得:是等腰三角形.6.已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点(不与点A,B重合),过点C作AB的垂线交⊙O于点D,垂足为E点.(1)如图1,当AE=4,BE=2时,求CD的长度;(2)如图2,连接AC,BD,点M为BD的中点.求证:ME⊥AC. 【解析】解:(1)如图1,连接OC.∵AE=4,BE=2,∴AB=6,∴CO=AO=3,∴OE=AE-AO=1,∵CD⊥AB,∴CE=∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴CE=DE,∴CD=2CE=.(2)证明:如图2,延长ME与AC交于点N. ∵CD⊥AB,∴∠BED=90°.∵M为BD中点,∴EM=BD=DM,∴∠DEM=∠D,∴∠CEN=∠DEM=∠D.∵∠B=∠C,∴∠CNE=90°,即ME⊥AB.7.如下图所示,在直角坐标系中,以为圆心的与轴相交于两点,与轴相交于两点,连接. (1)上有一点,使得.求证;(2)在(1)的结论下,延长到点,连接,若,请证明与相切;(3)如果,的半径为2,求(2)中直线的解析式.【解析】解:(1)由题意可知,,又因为,所以,故∽,所以,(2)连接,则,因为,,故,即,所以与相切.(3),,所以,,所以,均为等边三角形,它们的高分别是,故点的坐标为;点的横坐标为,纵坐标为, 设的直线为,则,所以,所以直线的解析式为.8.如图1,CD是⊙O的直径,且CD过弦AB的中点H,连接BC,过弧AD上一点E作EF∥BC,交BA的延长线于点F,连接CE,其中CE交AB于点G,且FE=FG.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)如图2,连接BE,求证:BE2=BG•BF;(3)如图3,若CD的延长线与FE的延长线交于点M,tanF=,BC=5,求DM的值.【解析】(1)连接OE,则∠OCE=∠OEC=,∵FE=FG,∴∠FGE=∠FEG=, ∵H是AB的中点,∴CH⊥AB,∴∠GCH+∠CGH=+=90°,∴∠FEO=∠FEG+∠CEO=+=90°,∴EF是⊙O的切线;(2)∵CH⊥AB,∴∴∠CBA=∠CEB,∵EF∥BC,∴∠CBA=∠F,故∠F=∠CEB,∴∠FBE=∠GBE,∴△FEB∽△EGB,∴∴;(3)如图2,过点F作FR⊥CE于点R, 设∠CBA=∠CEB=∠GFE=,则tan=,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCG=,故△BCG为等腰三角形,则BG=BC=5,在Rt△BCH中,BC=5,tan∠CBH=tan=,则sin=,cos=,CH=BCsin=5×=3,同理HB=4;设圆的半径为r,则OB2=OH2+BH2,即r2=(r﹣3)2+(4)2,解得:r=;GH=BG﹣BH=5﹣4=,tan∠GCH=,则cos∠GCH=,则tan∠CGH=3=tan,则cos=,连接DE,则∠CED=90°,在Rt△CDE中cos∠GCH=,解得:CE=,在△FEG中,cos=, 解得:FG=;∵FH=FG+GH=,∴HM=FHtan∠F=×=;∵CM=HM+CH=,∴MD=CM﹣CD=CM﹣2r=.9.(1)如图①,的顶点O重合,且,则∠AOB+∠COD=______°;(直接写出结果)(2)连接,若分别是四边形的四个内角的平分线.①如图②,如果,那么的度数为_______;(直接写出结果)②如图③,若,与平行吗?为什么?【答案】(1)180;(2)①;②,理由见解析.【解析】(1),可得;(2)①结合,可得;②, 理由是:因为分别是四边形的四个内角的平分线,所以.所以在四边形中,.所以在中,.在中,.所以.所以所以.因为,所以在中,.因为,所以.所以.所以10.如图1,设是一个锐角三角形,且,为其外接圆,分别为其外心和垂心,为圆直径,为线段上一动点且满足.(1)证明:为中点; (2)过作的平行线交于点,若为的中点,证明:;(3)直线与圆的另一交点为(如图2),以为直径的圆与圆的另一交点为.证明:若三线共点,则;反之也成立.【解析】解:(1)连接,则,又为垂心∴,∴∴四边形为平行四边形∴,又为中点∴为中点(2)过作连接,由(1)可知四边形为平行四边形,四边形为平行四边形∵∴∴为垂心∴ ∴(3)设与交点为由(1)可知四边形为平行四边形∴为直径中点而圆与圆相交弦为∴∴设则为垂心∴三线共点三点共线11.如图,是的直径,是的弦,交于点,连接,过点作,垂足为,.(1)求证:;(2)点在的延长线上,连接. ①求证:与相切;②当时,直接写出的长.【解析】(1)证明:,即(2)①连接 即是的半径与相切②如图,∵BC为直径,EF⊥AB,∴∠BAC=∠BFE=90°,∴AC∥FE,∴,∵CE=4,∴BE=10,∴BC=14, ∴OA=OC=7,∴,在Rt△AOE中,由勾股定理,得,∵,,∴△AEO∽△GEA,∴,即,∴,∴.12.如图,是的直径,点是弧的中点.(1)如图1,求证:;(2)如图2,若于点,交于点,求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,连接交于,连接,交于、交于点,已知,,求的长.【解析】解:(1)连接,∵点是弧的中点, ∴弧弧∴∵∴;(2)延长交于点,连接.∵,是的直径∴弧弧∵弧弧∴弧弧∴∴;(3)连接∵是的直径∴设∴∵弧弧∴∵∴∴∴∴ 连接,作于点∵∴,,∴∵弧弧∴,∵是的直径,∴∴∴∴,∴由(1)知,,∴,∴∴∵∴,∴,,作于点,连接∴∴,∴,∴,四边形是矩形,∴.
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