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2019-2020学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷【高中数学,高考数学试卷,含答案word可编辑】
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2019-2020学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.设赨ښ郈ʒ�ښ灰,则赨()A.郈ʒښB.郈ʒښC.ʒښD.ʒښ2.设抛物线ʒ=上一点到轴的距离是ʒ,则点到该抛物线焦点的距离是()A.B.ʒC.D.3.已知等差数列的前项和为,若ʒ郈郈赨,则赨�灰A.B.C.ʒD.ʒʒʒʒʒ4.已知双曲线赨�ܽ灰与椭圆郈赨有相同的焦点,则等于()ʒA.ʒB.C.ʒD.5.如图,从甲地到乙地有条路,从乙地到丁地有ʒ条路;从甲地到丙地有条路,从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有()A.ʒ条B.条C.条D.ʒ条6.在长方体ܤܥܤܥ中,ܤ赨ܤ赨,赨,则异面直线ܥ与ܥܤ所成角的余弦值为()ʒA.B.C.D.ʒ7.在四面体ܤܥ中,点在ܥ上,且赨ʒܥ,为ܤ中点,则等于()ʒA.赨郈ܤܥʒʒB.赨ܤ郈ܥʒʒʒC.赨ܤ郈ܥʒʒʒD.赨郈ܤܥʒʒ8.已知,ʒ是椭圆的左、右焦点,是椭圆上的一点,若,ʒ,试卷第1页,总7页,ʒ构成公比为的等比数列,则椭圆的离心率为()ʒʒA.B.C.D.9.设等比数列的前项和是,则“ܽ”是“ʒ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件10.在棱长为的正方体ܤܥܤܥ中,点在底面ܤܥ内运动,使得的面积为,则动点的轨迹为()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.一段圆弧D.一条线段二、填空题共5小题,每小题4分,共20分.)11.复数�ʒ郈灰郈�ʒ灰ښ是纯虚数,则实数=________.ʒ12.若双曲线ʒ赨�ܽ灰经过点�点灰,则该双曲线的渐近线方程为________.ʒ13.在等比数列中,=,ʒ郈=ܽ,则公比=________.14.用ܽ,,ʒ,,,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为________.ʒʒ15.已知椭圆郈赨�ܽ灰的左焦点为,若存在过原点的直线交椭圆于,ʒʒܤ两点,且ܤ,则椭圆的离心率的取值范围是________.三、解答题共5小题,共40分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)16.已知是各项均为正数的等比数列,其前项和为,=ʒ,=.数列满足=,=,且为等差数列.�Ⅰ灰求数列和的通项公式;�Ⅱ灰求数列的前项和.17.已知向量赨�ʒ点点ʒ灰,赨�点点ʒ灰,赨�点ʒ点ʒ灰.�Ⅰ灰当=ʒʒ时,若向量郈与垂直,求实数和的值;�Ⅱ灰若向量与向量,共面,求实数的值.18.如图,在四棱锥ܤܥ中,底面ܤܥ为正方形,ܥ平面ܤܥ,ܥ=ܤ,点,,分别为,,ܤ的中点.�Ⅰ灰求证:ܤ;�Ⅱ灰求证:平面ܥ;�Ⅲ灰求平面与平面ܥ所成二面角ܥ(锐角)的余弦值.试卷第2页,总7页,ʒʒ19.已知椭圆郈赨�灰的离心率为,过点�ܽ点灰的直线与有两个不同ʒʒ的交点,ܤ,线段ܤ的中点为ܥ,为坐标原点,直线与直线ܥ分别交直线=于点,.�Ⅰ灰求椭圆的标准方程;�Ⅱ灰求线段的最小值.20.定义:首项为且公比为正数的等比数列为“数列”.�Ⅰ灰已知等比数列�晦灰满足:ʒ=,ʒ郈=ʒ,判断数列是否为“数列”;�Ⅱ灰设为正整数,若存在“数列”�晦灰,对任意不大于的正整数,都有郈成立,求的最大值.