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2020-2021学年北京市密云区高三(上)期中数学试卷【高中数学,期中数学试卷,含答案word可编辑】
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2020-2021学年北京市密云区高三(上)期中数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.已知集合袄ؠ袄香䁕,h香香䁕,则䁧A.h香香䁕B.香䁕C.h香䁕D.䁕2.已知向量䁧䁞,䁧䁞h,且,则䁧A.hB.hC.D.䁞3.下列函数中,既是偶函数又在䁧上单调递增的是()A.袄hB.lnؠ袄ؠC.袄D.袄sin袄4.将数列䁔香䁕与䁞䁔h䁕䁧䁔香,……的公共项从小到大排列得到数列䁔䁕,则䁔䁕的前䁞项的和为()A.䁞B.C.䁞D.5.已知log䁞,䁞,䁞,则,,的大小关系是()䁞A.B.C.D.6.已知函数䁧袄sin䁧袄䁧ؠؠ的部分图象如图所示,则䁧袄的解析式为()A.䁧袄sin䁧袄hB.䁧袄sin䁧袄h䁞C.䁧袄sin䁧袄hD.䁧袄sin䁧袄h䁞袄7.当强度为袄的声音对应等级为䁧袄分贝时,有䁧袄香香(其中为常数),装修电钻的声音约为香分贝,普通室内谈话的声音约为分贝,则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为()A.B.lgC.香D.香试卷第1页,总8页,8.设等比数列䁔䁕的前䁔项和为䁔,则“香”是“香”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.在䁨中,䁞,䁨䁞,䁨,为䁨边上的高,为的中点,若䁨,其中,,则等于()香䁞A.香B.C.D.䁞䁞10.函数䁧袄的图象如图所示,在区间上可找到䁔䁧䁔䁔晦个不同的䁧袄香䁧袄䁧袄䁔数袄香,袄,…,袄䁔,使得……,则䁔的取值为()袄香袄袄䁔A.䁞䁞䁕B.䁞䁕C.䁞䁞䁕D.䁞䁞䁕二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.)香11.函数䁧袄log袄的定义域为________.袄h香香香12.给出下列五个论断:①;②;③;④;⑤.以其中的两个论断作为条件,一个论断作为结论,写出一个正确的命题:________.13.已知向量,满足ؠؠ香,䁧香香,则的最大值为________.香14.若“袄香,使得袄.”为假命题,则实数的最大值为________.袄h香䁞袄h香,袄15.设函数䁧袄.ؠ袄香ؠ袄①若香,则䁧袄的值域为________;②若䁧袄在上单调递增,则实数的取值范围是________.三、解答题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)16.已知函数䁧袄sin袄cos䁧袄h.䁧Ⅰ求䁧袄的最小正周期及单调递增区间;试卷第2页,总8页,䁞䁧Ⅱ若䁧袄在区间h上的最大值为,求的最小值.17.已知等差数列䁔䁕的前䁔和为䁔,满足䁞.䁧Ⅰ若䁞,求数列䁔䁕的通项公式及前䁔项和䁔;䁧Ⅱ若香,且䁔䁔,求䁔的取值范围.18.在䁨中,,h香,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作䁞为已知,求:䁧Ⅰsin䁧的值;䁧Ⅱ䁨的面积.香条件①:;条件②:cosh.19.已知函数䁧袄袄h袄h香,.䁧Ⅰ求䁧袄的单调区间;香䁧Ⅱ若对任意袄香,袄h香香,ؠ袄䁧h香袄䁧ؠ恒成立,求的取值范围.20.已知函数䁧袄ln袄h袄.䁧Ⅰ求曲线䁧袄在点(香䁧香)处的切线方程;䁧Ⅱ设函数䁧袄䁧袄,若袄香,袄䁧是函数䁧袄的两个零点,①求的取值范围;②求证:袄香袄香.香䁔21.对于实数数列䁔䁕,记䁔.䁔䁧Ⅰ若香香,,䁞䁞,䁞,写出香,,䁞,䁞的值;䁧Ⅱ若数列䁔䁕是等差数列,求证:对任意三元数组䁧㐠(㐠,,两两不相等),总有䁧㐠h䁧h㐠䁧h㐠;䁧Ⅲ若对任意三元数组䁧㐠(㐠,,两两不相等),存在常数,使得䁧㐠h䁧h㐠䁧h㐠,求证:䁔䁕是等差数列.试卷第3页,总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年北京市密云区高三(上)期中数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.D2.C3.B4.C5.D6.C7.D8.C9.D10.A二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.䁧香䁧香12.②③⑤;③④⑤;②④⑤;13.14.䁞15.