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2021中考数学压轴题专题训练01全等三角形中的辅助线做法及常见题型(附解析)
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全等三角形中的辅助线做法及常见题型1.如图,在中,,.是的中点,且,点在上,点在上(1)求证:;(2)若,求四边形的面积.【详解】(1)证明:,,是等腰直角三角形,,为中点,,平分,..,,,, 在和中,,,.(2),,∴S四边形CEDF,是的中点,.∴S四边形CEDF=1.2.如图,中,点D在边上,且.(1)求证:;(2)点E在边上,连接交于点F,且,,求的度数.(3)在(2)的条件下,若,的周长等于30,求的长.【详解】(1)证明:∵∠BDC=90°+∠ABD,∠BDC=∠ABD+∠A, ∴∠A=90°-∠ABD.∵∠BDC+∠BDA=180°,∴∠BDA=180°-∠BDC=90°-∠ABD.∴∠A=∠BDA=90°-∠ABD.∴DB=AB.解:(2)如图1,作CH=BE,连接DH,∵∠AFD=∠ABC,∠AFD=∠ABD+∠BAE,∠ABC=∠ABD+∠DBC,∴∠BAE=∠DBC.∵由(1)知,∠BAD=∠BDA,又∵∠EAC=∠BAD-∠BAE,∠C=∠ADB-∠DBC,∴∠CAE=∠C.∴AE=CE.∵BE=CH,∴BE+EH=CH+EH.即BH=CE=AE. ∵AB=BD,∴△BDH≌△ABE.∴BE=DH.∵BE=CD,∴CH=DH=CD.∴△DCH为等边三角形.∴∠ACB=60°.(3)如图2,过点A作AO⊥CE,垂足为O.∵DH∥AE,∴∠CAE=∠CDH=60°,∠AEC=∠DHC=60°.∴△ACE是等边三角形.设AC=CE=AE=x,则BE=16-x,∵DH∥AE,∴△BFE∽△BDH.∴. ∴,.∵△ABF的周长等于30,即AB+BF+AF=AB++x-=30,解得AB=16-.在Rt△ACO中,AC=,AO=,∴BO=16-.在Rt△ABO中,AO2+BO2=AB2,即.解得(舍去).∴AC=.∴AF=11.3.已知:在和中,,.(1)如图①,若①求证:.②求证:的度数. 图①(2)如图②,若,的大小为______(直接写出结果,不证明).图②【详解】解:(1)①,,,在和中,,,.②,, ,,;(2)如图②,同理可得:,.,,,..故答案为:,.4.如图,在中,于点,,点是线段上一点,且,连接交于点.(1)求证:;(2)若,,求的周长.【详解】 解:(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,在△ACD和△BED中,∴△ACD≌△BED(SAS),∴∠DAC=∠CBF;(2)∵AD⊥BC,AD=BD=3,∴∵∠DAC=∠CBF,∴∠DAC+∠C=∠CBF+∠C=90°,∴∠AFB=90°,∴,∴△BAF的周长为:AB+BF+AF=.5.在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,点D为直线BC上的一动点,以AD为边作△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列),且∠DAE=90°,AD=AE,连接CE.(1)如图1,若点D在BC边上(点D与B、C不重合),①求证:△ABD≌△ACE;②求证:(2)如图2,若点D在CB的延长线上,若DB=5,BC=7,则△ADE的面积为____.(3)如图3,若点D在BC的延长线上,以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°,连结BE,若BE=10,BC=6,则AE的长为______. 【详解】(1)①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,②∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°,;(2)过点A作AF⊥DE于点F.∵AD=AE,∴点F是DE的中点,∵∠DAE=90°, ∴AF=DE,同理可证△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC,DB=EC,∵DB=5,BC=7,∴EC=5,DC=12,∵∠DAE=90°,∴∠ADE+∠AED=90°,∴∠ADC+∠CDE+∠AED=90°,∴∠AEC+∠AED+∠CDE=90°,即∠CED+∠CDE=90°,∴∠ECD=90°,∴DE2=CE2+CD2=25+144=169,∵DE>0,∴DE=13,∴AF=,∴△ADE的面积为=DE•AF=×13×=;(3)由(1)可知:△ABD≌△ACE,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°,∴Rt△BCE中,BE=10,BC=6, ∴CE==8,∴BD=CE=8,∴CD=8−6=2,∴Rt△DCE中,DE==,∵△ADE是等腰直角三角形,∴AE===.6.如图在中,,,为的中点.(1)写出点到的三个顶点、、的距离的大小关系.(2)如果点、分别在线段、上移动,移动中保持,请判断的形状,并证明你的结论.(3)当点、分别在、上运动时,四边形的面积是否发生变化?说明理由.【详解】(1)连接OA,中,为的中点,,, ,.(2)是等腰直角三角形,证明如下:,为的中点,,,,,在与中,,≌,,,,是等腰直角三角形.(3)四边形的面积保持不变,理由如下: 由(2)可得:=,.的面积保持不变四边形的面积保持不变.7.如图,直线与轴、轴分别交于、两点,直线与轴、轴分别交于、两点,与直线交于点.