试卷第3页,总7页,参考答案与试题解析2019-2020学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.B8.A9.C10.A二、填空题共5小题,每小题4分,共20分.11.ʒ12.=ʒ13.14.ʒ15.点灰ʒ三、解答题共5小题,共40分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.(1)设等比数列的公比为,等差数列的公差为,由题设知ܽ.由=ʒ,==�郈郈ʒ灰解得:=ʒ,∴赨ʒ.∵=,=,∴ʒ=�灰�灰=,∴=,=�灰郈�灰=,所以=郈=ʒ郈;(2)由�Ⅰ灰知=郈=ʒ郈,ʒ郈ʒ郈ǤǤǤ郈ʒ灰郈郈�灰赨ʒ郈ʒʒʒ郈.∴=�ʒ郈ʒʒ17.(1)因为=ʒʒ时,所以=ܽ.且向量郈赨�ʒ点点ʒ郈ʒ灰.因为向量郈与垂直,所以�郈灰赨ܽ.即ʒ郈=ܽ.所以实数和的值分别为ܽ和.(2)因为向量与向量,共面,所以设赨郈�点灰.因为�点ʒ点ʒ灰=�ʒ点点ʒ灰郈�点点ʒ灰,试卷第4页,总7页,赨赨ʒʒ则:ʒ赨解得赨ʒʒ赨ʒ郈ʒ赨ʒ所以实数的值为.ʒ18.(1)证明:因为ܥ平面ܤܥ,所以ܥܥ,ܥܥ,且底面ܤܥ为正方形,所以ܥܥ.以ܥ为原点,ܥ,ܥ,ܥ所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示空间直角坐标系ܥ,设ܥ=,则ܥ�ܽ点ܽ点ܽ灰,�ܽ点ܽ点灰,ܤ�点点ܽ灰,�ܽ点点灰,�点ܽ点灰,�点点ܽ灰.ʒʒʒʒʒܤ赨�点点灰,赨�点点ܽ灰,ʒʒܤ赨郈ܽ赨ܽ.ʒʒ所以ܤ.(2)证明:由�Ⅰ灰知,ܥܥ,ܥܥ,且ܥܥ=ܥ,所以ܥ平面ܥ.所以ܥ赨�点ܽ点ܽ灰是平面ܥ的法向量.赨�ܽ点点灰,ʒ因为ܥ赨ܽ,且平面ܥ,所以平面ܥ.�Ⅲ灰设平面的法向量为赨�点点灰,赨ܽ赨ܽ则,即,令=,得赨�点点ʒ灰.ʒ赨ܽ赨ܽ平面ܥ的法向量为ܥ赨�ܽ点点ܽ灰.设平面与平面ܥ所成二面角(锐角)为,ܥ则cos赨赨.ܥ所以平面与平面ܥ所成二面ܥ角(锐角)的余弦值为.试卷第5页,总7页,ʒʒʒʒ19.(1)由题意可得赨赨,=,=郈,解得=ʒ.ʒʒʒ所以椭圆的标准方程为郈赨.(2)显然直线的斜率存在.设过点�ܽ点灰的直线的方程为=郈.(ܽ,否则直线ܥ与直线=无交点)直线与椭圆的交点为�点灰,ܤ�ʒ点ʒ灰,赨郈由得�郈ʒ灰ʒ郈=ܽ,ܽ恒成立.ʒ郈ʒ赨ʒ则郈ʒ赨ʒ,郈郈ʒ=�郈ʒ灰郈ʒ赨ʒ.郈所以ܥ�点灰.郈ʒ郈ʒ令=,=郈.直线ܥ方程为赨,令=,赨,所以赨赨郈郈.①当ܽ时,=郈郈郈,当且仅当赨时,即赨时取“=”.ʒ②当‴ܽ时,郈赨�灰郈�灰.当且仅当赨时取“=”.ʒ此时赨郈郈.综上,线段的最小值为.20.(1)设等比数列的公比为,则ʒ赨赨由ʒ=,ʒ郈=ʒ,可得:ʒ,解得赨,ʒ郈赨试卷第6页,总7页,∴数列首项为且公比为正数,即数列为“数列”;(2)设的公比为,存在“数列”�晦灰,对任意正整数,当时,都有成立,郈即对恒成立,当=时,,当=ʒ时,ʒʒ,lnlnlnln当,两边取对数可得,ln对有解,即maxlnmin,lnln令�灰赨�灰,则�灰赨,ʒ当时,�灰‴ܽ,此时�灰递减,lnln∴当时,max赨,lnln令�灰赨�灰,则�灰赨,ʒ令�灰=ln,则�灰赨,ʒ当时,�灰‴ܽ,即�灰‴ܽ,∴�灰在点郈灰上单调递减,lnlnlnln即时,min赨则,lnln下面求解不等式,化简,得ln�灰lnܽ,令�灰=ln�灰ln,则�灰赨ln,由得,�灰‴ܽ,∴�灰在点郈灰上单调递减,又由于�灰=lnln=lnʒlnܽ,�灰=lnln=lnʒlnʒ‴ܽ,∴存在ܽ�点灰使得�ܽ灰=ܽ,∴的最大值为,此时点.的最大值为..试卷第7页,总7页
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