䁧h香,h香香三、解答题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.(1)䁧袄sin袄cos䁧袄hsin袄䁧cos袄cossin袄sin䁞sin袄cos袄䁞香香香sin袄sin袄hcos袄sin䁧袄h,所以䁧袄的最小正周期为,因为函数sin袄的单调递增区间为h,,所以h袄h,,解得h袄,,䁞所以䁧袄的单调递增区间为h,.䁞(2)当袄h时,可得h袄hh,䁞因为䁧袄在区间h上的最大值为,试卷第4页,总8页,所以h,所以,即的最小值为.䁞䁞17.(1)设等差数列䁔䁕的公差为,∵䁞,∴香香䁞,∴香h䁞,∵䁞,∴香,解得香,h,∴䁔香䁧䁔h香h䁔,䁧䁔香䁞,…,䁔䁧䁔h香∴䁔䁔香䁔h䁔䁧䁔h香h䁔䁔.(2)∵香,由䁞,可知香h䁞,∴,䁔䁧䁔h香∵䁔䁔,∴h䁞䁔h䁞䁧䁔h香,䁔䁧䁔h香∵,∴h䁞䁔h䁞䁧䁔h香,∵䁔h䁔,解得香䁔.∴䁔的取值范围香䁔,䁔晦.18.选择条件①:(1)在䁨中,由余弦定理hcos,可得䁧香h香䁧香,解得,由正弦定理=,sinsin䁨所以,䁞sin䁨䁞䁞因此sin䁨,在䁨中,䁨,有sin䁧sin䁨.香䁞香䁞香(2)当时,,则䁨sin香䁞.选择条件②:(1)在䁨中,,香䁞䁞因为cosh,则sin,又因为,䁞䁞香香䁞䁞䁞䁞所以sin䁧sin䁧sincoscossin䁧h,即䁞䁞䁞香䁞䁞䁞sin䁧.香䁞䁞sin(2)在䁨中,由正弦定理,sin䁞䁞又因为h香,所以,,香则䁨sin䁞.试卷第5页,总8页,19.(1)函数䁧袄袄h袄h香的定义域为䁧h,쳌䁧袄袄h.当时,∵쳌䁧袄在䁧h上恒成立,∴䁧袄在䁧h上单调递增,没有减区间.当时,由쳌䁧袄,得袄ln,∴当袄䁧hln时,쳌䁧袄,䁧袄单调递减,在袄䁧ln时,쳌䁧袄,䁧袄单调递增.综上,当时,䁧袄在䁧h上单调递增,没有减区间.当时,䁧袄的单调递减区间为䁧hln,单调递增区间为䁧ln;香(2)对任意袄香,袄h香香,䁧袄香h䁧袄恒成立,香即在区间h香香上,䁧袄maxh䁧袄min恒成立.∵쳌䁧袄袄h在h香香上单调递增,令쳌䁧h香.香当时,쳌䁧袄在h香香上恒成立,香∴䁧袄在区间h香香上单调递增,䁧袄maxh䁧袄min䁧香h䁧h香hh香,香香可得h,符合题意;香当,即h香ln香时,若袄䁧h香ln,쳌䁧袄,䁧袄单调递减,若袄䁧ln香,쳌䁧袄,䁧袄单调递增,香又䁧h香h香,䁧香hh香,䁧lnhlnh香,香䁧h香h䁧lnln依题意有,即香,香䁧lnh䁧香h䁧lnln香∵h香ln香,,∴香恒成立,䁧lnh香可得符合题意;当,即ln香时,∵쳌䁧袄在h香香上恒成立,香∴函数䁧袄在h香香上单调递减,䁧袄maxh䁧袄min=䁧h香h䁧香=h香,可得符合题意.香综上,对任意袄香,袄h香香,ؠ袄䁧h香袄䁧ؠ恒成立,的取值范围是h香.香20.(1)∵쳌䁧袄h香,袄试卷第6页,总8页,∴切线的斜率쳌䁧香,䁧香h香,则曲线䁧袄在点(香䁧香)处的切线方程为:h香;(2)①由䁧袄䁧袄ln袄h袄,袄䁧,香쳌䁧袄h香,令쳌䁧袄,解得:袄香,袄袄,쳌䁧袄,䁧袄的变化如下:袄䁧香香䁧香쳌䁧袄+-䁧袄递极递增大减值若袄香,袄䁧是函数䁧袄的两个零点,䁧香h香,即香,䁧香h,即h香,令袄h,显然h香,有䁧hhh,故的取值范围是䁧香h香;②证明:不妨设袄香袄,由①可知袄香䁧香,袄䁧,香香故䁧香,要证袄香袄香,即证袄香,袄袄香又∵袄香,䁧香,函数䁧袄在䁧香递增,袄香即证䁧袄香䁧,袄∵袄香,袄䁧是函数䁧袄的两个零点,香故䁧袄香䁧袄,即证䁧袄䁧,袄香只需证䁧袄h䁧,袄香香香香䁧袄h䁧ln袄h袄h䁧lnhln袄h袄,袄袄袄袄香令䁧袄ln袄h袄,袄香䁧袄h香则쳌䁧袄h香hh,袄袄袄当袄䁧香时,쳌䁧袄,故䁧袄在䁧香递减,香䁧袄䁧香,故䁧袄h䁧得证,袄故袄香袄香.21.(1)香香香,香䁞,则䁞,香䁞䁞䁞香,则䁞,香䁞䁞䁞䁞䁞,则䁞,h证明:䁧Ⅱ由等差数列的通项公式可得h䁧h䁧h香,可得h,h香香䁧香䁔香并注意到,䁔䁔㐠h㐠hh㐠于是䁧㐠h䁧h㐠䁧h㐠㐠,h香h香h香试卷第7页,总8页,䁧㐠h䁧香䁧㐠h䁧香㐠䁧h㐠䁧香,h香䁧㐠h䁧㐠h㐠䁧h㐠;h香证明:䁧Ⅲ首项交换䁧㐠h䁧h㐠䁧h㐠中的㐠,可得䁧h㐠䁧㐠h㐠䁧h㐠,两式相加可得,于是对任意三元数组䁧㐠䁧㐠,,两两不相等,总有䁧㐠h䁧h㐠䁧h㐠,取㐠䁔,㐠䁔香,䁔,得䁔香䁔䁔,即䁔h䁔香䁔香h䁔ǤǤǤh香,于是数列䁔䁕是等差数列,h香h香故䁔香䁧䁔h香香䁧䁔h香,香䁔另一方面䁔,䁔h香于是香ǤǤǤ䁔䁔䁧香䁧䁔h香,当䁔时,用䁔h香替换䁔得,h香香ǤǤǤ䁔h香䁧䁔h香䁧香䁧䁔h,两式相减得䁔香䁧䁔h香䁧h香,䁔,香也满足上式,故䁔䁕是等差数列试卷第8页,总8页
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