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高中数学高考冲刺-双曲线练习题含解析
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高中数学高考冲刺-双曲线练习题含解析1.(北京高考)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是(  )A.m> B.m≥1   C.m>1  D.m>2解析:选C 该双曲线离心率e=,由已知>,故m>1,故选C.2.(广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-5,0)和C(5,0),顶点B在双曲线-=1上,则为(  )A.    B.    C.    D.解析:选C 设△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由正弦定理得=,由双曲线的标准方程和定义可知,A,C是双曲线的焦点,且b=10,|c-a|=8.所以==.故选C. 3.(杭州质检)设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P,若双曲线C的离心率为5,则cos∠PF2F1等于(  )A.    B.    C.    D.解析:选C 据题意可知PF1⊥PF2,设|PF1|=n,|PF2|=m,又由双曲线定义知m-n=2a ①;由勾股定理可得m2+n2=4c2 ②;又由离心率e==5 ③,由①②③解得m=8a,故cos∠PF2F1====.故选C.4.(山东高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(  )A.-=1    B.-=1C.-=1    D.-=1解析:选A 由题意得-=1(a>0,b >0)的两条渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,又圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,半径为2,圆心坐标为(3,0),所以a2+b2=32=9,且=2,解得a2=5,b2=4.所以该双曲线的方程为-=1.故选A.5.(皖南八校联考)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使·=0,且△F1PF2的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为(  )A.    B.C.2   D.5解析:选D 设|PF1|=m,|PF2|=n,且m>n,|F1F2|=2c,由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边.由双曲线的性质和勾股定理得由①③得代入②得(2c-2a)2+(2c-4a)2=4c2,整理得c2-6ac+5a2=0,两边同时除以a2,得e2-6e+5=0,解得e=5或e=1.又e>1,所以e=5.故选D.6.(太原模拟)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2 |=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(  )A.3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0   D.5x±4y=0解析:选C 设线段PF1的中点为M,由于|PF2|=|F1F2|,故F2M⊥PF1,即|F2M|=2a,在Rt△F1F2M中,|F1M|==2b,故|PF1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a.所以2b-a=c,所以(2b-a)2=a2+b2,化简得3b2-4ab=0,所以3b=4a,故双曲线的渐近线方程是y=x,即4x±3y=0.选C.7.(苏锡常镇调研)若双曲线x2-=1(a>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于,则此双曲线方程为______.解析:x2-=1 双曲线x2-=1(a>0)的一个焦点(,0)到一条渐近线-y=0的距离为=,解得a=3,故此双曲线方程为x2-=1.8.(陕西五校模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是______. 解析:(,+∞) 双曲线的渐近线方程为y=±x.若双曲线-=1与直线y=2x有交点,则>2,从而>4.所以>4,解得e2=>5,故e>.9.(茂名质检)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.解析: 由条件知c=5,设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y=(x-5),即4x-3y-20=0,联立直线与双曲线方程,求得yB=-,所以S=×(5-3)×=.10.(湖南高考)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为________.解析: 不妨设|PF1|>|PF2|,由 得由2a<2c,得∠PF1F2=30°,由余弦定理得cos30°=,整理得c2+3a2-2ac=0,所以e2-2e+3=0,解得e=.11.已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;(3)求△F1MF2的面积.(1)解:由e=知a=b.故设双曲线方程为x2-y2=λ.∵双曲线过点P(4,-),∴16-10=λ,解得λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴kMF1=,kMF2=,∴kMF1·kMF2==-.∵点(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,∴·=0.(3)解:在△F1MF2中|F1F2|=4,由(2)知m=±.所以△F1MF2的高h=|m|=,从而S△F1MF2=×4×=6.12.(泰州质检)已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-=1于A,B两点,且=(+).(1)求直线AB的方程;(2)若过N的另一条直线交双曲线于C,D两点,且·=0,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?解:(1)由题意知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=k(x-1)+2,由消去y整理得(2-k2)x2-2k·(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两根,所以2-k2≠0且x1+x2=. ∵=(+),∴N是AB的中点,∴=1,∴k(2-k)=-k2+2,解得k=1,所以AB的方程为y=x+1.(2)将k=1代入方程(*)得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,设A(-1,0),B(3,4).∵·=0,∴CD垂直平分AB.∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中点为M(x0,y0),则x3+x4=-6,x3·x4=-11,∴x0==-3,∴y0=6,故点M(-3,6).∵|CD|=|x3-x4|==4,∴|MC|=|MD|=|CD|=2,又|MA|=|MB|=2,∴A,B,C,D到M的距离相等,∴A,B,C,D四点共圆. 1.(辽宁五校联考)已知点M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切的两直线相交于点P,P点的轨迹方程为(  )A.x2-=1(x>1)B.x2-=1(x>0)C.x2-=1(x>0)   D.x2-=1(x>1)解析:选A 如图设过点P的两切线分别与圆切于S、T,则|PM|-|PN|=(|PS|+|SM|)-(|PT|+|TN|)=|SM|-|TN|=|BM|-|BN|=2=2a,所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交,a=1,c=3,所以b2=8,故P点的轨迹方程为x2-=1(x>1).故选A.2.(邯郸摸底考试)已知F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点为M,且有|MF1|=c,则此双曲线的离心率为(  )A.    B.C.2   D.2 解析:选D 因为F2关于渐近线的对称点为M,又由双曲线的几何性质知焦点到渐近线的距离为b,所以|MF2|=2b,又|F1M|=c,|F1F2|=2c,由勾股定理得4c2=c2+4b2,所以3c2=4(c2-a2),所以c2=4a2,c=2a,e=2.故选D.3.(重庆质检)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且2a2=3c.若双曲线C上的点P满足·=1,则||·||的值为(  )A.5B.4C.3   D.2解析:选C 由题意得,解得,所以b2=c2-a2=1,故双曲线C的方程为-y2=1.设||=r1,||=r2,不妨令r1>r2>0,∠F1PF2=θ,∵·=1,∴r1r2cosθ=1,又r1-r2=2,∴r+r-2r1r2=12,∴r+r=2r1r2+12,又由余弦定理得4c2=r+r-2r1r2cosθ,即16=2r1r2+12-2,∴r1r2=3,即||·||=3.故选C.4.(大纲全国高考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为3,直线y=2与C 的两个交点间的距离为.(1)求a、b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.(1)解:由题设知=3,所以=9,故b2=8a2.所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得x=±.由题设知2=,解得a2=1.所以a=1,b=2.(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.设l的方程为y=k(x-3),|k|<2,由消去y整理得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,且x1+x2=,x1·x2=.所以|AF1|===-(3x1+1),|BF1|===3x2+1. 由|AF1|=|BF1|,得-(3x1+1)=3x2+1,所以x1+x2=-,故=-,解得k2=,从而x1·x2=-.由于|AF2|===1-3x1,|BF2|===3x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
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