(1)填空:点的坐标是(________,________),点的坐标是(________,________);(2)直线与直线的位置关系________;(3)线段的长为________;(4)在第一象限是否存在点,使得是等腰直角三角形,请直接写出所有满足条件的点的坐标________.【详解】(1)令,,令,则,解得,∴;令,,令,则,解得, ∴;(2)直线与直线垂直,理由如下:∵,.在和中,,.,,,,∴直线与直线垂直;(3)解得, ∴点M的坐标为,∴线段的长为;(4)假设存在点P,使得是等腰直角三角形,若AB为斜边,过点P分别作x轴和y轴的垂线,分别交x轴于点E,y轴于点F,∵是等腰直角三角形,.,.在和中,,.设点P的坐标为, 则.,解得此时点P的坐标为;若AB边为直角边,①过点P作轴交x轴于点G,∵是等腰直角三角形,.,. 在和中,,.,,,∴此时P的坐标为,②过点P作轴交y轴于点H,∵是等腰直角三角形,.,. 在和中,,.,,,∴此时P的坐标为,综上所述,点P的坐标为或或.8.如图1,两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起,并且有公共的直角顶点.将图1中的绕点顺时针旋转,在图2中作出旋转后的△OAB(保留作图痕迹,不写作法,不证明);在图1中,你发现线段的数量关系是____,直线相交成角(填“锐”、“钝”或“直”); ①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图,这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判断并说明理由;②若将绕点继续旋转更大的角时,结论仍然成立吗?作出判断,不必说明理由.【详解】解:(1)如图所示(2)∵等腰直角三角形和叠放在一起,如图1,∴OC=OD,OA=OB∴AC=BD, 故答案为:;直(3)①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角,的两个结论成立;理由如下:旋转一个锐角后,,在和中,延长交于E,交于, ,又②将绕点继续旋转更大的角时,结论仍然成立.理由同上.9.问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图(1),在中,,,则.探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究.(1)如图(1),作边上的中线,得到结论:①为等边三角形;②与之间的数量关系为_________.(2)如图(2),是的中线,点D是边上任意一点,连接,作等边,且点P在的内部,连接.试探究线段与之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明.(3)当点D为边延长线上任意一点时,在(2)中条件的基础上,线段与之间存在怎样的数量关系?直接写出答案即可.【详解】(1),, ,为边上的中线,,是等边三角形,.(2).证明:如图,连接,都是等边三角形,,,,,.,.,; (3)当点D为边延长线上任意一点时,同(2)中的方法可证.10.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.【详解】解:(1)点,是,的中点,,,点,是,的中点,,,,,,,, ,,,,,,,故答案为:,;(2)是等腰直角三角形.由旋转知,,,,,,,利用三角形的中位线得,,,,是等腰三角形,同(1)的方法得,,,同(1)的方法得,,, ,,,,,是等腰直角三角形;(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,是等腰直角三角形,最大时,的面积最大,且在顶点上面,最大,连接,,在中,,,,在中,,, ,.方法2:由(2)知,是等腰直角三角形,,最大时,面积最大,点在的延长线上,,,.11.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,直接写出DE、AD、BE的关系为:___;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.【详解】(1)证明:如下图: ∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中,,∴△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD;(2)证明:在△ADC和△CEB中,,∴△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CECD=ADBE;(3)DE=BEAD.易证得△ADC≌△CEB,∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CDCE=BEAD.12.(1)(方法探索)如图,在等边中,点在内,且,,,求的长.小敏在解决这个问题时,想到了以下思路:如图,把绕着点顺时针旋转得到,连接,分别证明和是特殊三角形,从而得解.请在此思路提示下,求出PB的长. 解:把绕着点顺时针旋转得到,连接,请接着写下去:(2)(方法应用)请借鉴上述利用旋转构图的方法,解决下面问题①如图,点在等边外,且,,,若,求度数;②如图,在中,,,是外一点,连接、、已知,.请直接写出的长.【详解】解:(1)如图1中,把绕着点顺时针旋转得到△,连接,由旋转不变性可知,,,,,,△为等边三角形,,, 在△中,,,.(2)①如图2中,把绕着点顺时针旋转得到,连接,是等边三角形,,,由旋转不变性可知,,,,,,为等边三角形,,,,,共线,,,,,,,. ②如图3中,过点作,使得,连接,.,都是等腰直角三角形,,,,,,,,过点作于,,,,在中,,,,,, ,在中,,.
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